Описание синхронного генератора в обобщенных параметрах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Описание синхронного генератора в обобщенных параметрах

Вилесов Дмитрий Васильевич,

Бондаренко Александр Евгеньевич

Под обобщенными параметрами трехфазного синхронного генератора (СГ), в теории синхронной машины в осях d-q, принято понимать: изображающий вектор тока статора, изображающий вектор напряжения статора, изображающий вектор тока возбуждения, изображающие вектора потокосцепления и их модули. Добавим к этому мгновенную мощность трехфазной системы, мгновенную реактивную мощность [2], мгновенные углы между изображающими векторами и осями d-q, В данной статье термин реактивная, мгновенная мощность определяет мгновенную электромагнитную энергию, запасенную трехфазным потребителем, с коэффициентом пропорциональности равным удвоенной угловой частоте вращения. Иногда, достаточно редко, изображающий вектор называется вектором пространственной волны тока, напряжения, э.д.с, потокосцепления и т.д. Все, перечисленные выше параметры, являются мгновенными величинами в функции времени.

Необходимость создания математической модели СГ в обобщенных параметрах обусловлена тем, что модули изображающих векторов тока Im и напряжения Um, мгновенная мощность p(t), мгновенная реактивная мощность q(t) достаточно просто схемотехнически определяются на практике, тем самым легко проверяется соответствие принятой модели реальному событию. математический генератор синхронный

Рассмотрим принятую систему координат (рис. 1). В качестве неподвижных на плоскости координат возьмем симметричные фазные оси А, В. С, сдвинутые относительно друг друга на 120 эл. градусов, в центре пересечения этих осей находиться ось ротора СГ, относительно которой ротор вращается против часовой стрелки с переменной скоростью щ(t).



Рис. 1. Принятая система координат и направления осей.

Вместе с ротором вращаются оси d и q, закрепленные на роторе. Между осью А и осью d отсчитывается угол г. Также с ротором, угловая скорость вращения которого), в общем случае, не является постоянной, вращаются изображающие вектора тока Im и напряжения Um, которые меняют положение относительно осей d и q за счет изменения во времени углов и, ц, в:

и(t) - мгновенный угол между изображающим вектором напряжения и поперечной осью ротора, отчитываемый от вектора напряжения в сторону поперечной оси, так называемый внутренний угол машины;

ц(t) - мгновенный угол между изображающими векторами тока и напряжения, так называемый угол нагрузки, отчитываемый от вектора тока в сторону вектора напряжения;

в(t) - мгновенный угол между продольной осью и изображающим вектором тока отчитываемый от продольной оси в сторону изображающего вектора тока.

Отметим, что изображающие вектора тока и напряжения, вращаясь вместе с ротором, не будучи "жестко" связанны с осями q и d, в каждый текущий момент времени определяют фазные токи и напряжения следующим образом:

ua = Um cos(г + в + ц),

ub = Um cos(г + в + ц - 120),

uc = Um cos(г + в + ц + 120), (1)

ia = Im cos(г + в),

ib = Im cos(г + в - 120),

ic = Im cos(г + в + 120).

Также примем во внимание, что для трехфазной симметричной системы всегда действуют выражения:

ia + ib + ic = ua + ub + uc = Шa + Шb + Шc = 0 (2)

Из теории электрических машин известно, что изображающий вектор - это сумма векторов фазных статорных проекций, и он может быть записан как:

Vm= (2/3)(va + vb exp120j + vc exp240j); (3)

А модуль изображающего вектора может быть определен как:

Vm=(Vd+ Vq)0,5 = ((v2a + v2b +v2c)2/3)0,5 (4)

где: Vd,Vq - проекции соответствующих изображающих векторов на оси d и q.

В соответствии с (3) изображающие вектора для трехфазного тока, напряжения, потокосцепления можно записать как:

Im = Im expj(г + в),

Um = Um expj(г + в + ц),

p(-Шm) = Um expj(г + в + ц) + rIm expj(г + в) (5)

где r - активное сопротивление статорной обмотки, Шm - изображающий вектор потокосцепления статора, p = d / dt - оператор дифференцирования.

