Статистические распределения случайной величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статистические распределения случайной величины



Содержание

1. Биномиальное распределение

2. Геометрическое распределение. Распределение Пуассона

3. Нормальное распределение. Основные параметры стандартного распределения. Табуляция значений распределения стандартной случайной величины

4. Логнормальное распределение

5. Хи-квадрат распределение. Распределение Стьюдента и Фишера



1. Биномиальное распределение

биномиальный распределение стьюдент величина

В теории вероятностей в основном существует два типа распределений - дискретные и непрерывные. Известно, что каждому распределению соответствует некоторая случайная величина и наоборот. Если случайная величина соответствующей некоторому распределению является дискретной, то и распределение называется дискретной. Значит закон распределения дискретной случайной величины есть дискретной распределение. Аналогично закон распределения непрерывной случайной величины называется непрерывным распределением. Здесь приведем важнейшие распределения, которые широко используются в экономике.

Рассмотрим опыт (эксперимент) который удовлетворяет следующим условиям:

эксперимент состоит из последовательности n испытаний;

каждое испытание имеет два исхода (успех и неудача);

вероятности этих двух исходов не меняется от испытаний к испытаний;

каждое испытание не зависит друг от друга, другими словами исход первого испытания не зависит от остальных и наоборот (независимые испытание).

Такие эксперименты получили название схемы Бернулли.

Биномиальное распределение является вероятностным законом схемы Бернулли.

Пусть p вероятность успеха, т.е. p=P(Y), 0 < p < 1, тогда q=1-p - вероятность неудачи, и S_n - число появлении "Удач" в n испытаниях. Тогда P(k)=P(S_n=k) - есть вероятность того, что "Удача" наступит k раз при n испытаниях, а остальные n-k раз наступит неудача.

Случайная величина S_n являясь дискретной случайной величиной, принимает целочисленные значения от 0 до n и ее множество значений: 0,1,2,...,n. Ряд распределения случайной величины S_n имеет следующий вид:

Xi	0	1	2	...	n
Pi	C0npqn	C1npqn-1	C2np2qn-2	...	Cnnpnq0

и называется биномиальным распределением, потому что вероятности

(1)

можно рассматривать как члены бинома (p+q)ⁿ , здесь

Для того, чтобы продемонстрировать биномиальное распределение рассмотрим опыт состоящий из покупателей входящих в обувной магазин. Управляющим установлена, что каждый покупатель вошедший в его магазин с вероятностью 0,30 делает покупку. Каково вероятность того, что из следующих трех покупателей ровна двое сделают покупки?

Сначала мы хотим показать, что три клиента входящий в обувной магазин и решившие сделать покупки может быть рассмотрены как схема (испытание) Бернулли. Для этого проверим следующие четыре требований (условия):

эксперимент может быть описан как последовательности трех одина-ковых испытаний. Испытание - это есть вхождение каждого покупателя в магазин;

исход испытание равен двум. Покупатель сделает покупку (успех) или не сделает покупку (неудача);

каждый покупатель может сделать покупки с вероятностью 0,30 (вероятность успеха) и с вероятностью 0,70 (вероятность неудачи) не сделает покупки;

каждый покупатель независимо друг от друга делает покупку (решает вопрос о покупки).

Таким образом, если мы определим случайную величину S₃ - число покупателей сделавший покупку (т.е. число успехов в трех испытаниях), то эта величина удовлетворяет все условия биномиального распределения.

В этом примере n=3, вероятность покупки p=0,30 и мы можем вычислить вероятность того, что двое сделают покупки.

Аналогично, вероятность того, что из трех покупателей некто не сделает покупки равна:

В силу формулы (1) вероятность того, что из трех покупателей сделает покупки один и трое равна соответственно P(1)=0,441, p(3)=0,027.

Таблица 1.. Распределение вероятности число покупателей сделавшие покупки

k	0	1	2	3
p(k)	0,343	0,441	0,189	0,027



P(k)

Рис.3.

