Исследование возможности решения задачи античной математики "Квадратура круга от обратного"
Доказательство возможности построения круга, равновеликого по площади квадрату с точностью на восемь знаков общепринятого числа "пи". Выражение длины окружности прямым отрезком. Решение математической задачи "кругатура квадрата" геометрическим способом.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2018 |
| Размер файла | 215,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Исследование возможности решения задачи античной математики "Квадратура круга от обратного"
Дениченко Сергей Николаевич, независимый исследователь,
Дениченко Любовь Васильевна, независимый исследователь
Равновеликость квадрата и шестерёнки
В данном исследовании показана возможность построение круга, равновеликого по площади квадрату, т. е. решена "кругатура квадрата", что дало возможность решить "квадратуру круга" с точностью на восемь знаков общепринятого числа р, и выразить длину окружности прямым отрезком.
Около круга радиуса OR (рис. 1), величину которого принимаем за единицу длины, опишем правильную восьмиконечную звезду Q, образованную из двух равных квадратов, один из которых квадрат ABCD.
SABCD = (AB)2 = (2OR)2
Каждая сторона одного квадрата отсечёт от каждой прямоугольной вершины другого квадрата по треугольнику, один из которых треугольник PCP1.
Отсюда:
SQ = SABCD + 4SPCP1
Радиусом CR из каждой прямоугольной вершины фигуры Q опишем дуги на её стороны, а точки пересечения сторон и дуг соединим прямыми. В треугольнике PCP1 такой прямой будет KK1. Пересекаясь с диагональю квадрата, прямая KK1 образует точку R1. В фигуре Q каждый выступающий прямоугольный треугольник, равный треугольнику PCP1, будет делиться на две равновеликие фигуры, треугольник и трапецию, какими являются треугольник KCK1 и трапеция PKK1P1.
круг квадрат геометрический построение
Рис. 1
Если удалить в фигуре Q все восемь одинаково выступающих прямоугольных треугольников, один из которых треугольник KCK1, то получим фигуру T - "шестерёнку" с выступающими трапециями по площади равной площади квадрата ABCD.
ST = SQ - 8SKCK1 = (SABCD + 4SPCP1) - 8Ч Ѕ SPCP1 =SABCD
ST = SABCD
Рис. 2
На рис. 2, который представляет фрагмент рис. 1, центр O соединим с точкой K. Получим треугольник OKR1, в котором проведём медиану ON. Радиусом OR1 проведём дугу, которая отсечёт от медианы ON отрезок MN, а от гипотенузы OK - отрезок LK.
Приводим расчёт полученных отрезков:
OR = 1
OC = ORЧ v2 = 1 Ч 1,4142135…
RC = OC - OR = 1,4142135… - 1 = 0,4142135…
KK1 = RC Ч v2 = 0,4142135…Ч 1,4142135…= 0,5857863…
RR1 = RC - (KK1/2) = 0,4142135…- 0,2928931…= 0,1213204…
OR1 = OR + RR1 = 1 + 0,1213204…= 1,1213204…
OK2 = OR12 + (KK1/2)2 = 1,1213204...2 + 0,2928931…2 = 1,1589416…2
LK = OK - OR1 = 1,1589416… - 1,1213204… = 0,0376212…
ON2 = OR12 + (KK1/4)2 = 1,1213204…2 + 0,1464465…2 = 1,130843…2
MN = ON - OR1 = 1,130843… 1,1213204… = 0,0095226…
Радиус круга равновеликого квадрату ABCD примем условно за ORX.
Находим его арифметическую величину из равенства площадей условного круга с радиусом ORX и квадрата ABCD:
р Ч ORX2 = (2OR)2 3,1415926…Ч ORX2 = 4
ORX = 1,1283791…
Условную точку RX расположим произвольно на отрезке КК 1 и соединим её пунктирной прямой с центром O. Получим условный прямоугольный треугольник OR1RX. Арифметическую величину условного катета R1RX получим из решения:
R1RX2 = ORX2 - OR12 = 1,1283791…2-1,1213204…2 = 0,1260164…2
Эту же величину мы получим из пропорции составленную из величин отрезков, ранее полученных геометрически.
[(OR+MN) - LK]/ (OR+MN) = RR1 / R1RX
R1RX = [(OR+MN) Ч RR1]/ [(OR+MN) - LK].