Чтобы определить производную по времени от изображающего вектора потокосцепления определим для начала выражения для потокосцеплений фазных контуров и контура возбуждения без учета успокоительных контуров:

Шa = La ia + Mab ib + Mac ic + Maf if,

Шb = Lb ib + Mba ia + Mbc ic + Mbf if, (6)

Шc = Lc ic + Mca ia + Mcb ib + Mcf if,

Шf = Lf if + Maf ia + Mbf ib + Mcf ic .

Коэффициенты взаимоиндукции фазных обмоток между собой и взаимоиндукции фазных обмоток с обмоткой возбуждения, определяются следующим образом:

Mab = Mba = Mo + Mmcos (2г - 120),

Mbc = Mcb = Mo + Mm cos 2г,

Mac = Mca = Mo + Mm cos (2г + 120),

Maf = - Mf cos г,

Mbf = - Mf cos (г - 120),

Mcf = - Mf cos (г + 120),

здесь: Mo - среднее значение коэффициента взаимоиндукции фазных обмоток, Mm - максимальный значение коэффициента взаимоиндукции фазных обмоток, Mf - максимальное значение коэффициента взаимоиндукции фазной обмотки и обмотки возбуждения при совпадении магнитных осей.

Коэффициенты самоиндукции фаз статора La, Lb, Lc определяются следующим образом:

La = Lo + Lm cos 2г,

Lb = Lo + Lm cos (2г + 120),

Lc = Lo + Lm cos (2г - 120),

гдe: Lo - среднее значение коэффициента самоиндукции фазных обмоток статора, Lm - максимальный коэффициент самоиндукции фазных обмоток статора.

Приведенные выше коэффициенты взаимоиндукции и самоиндукции подставим в (6) и после несложных тригонометрических преобразований полученные выражения уже подставим в (3), что позволит определить выражение для изображающего вектора потокосцепления синхронной машины [1]:

Шm = Im ((Lo - Mo)exp(j(г + в)) + 1,5Mm expj(г - в)) - Mf if expjг,

Или

Шm = (Lo - Mo) Im - Mf if +1,5Mm Im exp(-j2в),

Шf = Lf if - 1,5 Mf Im cos в

где if = if expjг - изображающий вектор тока возбуждения.

Теперь возьмем производную от изображающего вектора потокосцепления и подставим в (5), в результате получим комплексное уравнение синхронного генератора в обобщенных величинах:

Um expj(г + в + ц) + rIm expj(г + в) = Mf if г 1expj(г +90) + Mf if1expjг - I1m ((Lo - Mo)exp(j(г +в)) +1,5Mm expj(г - в)) - Im((Lo - Mo)(г 1+ в1)expj(г + +в+90)+1,5Mm (г 1- в 1)expj(г - в + 90)) (7)

где: г1 - производная по времени от угла г1 = щ, I1m - производная по времени от модуля изображающего вектора тока, в1- производнаяугла в по времени, if 1- производная по времени тока возбуждения синхронной машины.

Выражение (7) представляет собою общее, комплексное уравнение СГ, записанное в физических параметрах. Это выражение не является переходом от трехфазной машины к двухфазной, но позволяет перейти к известным уравнениям Горева-Парка. представляющим собою проекцию выражения (7) на оси d-q. . Для получения уравнений Горева-Парка, исходное уравнение (7) спроецируем на оси d и q, для чего сократим левую и правую части на exp(jг):

Umexpj(в+ц)+ rImexp(jв) = Mf if щexp(j 90) + Mf if1 - I1m((Lo - Mo)exp(jв) + 1,5 Mmexpj(- в))- Im((Lo - Mo)(щ + в 1)exp[j(в+90))+1,5 Mm(щ - в1)expj(90-в))

Теперь учтем некоторые соотношения при определении действительной и мнимой части полученного уравнения:

Um sin(в + ц) = Uq,,

Um cos(в + ц) = Ud,

Im sinв = Iq,

Im cosв = Id ;

(Lo - Mo) +1,5 Mm = Ld,

(Lo - Mo) - 1,5 Mm = Lq,

где: Ld, Lq - реактивности по продольной и поперечной оси.