Если мы вместо трех покупателей рассмотрим например, 10 клиентов входящих в магазин и следует найти вероятность того, что из 10 покупателей сделают покупки ровна четыре. Тогда это вероятность равно

В этой биномиальной схеме n=10, k=4, p=0,3. Биномиальное распределение табулирована и поэтому легко и быстро находим значение P(4)=0,2001, не обращаясь к формуле (1).

Вычислим теперь среднее число покупателей сделавшие покупки:

Заметим, что этот результат мы можем получить очень просто перемножив количество испытаний к вероятности успеха, т.е.

np = 30,3 = 0.9



Математическое ожидание случайной величины распределенной по биномиальному закону, равна произведению числа испытаний и вероятности появления успеха, т.е.

= np(2)

Предположим, что в течении следующего месяца ожидается посещение 1000 покупателей обувной магазин. Найти среднее число покупателей сделавшие покупки. В силу (2)

= np =10000,3 = 300.

Для того, чтобы увеличить среднее число продаж магазин должен побуждать заинтересованность многих покупателей, чтобы они вошли в магазин или каким либо другим образом увеличить вероятность покупки любого покупателя.

Дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равна числу испытаний умноженному на вероятности появления p и не появления 1-p успеха в отдельном испытании, т.е.

²= np (1-p).

Для нашего примера (задача о покупателей обувного магазина) дисперсия и среднеквадратическое отклонение равна:



Нетрудно заметить, что биномиальное распределение определяется с помощью двух параметров - числом испытаний n и вероятностью успеха p. Числовые характеристики, т.е. математическое ожидание и дисперсия также определяется этими параметрами.

2. Геометрическое распределение. Распределение Пуассона

Рассмотрим эксперимент удовлетворяющий вышеуказанной схемы Бернулли. Пусть X - число испытаний, которое нужно выполнить до первого появления "Удач ". Тогда X - дискретная случайная величина принимающая значение 1, 2, 3,... . Ряд распределения этой случайной величины имеет следующий вид:

Xi	1	2	3	...	k	...
pi	p	qp	q2p	...	qk-1p	...

и называется геометрическим распределением, потому что вероятности

P_k = P(x=k)=q^k-1p, k = 1, 2, ....

является геометрической прогрессией со знаменателем q, где p - вероятность успеха (или удачи), а q=1- p - вероятность неудачи.

Среднее число испытаний до первого появления удач равна



а дисперсия,

DX = q/p².

Пример. Торговая фирма занимающейся продажей пластмассовых изделий заключив сделку с фирмой "Совпластитал" с вероятностью 0.75 получает определенный прибыль. Сколько необходимо заключит сделку, чтобы впервые получить прибыль?

Среднее число сделок до первого получения прибыли равна

MX=1/p = 1/0,75 = 4/3= 1,3

Среднеквадратическое отклонение равна

Здесь мы будем рассматривать такие дискретные случайные величины, которые имеют дело (связаны) с количеством появлений событий в фиксированный интервал времени. Примерами таких случайных величин являются число обрывов нити определенного сорта пряжи в течении времени T; число машин поступивших на ремонт в течение дня; число проданных товаров со склада в течение недели; число утечек в трубопроводе определенной длины и т.д.

Для применения распределение Пуассона необходимо удовлетворение следующих двух условий:

вероятность появления события на одинаковой длины интервалов равны;

появления или не появления события в любой интервале времени (длины) не зависит от того, что появилось или не появилось события в любом другом интервале. Ряд распределения случайной величины подчиненной закону Пуассона имеет следующий вид:

Xi	0	1	2	...	k	...
Pi	e-	e-/1!	2e-/2!	...	ke-/k!	...

где 0, e=2,71828....

Пусть X - число (количество) кассиров пришедшие в окно банка в течении 30 минут распределена по закону Пуассона с параметром =6. Чему равна вероятность того, что в течении 30 минут в банк прибудут четыре кассира?