R1RX = [(1+0,0095226…)Ч0,1213204…]/ [(1+0,0095226...) - 0,0376212…]= = 0,1260164…
Арифметическую величину R1RX выразим геометрическим отрезком. Отрезки MN и LK перенесём на диагональ OC радиусами ON и OK. Отрезок MN отложится от точки R1 до точки E, а отрезок LK от точки R1 до точки F. Затем отрезок OR положим на продолжение диагонали OC так, чтобы началом отрезка OR была точка E, а концом - точка O1. Из точки F построим перпендикуляр к OO1, на котором отложим величину отрезка RR1, от точки F до точки F1. Через точки O1 и F1 проведём прямую до пересечения с прямой KK1 в точке R2. Таким образом, условная величина R1RХ выразилась геометрическим отрезком R1R2. Полученную точку R2 соединим прямой с центром O. Получим радиус OR2 круга равновеликого по площади квадрату ABCD:
OR22 = OR12 + R1R22 =1,1213204…2+ 0,1260164…2= 1,1283791 … 2.
Квадратура круга
Если принять квадрат равновеликий по площади кругу с радиусом OR за условный квадрат AXBXCXDX, то получим пропорцию:
SOR / SOR2 = SAхBхCхDх / SABCD или
OR / OR2 = Ѕ AXBX / Ѕ AB
Которую положим в систему координат (рис. 3), чтобы выразить условную величину Ѕ AXBX геометрическим отрезком.
Рис. 3
Левую часть пропорции положим на ось абсцисс, правую - на ось ординат. Точки M (OR2; Ѕ AB) и O дают луч, на котором абсциссой OR отразится новая точка M1, проекция которой на ось ординат, геометрически отразит Ѕ стороны искомого квадрата A1B1C1D1, равновеликого по площади кругу радиуса OR:
Ѕ A1B1 = (ORЧ Ѕ AB) / OR2
Ѕ A1B1 = 1 / 1,1283791…= 0,8862269
A1B1 = 0,8862269…Ч 2 = 1,7724538…
Длина окружности
Нахождение стороны квадрата A1B1C1D1 даёт возможность выразить L OR - длину окружности круга радиуса OR прямым отрезком.
Рис. 4
Составим пропорцию:
OR / OR2 = L OR / PA1B1C1D1 или
OR / OR2 = ј L OR / A1B1,
Которую положим в систему координат (рис. 4). Левую часть пропорции положим на ось абсцисс, правую - на ось ординат.
Точки M (OR2; A1B1) и O дают луч, на котором абсциссой OR образуется новая точка M1, проекция которой на ось ординат геометрически отразит прямым отрезком ј LOR.
ј LOR = (ORЧ A1B1) / OR2
ј LOR = 1,7724538… / 1,1283791…= 1,5707963…
Ѕ LOR = 1,5707963…Ч 2 = 3,1415926…
LOR = 1,5707963…Ч 4 = 6,2831852…
В свою очередь, ј длины окружности круга, радиуса OR2, тоже выражена прямым отрезком A1B1, что видно на рис. 4.
Если расчёт задачи вести на большее количество знаков, то результат величины стороны квадрата будет равен 1,7724538968686925718887244115238…, площадь квадрата при этом равна 3,1415928165250138836954861078059…
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Ознакомление с формулами длины окружности, площади круга (частью плоскости, ограниченной окружностью) и исходящими из них формулами расчета радиуса, диаметра. Получение навыков применения формул, закрепление полученных знаний в ходе выполнения упражнений.
конспект урока [227,7 K], добавлен 17.05.2010Вирішення геометричних задач. Побудова сторони квадрата, площа якого рівна площі даного круга. Задача про подвоєння куба: побудування ребра куба, об’єм якого вдвічі більший, за об’єм даного. Задача про розділення довільного кута на три рівні частини.
контрольная работа [511,1 K], добавлен 18.12.2015Решение систем уравнений по правилу Крамера, матричным способом, с использованием метода Гаусса. Графическое решение задачи линейного программирования. Составление математической модели закрытой транспортной задачи, решение задачи средствами Excel.
контрольная работа [551,9 K], добавлен 27.08.2009Меры площади, использовавшиеся в Древней Руси, их эволюция и современное состояние. Площадь многоугольника и прямоугольника. Определение и доказательство площади квадрата. Формула площади параллелограмма и треугольника, трапеции. Теорема Пифагора.
