Об одном примере почти контактной пара-гиперкомплексной структуры

Размещено на http://www.allbest.ru/

об одном примере почти контактной пара-гиперкомплексной структуры

Галаев Сергей Васильевич, кандидат наук, доцент, доцент

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

Вводится понятия допустимой (почти) пара-гиперкомплексной структуры. На распределении D субриманова многообразия контактного типа M как на тотальном пространстве векторного расслоения (D,р,M) определяется допустимая почти пара-гиперкомплексная структура (D,J,S,T,u?,л=з _ р*,D). Доказывается, что построенная почти пара-гиперкомплексная структура интегрируема тогда и только тогда, когда распределение D является распределением нулевой кривизны.

Введение

Основные результаты о геометрии почти пара-гиперкомплексных многообразий изложены в работах [23-36]. В настоящей работе определяется контактный аналог пара-гиперкомплексной структуры -- допустимая пара-гиперкомплексная структура . Допустимая пара-гиперкомплексная структура имеет сходство с допустимой гиперкомплексной структурой [13-22]. В работе доказывается, что допустимая пара-гиперкомплексная структура естественным образом возникает на распределении нулевой кривизны D субриманова многообразия контактного типа.

Допустимые почти пара-гиперкомплексные структуры

Рассмотрим на гладком многообразии M размерности n=4m+1 почти контактную структуру , где -- допустимая почти комплексная структура [1-12]. Предположим, что на многообразии M заданы две допустимые почти пара-комплексные структуры и такие, что . Назовем многообразие M, наделенное структурой , i=1,2,3, почти контактным почти пара-гиперкомплексным многообразием. Если каждая из допустимых аффинорных структур интегрируема (почти нормальна), т.е., если , то допустимую почти пара-гиперкомплексную структуру будем называть интегрируемой или допустимой пара-гиперкомплексной структурой, а многообразие M -- почти контактным пара-гиперкомплексным многообразием.

Рассмотрим модельный пример почти контактного пара-гиперкомплексного многообразия. Пусть , , , , , , , .

Определим допустимые к распределению D аффинорные структуры , (таблица 1).

Таблица 1. Модельный пример почти контактного пара-гиперкомплексного многообразия

Из таблицы 1 видно, что . Непосредственно проверяется, что допустимые почти комплексные структуры являются почти нормальными.

Субримановы многообразия контактного типа с распределением нулевой кривизны

Пусть M -- гладкое многообразие размерности с заданной на нем субримановой структурой , где: -- 1-форма, порождающая распределение ; -- векторное поле, порождающее оснащение распределения D: ; g -- риманова метрика на многообразии M, относительно которой распределения D и взаимно ортогональны. Мы также полагаем, что , , .

Внутренней линейной связностью [1, 5, 6, 8, 9] на субримановом многообразии называется отображение , удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. ,

3. ,

где -- модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D). Внутренняя связность определяет дифференцирование допустимых тензорных полей [1, 6, 7].

На протяжении всей работы мы используем адаптированные координаты. Карту

многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если [6]. Пусть

-- проектор, определяемый разложением

, и -- адаптированная карта.

Векторные поля линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D:

.

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения

.

Из равенства

,

где , обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:

,

,

где , . Т

Тензор носит название тензора кривизны субриманова многообразия.

В адаптированных координатах кривизна и кручение внутренней связности получают, соответственно, следующие координатные представления:

,

.

Имеет место

Предложение 1

На субримановом многообразии существует единственная внутренняя связность с нулевым кручением, такая, что

.

Назовем связность внутренней метрической связностью. Коэффициенты внутренней метрической связности находятся по формулам

.

Наиболее просто устроены субримановы многообразия с нулевым тензором кривизны Схоутена. Многообразия с нулевым тензором кривизны Схоутена подробно изучались в случае контактного метрического многообразия в работе [14].

Пусть -- допустимое тензорное поле с компонентами .

Предложение 2

На субримановом многообразии контактного типа с нулевым тензором кривизны Схоутена имеет место равенство .

Доказательство. Проводя необходимые вычисления в адаптированных координатах, убеждаемся в справедливости равенства

.

многообразие кривизна тензор схоутен

Отсюда, в силу предложения 1, получаем:

,

или,

.