Распределение Пуассона как и другие распределение табулирована и поэтому легко по таблице (распределение Пуассона =6) находим

По этой таблице видно, что

P(x=15) = 0,0009 , P(x=16) = 0,0003 , P(x=17) = 0,0001

Это означает, что в течении 30 минут войдут в банк 15 или 16 или 17 кассиров очень маловероятно и поэтому эти событие происходят очень редко.

Числовые характеристики распределение Пуассона равны:

- математическое ожидание:

MX =,



- дисперсия:

DX =

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенный по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию.

Распределение Пуассона задается одним параметром , которое характеризует среднее число событий появившихся в единицу времени.

Забегая вперед заметим, что распределение Пуассона аппроксимирует биномиального распределения, т.е. при достаточно большим числом испытаний n и при малых p (вероятность появления успеха). Так, что np (при n ), тогда биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона.

3. Нормальное распределение. Основные параметры стандартного распределения. Табуляция значений распределения стандартной случайной величины

Нормальная плотность вероятности имеет фундаментальное значение для статистического вывода по нескольким взаимосвязанным причинам. Во-первых, она является представителем класса плотностей вероятности, которые зависят только от двух параметров - среднего значения и дисперсии. Следовательно, с этой плотностью можно относительно просто работать аналитически. Во-вторых, обнаружено, что нормальное распределение довольно точно отображает широкий круг случайных явлений. Например, курс иностранной валюты по отношению сума, рост большего числа лиц одного и того же пола, национальности и возраста, размеры органов животных также подчиняется нормальному распределению. В-третьих, нормальное распределение связана с центральной предельной теоремой. Эта теорема утверждает, в частности, что распределение выборочных средних значений, случайно отобранных из генеральной совокупности с известной конечной дисперсией, асимптотически приближается к нормальному по мере увеличения объема выборки. Поэтому нормальная плотность широко используется при анализе выборочных средних значений.

Нормальный закон распределения характеризуется функцией плотностью вероятности вида:

(3)

где, а - среднее значение случайной величины X;

² - дисперсия случайной величины X;

- среднее квадратическое отклонение X;

=3.14159, е= 2.71828

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4.

Кривая распределения y=P(x) - эта кривая Гаусса, которая имеет симметрический холмообразный вид (рис.4.). Среднее значение а определяет меру расположения плотности. На рис.5. показаны три нормальные плотности вероятности с одной и той же дисперсией, но с различными средними значениями. Из формулы (3) следует, что кривая y=P(x) достигает максимума при x=a и . C ростом y_max уменьшается, а так как площадь, ограниченной всей кривой и осью 0х, равна 1, то с увеличением кривая как бы расстегивается вдоль оси 0х. При уменьшении кривая вытягивается вверх вдоль прямой х=а, но сжимается в горизонтальном направлении (рис.6.).

Следовательно, параметр характеризует форму кривой, а а - ее положение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5. Рис. 6.

Заметим, что на обоих предыдущих рисунках кривая плотности не касается горизонтальной оси. Нормальная плотность асимптотически приближается к оси 0х; она никогда не равна нулю, независимо от того, сколь мало или велико становится значение X.

Очевидно, что существует бесконечно много нормальных плотностей вероятности, зависящих от различных комбинаций a и . К счастью, мы можем выразить нормальную плотность в стандартной форме, записав ее как функцию стандартизированной переменной Z, a не X. Эта стандартизированная переменная определяется как



Из свойств математического ожидания и дисперсии следует, что MZ=0, DZ=1. Значит, случайная величина Z распределена по нормальному закону с параметрами а=0 и =1. В теории вероятностей такие распределение называют стандартными нормальными распределениями.