реферат [389,2 K], добавлен 05.02.2011Сущность и содержание способа пропорций, определение вида зависимости. Обозначение неизвестного числа в пропорции буквой Х. Запись условий задачи в виде таблицы. Поиск неизвестного члена пропорции. Составление дополнительных пропорций для решения задачи.
презентация [96,9 K], добавлен 08.02.2010Огляд поняття конусу, тіла, що складається з круга, точки, що не лежить на площині круга та відрізків, що сполучають дану точку з точками круга. Знаходження площі бічної та повної поверхонь фігури, суми площ бічної поверхні і основи, довжини кола основи.
презентация [1,9 M], добавлен 16.12.2011Письменная история числа "пи", происхождение его обозначения и "погоня" за десятичными знаками. Определение числа "пи" как отношения длины окружности к её диаметру. История числа "е", мнемоника и мнемоническое правило, числа с собственными именами.
реферат [125,9 K], добавлен 28.11.2010Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы. Доказательство существования решения задачи Коши. Постановка задачи численного расчёта. Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями. Программа и её описание.
дипломная работа [5,7 M], добавлен 25.05.2014Понятие окружности и круга, основные теоремы и свойства. Касание прямой и окружности, случаи их взаимного расположения. Вписанные и описанные фигуры. Относительное положение двух окружностей. Свойства хорд и расстояние до них. Определение длин и площадей.
презентация [536,1 K], добавлен 16.04.2012Математическое моделирование и особенности задачи распределения. Обоснование и выбор метода решения. Ручное решение задачи (венгерский метод), а также с использованием компьютера. Формулировка полученного результата в сопоставлении с условием задачи.
курсовая работа [383,9 K], добавлен 26.05.2010О происхождении задачи удвоения куба (одной из пяти знаменитых задач древности). Первая известная попытка решения задачи, решение Архита Тарентского. Решение задачи в Древней Греции после Архита. Решения с помощью конических сечений Менехма и Эратосфена.
реферат [630,3 K], добавлен 13.04.2014Структура текстовой задачи. Условия и требования задач и отношения между ними. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задач. Поиск и составление плана решения. Осуществление плана решения. Моделирование в процессе решения задачи.
презентация [247,7 K], добавлен 20.02.2015Методы решения задачи коммивояжера. Математическая модель задачи коммивояжера. Алгоритм Литтла для нахождения минимального гамильтонова контура для графа с n вершинами. Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Крускала и "деревянного" алгоритма.
курсовая работа [118,7 K], добавлен 30.04.2011Постановка задачи коммивояжера и основные алгоритмы решения. Маршруты и пути. Понятия транспортной сети. Понятие увеличивающая дуга, цепь, разрез. Алгоритм Флойда-Уоршелл. Решение задачи аналитическим методом. Создание приложения для решения задачи.
курсовая работа [541,3 K], добавлен 08.10.2015Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012Приемы построения математических моделей вычислительных систем, отображающих структуру и процессы их функционирования. Число обращений к файлам в процессе решения средней задачи. Определение возможности размещения файлов в накопителях внешней памяти.
лабораторная работа [32,1 K], добавлен 21.06.2013Составление оптимального плана посева зерновых культур по участкам. Отображение изменения решения, если весь второй участок засеять пшеницей, ячменем или кукурузой с нижним уровнем затрат. Расчет прибыли от продажи урожая, возможности ее максимизации.
курсовая работа [31,9 K], добавлен 05.01.2015Форма для ввода целевой функции и ограничений. Характеристика симплекс-метода. Процесс решения задачи линейного программирования. Математическое описание алгоритма симплекс-метода. Решение задачи ручным способом. Описание схемы алгоритма программы.
контрольная работа [66,3 K], добавлен 06.04.2012Способы построения искусственного базиса задачи. Выражение искусственной целевой функции. Математическая модель задачи в стандартной форме. Получение симплекс-таблиц. Минимизации (сведения к нулю) целевой функции. Формы преобразования в задаче равенства.
задача [86,0 K], добавлен 21.08.2010Применение математических и вычислительных методов в планировании перевозок. Понятие и виды транспортных задач, способы их решения. Особенности постановки задачи по критерию времени. Решение транспортной задачи в Excel, настройка параметров решателя.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 12.01.2011