Таким образом, обращение в нуль тензора кривизны Схоутена влечет равенство , из которого следует, что .

Предложение доказано.

Продолженные допустимые пара-гиперкомплексные структуры

Введем на распределении D субриманова многообразия структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте многообразия M сверхкарту на многообразии D, где -- координаты допустимого вектора в базисе . Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной.

Векторные поля

определяют [7] на распределении D как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы

-- соответствующее поле кобазисов.

Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

,

,

,

где -- компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [6, 7].

Имеет место

Предложение 3 [18]

Пусть -- внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена . Тогда для всех и имеют место следующие равенства

Определим на распределении D допустимую почти пара-гиперкомплексную структуру , полагая, что

, ,

, ,

, , .

Теорема

Пусть -- структура субриманова многообразия контактного типа.. Допустимая почти пара-гиперкомплексная структура является допустимой пара-гиперкомплексной структурой тогда и только тогда, когда тензор кривизны Схоутена соответствующей внутренней связности равен нулю.

Доказательство. Используя (1)-(4), найдем условия, при которых

, , .

Для случая эндоморфизма J имеем

,

,

,

.

Таким образом, структура J интегрируема тогда и только тогда, когда . Аналогичные рассуждения можно провести для эндоморфизмов S, T.

Список литературы

1. Букушева А.В. О геометрии слоений на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г.Белинского. 2012. №30. С. 33-38.

2. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.

3. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.

4. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.

5. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.

6. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.

7. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.

8. Букушева А.В. Связности с кручением и неголономная геометрия // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2016. Материалы научной конференции, 11-15 апреля 2016 г. - СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2016. С. 146-150.

9. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2015. № 46. С.58-62.

10. Букушева А.В. Изометрические преобразования продолженных почти контактных метрических структур с метрикой полного лифта // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2016. №47. С. 39-47.

11. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.

12. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.

13. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.

14. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.

15. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.

16. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.

17. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.

18. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.

19. Галаев С.В., Гохман А.В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. №3. С. 28-31.

20. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.

21. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.

22. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.

23. Aso K., Notes on some properties of the sectional curvature of the tangent bundle // Yokohama Math. J. 1981. no. 29. P. 1-5.

24. Boeckx E., Vanhecke L. Characteristic reflections on unit tangent sphere bundles // Houston J. Math. 1997. no. 23. P. 427-448.

25. Boeckx E., Vanhecke, L. Geometry of the tangent sphere bundle, in Cordero, L.A. and Garcia-Rio, E. (eds), Proceedings of the Workshop on Recent Topics in Differential Geometry, Santiago de Compostela, Spain, 1997, Public. Depto. Geometriay Topologia, Univ. Santiago de Compostela. 1998. no. 89. P. 5-17.

26. Cheeger J., Gromoll D. On the structure of complete manifolds of non-negative curvature // Ann. of Math. 1972. 96. P. 413-443.

27. Dombrowski, P., On the geometry of the tangent bundle // J. Reine Angew. Math. 1962. no. 210. P. 73-88.

28. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31. №1. P. 35-46.

29. Gudmundsson S., Kappos E. On the geometry of the tangent bundles // Expo. Math. 2002. no. 20. P. 1-41.

30. Kowalski O., Sekizawa M., On Riemannian manifolds whose tangent sphere bundles can have non-negative sectional curvature. Univ. Iagel. Acta Math. 2002. no. 40. P. 245-256.

31. Kowalski O., Sekizawa M., Vlasek Z. Can tangent sphere bundles over Riemannian manifolds have strictly positive sectional curvature? Global differential geometry, Math. Legacy of Alfred Gray. 2000. P. 110-118.

32. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. no. 10. P. 338-354.

33. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II // Tohoku Math. J. 1962. no. 14. P. 146-155.

34. Sekizawa M. Curvatures of tangent bundles with Cheeger-Gromoll metric // Tokyo J. Math. 1991. Vol. 14. no.2. P. 407-417.

35. Vezzoni L. Connections on contact manifolds and contact twistor spaces, Israel J. Math. 2010. no. 178. P. 253-267.

36. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. Marcel Dekker, Inc. New York. 1973.

Размещено на Allbest.ru