Таким образом, если в нормальной функции плотности вероятности (3) а=0, =1, то ее называют стандартной нормальной функцией плотности вероятности, что дает возможность составит единую таблицу площадей (вероятностей), задаваемых этой плотностью. Такая таблица приведена в конце книги в приложении (см. Табл. № ) и она относится к левому "хвосту" стандартной нормальной функции плотности.

Мы можем использовать табл.№ в двух целях:

- определить площадь области (вероятность) по заданному значению Z;

- найти процентиль (квантиль) Z() по заданному площадью .

Для закрепления этого материала может быть полезен числовые примеры применения этой таблицы.

Пример 1. Найдите P(Z < 0.45). По табл.№ найдем строку отмеченный 0.4 (в первом столбце), затем найдем колонку отмеченный 0.05, на пересечении этой строки и столбца стоит искомая площадь = 0.6736. Поэтому P(Z < 0.45) = 0.6736 (см. рис.7).



Размещено на http://www.allbest.ru/

а) P(Z<0,45)=0,6736 b) P(Z>1)=0,1587

Рис. 7. Рис. 8.

Пример 2. Мы хотим найти вероятность P(Z 1). Поскольку площадь ограниченной всей кривой и осью 0х, равна 1, и этот площадь равна сумме двух площадей (площадь лежащий левее и правее от +1), и поэтому (рис.8.)

1= P(Z <+1) + P(Z >+1)

По таблице находим P(Z <+1) = 0.8413. Следовательно,

P(Z > 1)=1 - P(Z < 1)= 1 - 0.8413 = 0.1587

Пример 3. В таблице не приведены вероятности для отрицательных значений Z. Для того, чтобы найти вероятность P(Z < -1) воспользуемся симметричностью стандартного нормального распределения относительно среднего значения а=0. В силу симметричности

P(Z < -1) = P(Z > 1).



Используя результат предыдущего примера имеем P(Z < -1) = 0.1587 (см. рис.9).

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) P(Z<0,45)=0,6736 b) P(Z>1)=0,1587

Рис. 9. Рис. 10.

Пример 4. Требуется найти вероятность P(-1< Z < 1). Из рис.10 видно, что эта вероятность есть площадь лежащей между -1 и 1. Эта площадь равна разности двух площадей - площади лежащее левее 1 и -1, т.е.

P(-1< Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826

Во всех четырех примерах по заданному значению х находили вероятность P(Z<x)=. Иногда возникает обратная задача: по заданному значению найти такое х , чтобы P(Z<x) =. Точка х называется - квантилю или 100%-ной квантилю, отвечающей заданному уровню вероятности . Другими словами, точка х()=х является - квантилю или 100%-ной квантилю (процентилю), если площадь лежащее левее от х() равна (см. Рис.11а)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

a) X() b) X(0,96)

Размещено на http://www.allbest.ru/

c) X(0,04)

Рис. 11.

Теперь рассмотрим несколько примеров.

Пример 5. Найти 96 процентный квантиль (или просто процентиль) для стандартного нормального распределения.

Из таблицы № видно, что близко к 0.96 является значение = 0.9599. Из ячейки таблицы № содержащий 0.9599 по строке двигаясь влево, а по столбцу вверх находим 1.7+0.05=1.75. Таким образом, х(0.96)=1.75 (см. рис. 11b).

Пример 6. Мы хотим найти 95%-ный квантиль. Из таблицы № видно, что близко к 0.95 является =0.9495 и =0.9505. Соответствующий значений Z являются, соответственно 1.64 и 1.65. В качестве 95%-ной квантилю берем среднее арифметическую X(0.95) = 1.645.

Заметим, что процентные квантили больше чем 50 являются положительными, потому что стандартное нормальное распределение симметрично относительно среднего значения 0 и поэтому 50% площади лежит слева от нуля. Следовательно, процентные квантили больше чем 50 должны лежат справа от нуля. Процентные квантили меньше чем 50 лежат слева от нуля и поэтому они отрицательны. Зная процентные квантили выше чем 50 мы можем найти квантили ниже 50%. Они связаны между собой следующим соотношением:

Х()= - Х(1 - )

Например, мы хотим найти 4 процентный квантиль (=0.04). В силу вышеупомянутой соотношение Х(0.04)=-Х(0.96), а в силу примера 5 Х(0.96)=1.75. Поэтому Z(0.04)= -1.75 (см. рис.11с).

