Основные статистические понятия

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Основные статистические понятия



План

1. Понятие случайной переменной. Генеральная совокупность и выборка

2. Числовые характеристики распределения случайной величины

3. Среднее значение. Математическое ожидание

4. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины

Литература



1. Понятие случайной переменной. Генеральная совокупность и выборка

статистический дисперсия математический среднеквадратический

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Оно описывает результаты (исходы) стохастического эксперимента. Так называются эксперименты, результаты которых нельзя предугадать заранее. Приведем примеры.

Пример 1. Розыгрыш лотереи. На купленный лотерейный билет может выпасть любой из разыгрываемых в лотерее выигрышей или нет.

Пример 2. Эксперимент состоит продаже автомобилей за определенный период времени.

Определение 1. Случайной величиной называется величина (переменная), которая количественно описывает результаты эксперимента.

Рассмотрим эксперимент состоящий продажи автомобилей за один день, предполагая, что в наличии имеется 50 автомобилей.

Пусть количество проданных автомобилей за день. Тогда случайная величина может принимать одно из следующих значений: 0, 1, 2, 3,..., 50.

Пример 3. Эксперимент состоит проверке качество 40 телевизоров. - количество дефектных телевизоров, тогда оно может принимать значений: 0, 1, 2,..., 40.

Случайные величины разделяют на два типа:

дискретный;

непрерывный.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счетное (1, 2, 3,...) число значений.

Количество проданных автомобилей за день, количество бракованных телевизоров в определенный период времени, количество клиентов пришедшие в банк в течение дня, чтобы сделать какое-либо операцию и т.д. являются дискретными случайными величинами.

Случайная величина называется непрерывной, если всевозможные значение полностью покрывает некоторый интервал [а, b].

Другими словами, непрерывные случайные величины принимают значение из некоторого интервала [а, b]. Такие величины встречаются, когда мы имеем дело с измерением весов, времени или температуры. Например, поезда метро идут в данном направлении с интервалами 3 мин. Пусть время ожидания пассажира. Тогда может принимат любое число из интервала [0, 3], т.е. 0 3.

Пусть - курс доллара по отношению сума на какомто бирже и рынке ценных бумаг. Тогда 90.2 95.6

Перед тем как дать понятие распределение дискретной случайной величины, мы найдем распределение числа проданных автомобилей фирмы UzDАEWOO за последней год (Таблица 1).

Продажа автомобилей за день

Объем продажи	Количество дней
не продано	54
продан 1 автомобиль	117
продана 2 автомобиля	72
продана 3 автомобиля	42
продана 4 автомобиля	12
продана 5 автомобиля	3
И Т О Г О	300

Если - число проданных автомобилей за день, то оно принимает значение 0, 1, 2, 3, 4, 5. Из таблицы 1 видно, что максимальное число проданных автомобилей за день равно 5. Случайная величина принимает конечное числовое значение (шесть) и поэтому дискретна.

Обозначим через Pk вероятности того, что случайная величина при-нимает значение k т.е.



Pk =P(=k), k=0, 1, 2, 3, 4, 5.

Тогда P0 - вероятность того, что число проданных машин за день равно 0.

В теории вероятностей вероятность любого события А - это есть число между 0 и 1, которая характеризует измерения объективной возможности наступления события А.

Напимер, если P(А)=0.8, то это означает, что событие А происходить в среднем 80% случаях.

Если событие не произойдет не когда, то P(А)=0. Если же оно всегда происходить, то P(А)=1.

Теперь вернемся к нашему примеру. Из таблицы 1 видно, что 54 дня не было продано не одной машины, а всего 300 дней были заняты продажей автомобилей. Доля непроданных не одного автомобиля равно (54/300)=0.18, поэтому P0=P(=0)=0.18. Другими словами 18% из наблюденных дней (300) нами не было продано не одного автомобиля.

Аналогично находим остальные вероятности:

P1 =P(=1)=117/300=0.39

P2 =P(=2)=72/300=0.24

P3 =P(=3)=41/300=0.14

P4 =P(=4)=12/300=0.04

P5 =P(=5)=3/300=0.01

Вероятность Pk , k 0 должны удовлетворят условием:



2. Числовые характеристики распределения случайной величины

Законом распределения (или просто распределением) дискретной случайной величины называется совокупность пар чисел (xi, Pi), где хi - возможные значения случайной величины, а Pi - вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем Pi =1.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

	x1	x2	...	xk	...
P	P1	P2	...	Pk	...

