Нахождение решения уравнения Шрёдингера

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Факультет физико-математических и естественных наук

Кафедра прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему

«Нахождение решения уравнения Шрёдингера »

Уравнения математической физики

Выполнил

Студент группы НП-301

Стуклов Д.Н.

Руководитель

доцент кафедры прикладной математики, к.ф.-м.н.

Боговский М.Е.

Москва 2016

Введение

Цель работы:

Найти решение уравнения Шрёдингера.

Выяснить, в каких случаях уравнение Шрёдингера имеет смысл, а в каких случаях гладкость решений пропадает.

Актуальность:

Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения (уравнение Клейна -- Гордона, уравнение Паули, уравнение Дирака и др.)

уравнение шрёдингер преобразование теорема

Теоретические аспекты уравнения Шрёдингера

Определение уравнения Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера -- линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве (в общем случае, в конфигурационном пространстве) и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнения Гамильтона или уравнение второго закона Ньютона в классической механике или уравнения Максвелла для электромагнитных волн. Сформулировано Эрвином Шрёдингером в 1925 году, опубликовано в 1926 году. Уравнение Шрёдингера не выводится, а постулируется методом аналогии с классической оптикой, на основе обобщения экспериментальных данных[1].

Методы решения уравнения Шрёдингера:

Уравнения Шрёдингера может быть 4-мя методами:

Аналитический метод. Решение ищется в виде точного математического выражения. Этот метод применим лишь в немногих простейших случаях (одноэлектронные атомы, линейный осциллятор, потенциальная яма с бесконечно высокими стенками и т.п.).[17]

Метод возмущений. Оператор Гамильтона рассматривается как сумма двух слагаемых. Одно из них рассматривается как невозмущённый оператор, имеющий точное аналитическое решение. Другое слагаемое рассматривается как малая возмущающая добавка к нему. При стационарном возмущении решение заключается в разложении собственных значений и собственных функций в ряд по степеням малой постоянной возмущения и нахождении приближённого решения системы получаемых уравнений.[18] При нестационарном возмущении волновая функция ищется в виде линейной комбинации собственных волновых функций с коэффициентами, зависящими от времени.[19]

Метод Ритца. Применяется для решения стационарного уравнения Шрёдингера. Определяются экстремальные значения средней полной энергии системы при помощи варьирования параметров некоторой пробной функции.[20]

Метод Хартри-Фока.

Практическая часть

1) Уравнение Шрёдингера в общем виде.

Для начала, запишем исходное уравнение Шрёдингера в общем виде:

Это уравнение даёт описание электрона в квантовой механике. Здесь h>0 - постоянная Планка и m - масса. Величина имеет физический смысл плотности вероятности, то есть есть вероятность того, что электрон находится в окрестности точки в момент времени t.

2) Уравнение Шрёдингера с некоторыми фиксированными физическими величинами.

Для упрощения поиска решения уравнения Шрёдингера, положим h=1, m= .

Тогда уравнение Шрёдингера примет вид:

(или -в одномерном случае.

(или - в n-мерном случае.

3) Задача Коши для уравнения Шрёдингера.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения Шрёдингера:

Для решения задачи (1),(2), очень важную роль будет играть преобразование Фурье, поэтому, для того, чтобы идти дальше, мы должны его применить.

4) Задача Коши для уравнения Шрёдингера после преобразования Фурье.

После применения преобразования Фурье, мы получим задачу Коши для уравнения Шрёдингера в следующем виде:

5) Упрощение уравнения (1') из задачи (1'), (2').

Упрощение уравнения (1') из задачи (1'), (2'), получим уравнение вида:

(3')

6) Вид решения уравнения (3') как функция

Для уравнения (3'), проделав определённые процедуры, мы получили решение , принимающее вид:

=(

7) Применение обратного преобразования Фурье к функции

Для того, чтобы получить решение задачи (1),(2), применим обратное преобразование Фурье к функции Получаем:

u(x,t)= K, где K - интегральное ядро, K=.

8) Полученное решение

В итоге получаем решение, которое будет иметь вид:

u(x,t) =, (4)

где supp.

9) Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера.

Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера будет примет вид:

, где, .

10) Разложение функции u.

Найдя и g, мы получили, что функция u может быть разложена как:

u=g .

Также стоит отметить, что формула (4) имеет смысл для любоговремени t >0 и даже t <0. Однако при t=0 гладкость решений пропадает.

11) Окончательный вид уравнения Шрёдингера с решением.

В итоге, окончательным видом уравнения Шрёдингера с решением будет служить система уравнений:

В частности, уравнение Шрёдингера является обратимым во времени, в то время как уравнение теплопроводности таковым не является.

12) Теорема о бесконечной гладкости решений уравнения Шрёдингера с начальными условиями.

Для того, чтобы исследовать полученное решение уравнения Шрёдингера на бесконечную гладкость, нам понадобится следующая теорема:

Теорема:Если,, то решение , .

13) Доказательство теоремы о бесконечной гладкости решений уравнения Шрёдингера с начальными условиями.

Теперь, чтобы убедиться в справедливости теоремы, докажем её.

Доказательство:Рассмотрим систему:

и рассмотрим функцию : suppg?, где - шар радиуса 1.

При этом, функцияg может не иметь производных (классических).

Следовательно,классическое решение , где .

Таким образом,

=0. (5)

Сделаем замену n=2k в формуле (4) и, поскольку и , где (нам понадобится случай ), подставим это вместоtв формулу (4).

Получим:

g(x) .

Получаем уравнение Шрёдингера (6) для t>0 с начальными условиями (7):

решение которого представлено в виде:

u(x,t) =. (8)

14) Проверка доказательства теоремы о бесконечной гладкости решений уравнения Шрёдингера с начальными условиями.

Для проверки, в формуле (8) положим t=0 (по начальному условию), получим:

().

Из формулы (5) следует, что= 0, ч.т.д.

Заключение

Мне удалось разобраться в теме уравнений математической физики «Нахождение решения уравнения Шрёдингера».

Научиться искать решения уравнений в частных производных с помощью преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье.

Понять важность данного материала в сфере математических и физических наук.

Изучить материал в целях общего развития и пополнения собственных знаний.

Размещено на Allbest.ru