На практике часто имеем дело с нестандартным нормальным распределением, а нормальным распределением. Из сложившегося ситуации выходит (применяя) переходя к стандартизированной переменой. Для закрепления этого рассуждения будет полезен следующий числовой пример.

Пример 7. Пусть случайная величина Х распределена нормально со средним значением равным 10 и дисперсией, равной 4 (среднее квадратическое отклонение равно 2) единицам. Каково вероятность того, что случайная величина Х принимает значение больше или равное 12?

Переходя к стандартизированной переменной имеем

Таким образом P(X>12)=P(Z>1), a в силу примера 2 P(Z>1)=0.1587 и поэтому P(X>12)=0.1587.

Пример 8. Пусть заработная плата (Х) рабочих и служащих Ташкентского текстильного комбината распределена по нормальному закону со средним значением 1500 сум и среднее квадратическим отклонением 1000 сум. Какова вероятность того, что заработная плата наугад выбранного рабочего будет больше чем 1200 сумов.

Переходя к стандартизированной величине имеем:

Следовательно

P(X > 1200)=P(Z > 0.3)=1- P(Z < 0.3)=1- 0.6173= 0.3827

Таким образом, 38.27% рабочих Ташкентского текстильного комбината имеет заработную плату больше чем 1200 сумов.

4. Логнормальное распределение

Случайная величина Х распределена по логнормальному закону, если она имеет следующий вид функции плотности вероятности:

Логнормальное распределение имеет среднее значение равное и дисперсию равную

Если случайная величина Y распределена по логнормальному закону с параметрами а и ², то lnY распределена по нормальному закону с параметрами а и ². Поэтому для того чтобы вычислить вероятность события связанной с логнормальным распределением переходят логарифму (потенцированием), а затем использует таблицу нормального распределения.

Пример 9. Известно, что каждая фирма характеризуется прибыльностью и их можно распределить по этому параметру. Рассмотрим только прибыльные фирмы пищевой промышленности. Пусть Х - величина прибыли фирмы распределена по логнормальному закону с средним значением 0.5 млн. сум (за квартал) и дисперсией равной 0.25. Определить, сколько процентов составляет фирмы пищевой промышленности, прибыли которых больше чем 1 млн. сум за квартал?

В силу вышеупомянутой lnX распределена по нормальному закону с параметрами а = 0.5 и = 0.25. Следовательно

Таким образом, 84% фирмы пищевой промышленности имеют прибыль больше чем 1 млн. сум.

Переходя к стандартизированной величине имеем:

Следовательно

P(X > 1200)=P(Z > 0.3)=1- P(Z < 0.3)=1- 0.6173= 0.3827

Среднее квадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием.

Экспоненциальный закон распределения может применяться в качестве одной из возможных математических моделей в теории надежности. Параметр в теории надежности называется интенсивностью отказа элемента.

5. Хи-квадрат распределение. Распределение Стьюдента и Фишера

Хи-квадрат распределение и последующие t (Стьюдента) и F (Фишера) распределение происходит от нормального распределения.

Пусть X₁, X₂, ..., X_n последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией равной единице и положим Величина _n²распределение с законом распределения хи-квадрат со степенью свободы =n.

Хи-квадрат распределение определяется одним параметром (степеней свободы), которая характеризует количеством слагаемых нормально распределенных случайных величин. В частности, если n=1, то распределение по закону хи-квадрат со степенью свободы 1.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны.