Число проданных автомобилей имеет следующий ряд распределений:

:	0	1	2	3	4	5
P :	0.18	0.39	0.24	0.14	0.04	0.01

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, его изображают графически (Рис.1.): на оси 0X наносят точки хi и приводят из них перпендикуляры длиной Pi .

Рис. 1 Число проданных автомобилей



Закон распределения непрерывной случайной величины в отличие от дискретной задается (или определяется) так называемой плотностью распределения вероятностей или плотностью распределения P(x).

Плотность вероятности обладает следующими свойствами:

1. P(x) 0 для любого x- +.

2. Вероятность попадания случайной величины на отрезок [, ] равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=P(x), осью 0х и прямым и

x= , x=.

На рис.2 изображена плотность распределения вероятности Р(x) и заштрихована площадь фигуры равна вероятностей

P( ).

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Рис. 2 Плотность распределения вероятности P(x)

Площадь ограниченной кривой y=P(x) и осью 0х равна единице, т.е.

Примеры на закон распределения непрерывной случайной величины будут приведены в следующем параграфе.



3. Среднее значение. Математическое ожидание

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется число М, которое вычисляется по формуле:

Вычислим математическое ожидание число проданных автомобилей фирмы UzDАEWOO за день:

M = 00,18 + 10,39 + 20,24 + 30,14 + 40,04 + 50,01= 1,50

Среднее значение случайной величины равно 1.50 или другими словами в среднем 1.50 автомобилей будет продано за день. Знать среднее значение случайной величины очень важно в управлении производством или более точно в планировании и принятия решений. Например, сколько автомобилей будет продано в течении следующих трех месяцев? Так как в среднем 1.5 автомобилей продается в день, то за три месяца будет продано 901.5=135 автомобилей. Это дает полезную информацию для принятия решений.

Отметим, что математическое ожидание - это постоянное число, описывающей центр распределения.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

10. Математическое ожидание постоянной равна этой постоянной, т.е. если C - постоянная, то:

MC = C



20. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(C ) = CM

30. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин:

M(1 +2) = M1 + M2

Пример 3. Известно, что в оптовой торговле цена товара зависит от объема партии. Пусть цена 1 кг сахара зависит от объема проданных партии товара следующим образом:

1 = 50 - (2/10),

где 1 - цена (в тыс. сумах) одной тонны сахара;

2 - объем партии в тоннах.

Предположим, что средней объем партии равна 250 тонн, т.е. M2=50 тонн. Вычислить среднюю цену 1 кг сахара в оптовой торговле.

В силу свойств 10 - 30 математического ожидания имеем:

M1 = M(50+(-1/10) 2) = M(50)+M((-1/10)) 2)= 50 - (1/10) M2= 50 - (250/10) = 25 тыс.cум.

На практике часто требуется оценить рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. На первый взгляд может показаться, что проще всего вычислить все возможные значения отклонения - М случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако среднее арифметическое отклонение может быть равно нулю, хотя сами отклонения будут большими по модулью. Это объясняется тем, что значения могут иметь противоположные знаки и взаимно погашаться при нахождении среднего арифметического.

4. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины

Для характеристики рассеивания вычисляют дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины называется число D, равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

D = M( - M )2

Дисперсию общее принята обозначать 2=D. Теперь вычислим дисперсию чисел проданных автомобилей за день:

2=(01,5)20,18+(11,5)20,39+(21,5)20,24+(31,5)20,14+(41,5)20,04+(50,5)20,01=2,250,18+0,250,39+0,250,24+2,250,14+6,250,04+12,250,01=1,25

Дисперсия случайной величины как характеристика рассеивания имеет одну неприятную особенность: ее размерность, как видно из определения дисперсии, равна квадрату размерности случайной величины . Поэтому для характеристики отклонений случайной величины , имеющих размерность, одинаковую с размерностью случайной величины, вводится понятие среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е.