Если X₁, X₂, ..., X_n независимые случайные величины распределенные по закону хи-квадрат со степенью свободы n₁, n₂, ..., n_n соответственно, то их сумма распределена по закону хи-квадрат со степенью свободы равный, сумме степеней свободы слагаемых, т.е. n = n₁ +n₂+...+ n_n.

Хи-квадрат распределение связано с распределением статистической дисперсией S² выборки и используется при нахождение вероятности того, что S² принимает значение, принадлежащее определенному отрезку, при построение доверительных интервалов для неизвестных параметров распределение выборки и играет важную роль в проверке статистических гипотез.

Составлена таблица (см. приложение № ), в которой для различных значений =n 50 приведены квантили (процентные точки) хи-квадрат распределения, т.е. такие значения x при которых

P(²< x) =

где - заданный уровень вероятности (значимости).

Хи-квадрат распределение со степенью свободы больше чем 50 аппроксимируется со стандартным нормальным распределением.

Пример . Пусть Х распределена по закону хи-квадрат со степенью свободы n=61. Найти вероятность того, что случайная величина Х принимает значение меньше чем 72.

Пусть Z распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным нулю, и дисперсией равной единице и ²_n распределена по закону хи-квадрат со степенью свободы =n и случайные величины Z и ²_n независимы, тогда (соотношение) случайная величина распределена по закону Стьюдента со степенью свободы =n.

С ростом числа степеней свободы распределение Стьюдента приближается к нормальному распределению с параметрами (0, 1). Таблица распределения Стьюдента приведена в приложении№ . В ней содержатся значения x=x ( - процентные), удовлетворяющие равенству P(T_n< x)=. Для больших n значений х определяется по таблице нормального распределения.

Пусть независимые случайные величины распределенные по закону хи-квадрат со степенями свободы n₁ и n₂ соответственно, то случайная величина имеет распределение Фишера.



Контрольные вопросы

Что такое случайная переменная (зависимая, независимая)?

В чем различие среднего значения от математического ожидание случайной величины для различных распределений?

Напишите формулы среднеквадратического отклонения и дисперсия для нормального распределения

. В каких случаях используется каждый из этих показателей?

Какие типы распределений Вы знаете?

Какие дискретные распределения Вы знаете?

Какие непрерывные распределения Вы знаете?

Распределения Стьюдента и Фишера.



Литература

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистка и эконометрика. М.:МЭСИ,2000.

Бородич С.А. Эконометрика. Минск: Новое знание, 2001.

Доугерти К. Введение в эконометрику. ИНФРА-М,1999.

Ежеманская С.Н. Эконометрика. Ростов - на Дону, Феникс, 2003.

Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе. М., ГУ ВШЭ, 2001.

Кремер Н.Ш. Эконометрика: Учебник. /Под. ред. Н.Ш.Кремера. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика.М.:ЮНИТИ-ДАНА,2002.

Кулинич Е.И. Эконометрия. -М.: Финансы и статистика, 2001.

Магнус Я.Р. и другие. Эконометрика. М.: Дело, 2000.

Нименья И.Н. Эконометрика. СПб.:Издательский Дом «Нева», 2003.

Практикум по эконометрике. Под ред. Елисеевой И.И. М.: Финансы и статистика, 2002.

Сборник задач к начальному курсу эконометрики. /под ред. Катышева П.К. М.:Дело, 2002.

Эконометрика. /под. ред. проф. Т.Шадиев. -Т.: «Шарк» 1999.

Интернет сайты

1. www.allinsurance.ru - сайт Российской компании по страхованию, позволяет получить материалы по моделированию рисковых ситуаций.

2. www.bitex.ru/~dialog/markl_modeler.html - позволяет получить информацию по эконометрическому моделированию.

3. www.blogic.ru - Российский сайт, позволяет просмотрет и получить материалы по логическому моделированию.

4. www.bolero.ru/product-22422499.html - сайт Российской компании “BOLERO”. Можно получить теоретическую и практическую информацию по моделирование. Размещено на Allbest.ru

...