Для нашего примера Это означает, что число проданных автомобилей отклоняется от среднего числа проданных автомобилей на 1,118 единиц за день.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение характеризуют степень рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания: чем больше дисперсия или среднеквадратическое отклонение, тем больше степень рассеивания случайной величины.

Рассмотрим еще один пример. Продавец мороженного в солнечный день может продать мороженноe на $160, а в дождливый - на $20. Какова ожидаемая выручка (дневная), если вероятность того, что день окажется дождливым, равна 0,35?

Пусть - возможная выручка в дождливые и солнечные дни. Тогда имеет следующее распределение:

:	20	160
P:	0.35	0.65

Так как - дискретная случайная величина и ожидаемая выручка - это математическое ожидание М=200,35+1600,65=$111, то продавец может продать мороженное на $111.

Cреднее квадратическое отклонение ожидаемой дневной выручки равна:



Возможная выручка в дождливые и солнечные дни отклонится от ожидаемой выручки на $67.

Таким образом, зная введенные две числовые характеристики случайной величины - математическое ожидание М и среднее квадратическое отклонение , получаем ориентировочное представление о пределах возможных значений случайной величины.

Рассмотрим свойства дисперсии.

10. Дисперсия постоянной C равна нулю:

DC= 0.

20. Дисперсия произведения случайной величины на постоянную C равна произведению дисперсии случайной величины на квадрат постоянной:

D(C )=C2 D.

Случайные величины 1 и 2 называются независимыми, если совместный закон распределения этих величин равна произведению законов распределения 1 и 2.

30. Если случайные величины 1 и 2 независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсией:

D(1+2) = D1 +D2.



В общем случае, т.е. если 1 и 2 произвольные случайные величины, то

D(1+2)=D1 + D2 + 2соv(1, 2),

где cov(1, 2) - ковариация случайных величин 1 и 2, определения которого дано в следующем параграфе.

Рассмотрим пример с оптовой торговле сахаром, т.е.

1= (50-(1/10) 2)

здесь 1 -цена в сумах одной тонны сахара, а 2 - объем сахара в тоннах.

Предположим, что средний объем партии равна 250 тонн, а среднее квадратическое отклонение 50, т.е. М2=50, D2=25. Известно, что при таком объеме партии средняя цена одной тонны cаxаpа равна М1=25 тыс.сум. Насколько отклонится цена 1 тонны сахара от средней цены?

В силу свойств дисперсии 10 - 30 имеем:

D1=D(50+((-1/10) 2)=D(50)+D((-1/10) 2)=0+(-1/10)2 D2 = (1/100) D2

Следовательно

Это означает, что цена одной тонны сахара в оптовой продаже отклоняется от средней цены сахара на 2,5 тыс.сум.

Ключевые слова

Случайная величина, закон больших чисел, дискретная и непрерывная случайная величина, математическое ожидание, вариация, частота, частость, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

Контрольные вопросы

Что такое случайная величина ?

Виды случайных величин.

Распределение случайной величины. Законы распределения.

Среднее значение дискретной и непрерывной случайной величины.

В чем отличие дисперсии от среднеквадратического отклонения?

Какой из показателей удобно использовать в экономическом анализе и почему?

Свойства дисперсии.

Ковариация и ее свойства.



Литература

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистка и эконометрика. -М.: МЭСИ, 2001.

Бородич С.А. Эконометрика. -Минск: Новое знание, 2001.

Доугерти К. Введение в эконометрику. -М.: ИНФРА-М, 2001.

Ежеманская С.Н. Эконометрика. -Ростов-на Дону: Феникс, 2003.

Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе. -М.: ЮНИТИ, 2003.

Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособ. 2-е изд. -М.: ФИМА, 2003.

Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

Магнус Я.Р. и другие. Эконометрика. -М.: Дело, 2002.

Нименья И.Н. Эконометрика. -СПб.: издательский Дом «Нева», 2003.

Эконометрика. Учебник. /под ред. И.И.Елисеевой. -М.: Финансы и статистика, 2004.

Интернет сайты

www.center.neic.nsk.su/pаge_rus/bmodel.html

www.econ.аsu.ru

www.tsure.ru

www.wsu.ru

www.economics.com

www.stаt.mesi.ru

????????? ?? Allbest.ru

...