Используя эти соотношения, получим:

Um cos(в+ц) = Mf if1 - rImcosв - I1m((Lo - Mo)cosв + 1,5 Mm cos в) - -Im ((Lo - Mo)(щ + в 1)sin(-в)) + 1,5Mm(щ - в 1)sinв)

или после преобразований

Ud = -rId + Mf if1 - Id1 Ld + щ Lq Iq

Um sin(в+ц) = Mf if щ - rIm sinв - I1m((Lo - Mo)sinв - 1,5Mm sinв) - Im ((Lo - Mo)(щ + в 1)cosв + 1,5Mm(щ - в 1) cosв)

или после преобразований

Uq = Mf if щ - rIq - Id Ld щ- Iq1 Lq

Очевидно, что уравнения Горева-Парка являются частным случаем общего, комплексного уравнения синхронного генератора.

Теперь спроецируем комплексное уравнение СГ (7) на направление вектора трехфазного тока, для этого его левую и правую часть сократим на

expj(г + в),

Um expjц + rIm = Mf if щexpj(90 -в) + Mf if1exp(- j в) - I1m ((Lo - Mo) + +1,5Mmexpj(-2в))- Im((Lo-Mo)(щ + в1)expj90 +1,5Mm(щ - в 1)expj(90-2в))

Выделим мнимую и действительную часть полученного выражения:

Umcosц = Mf if щ sinв+Mf if1сosв - rIm - I1m ((Lo-Mo) +1,5Mmcos2в) - 1,5Mm Im (щ - в 1)sin2в

Umsinц = Mf if щ cosв - Mf if1sinв - Im (Lo-Mo)(щ + в1) +1,5Mm Im(щ - в1) cos2в + 1,5Mm I1m sin2в (8)

Преобразуем первое уравнение, используя известные в теории машин соотношения, приведенные выше при определении действительной и мнимой части выражения (7). В результате получим следующее:

Umcosц = Mf if щ sinв+Mf if1сosв - rIm - 0,5 I1m (Lq sin2в +Ld cos2в) - 0,5 Im (Ld -Lq) (щ - в 1)sin2в (9)

Умножим полученное уравнение на величину модуля изображающего вектора тока, затем преобразуем и получим выражение для мгновенной трехфазной мощности, потребляемой сетью:

2/3 p(t) = Um Im cosц = Mf if щ Im sinв +Mf if1 Im сosв - rI2m - 0,5щ I2m (Ld - Lq) sin2в - 0,5(Ld (I2m сos2в)1 + Lq (I2m sin2в)1)

Или

2/3 p(t) = Ud Id + Uq Iq= Mf if щ Iq +Mf if1 Id - r(I2d + I2q) - щ Iq Id (Ld -Lq) - 0,5 (Ld(I2d)1 + Lq(I2q)1) (10)

Очевидно, что электромагнитная энергия взаимодействия полей ротора и статора (первые два слагаемых в (9)) расходуется на нагрев обмоток статора (третье слагаемое), на пополнение запасенной электромагнитной энергии в статорных обмотках (пятое слагаемое), на потребление трехфазной сетью.

Теперь повторим похожую процедуру для второго уравнения в (8).

Um sinц = Mf if щ cosв - Mf if1sinв + 0,5(Ld - Lq) I1m sin2в - щ Im(Lq sin2в + Ld cos2в) - в1 Im(Ld sin2в + Lq cos2в). (11)

Мгновенную трехфазную, реактивную мощность определим следующим образом [2]:

2/3 q(t) = Uq Id - Ud Iq

2/3 q(t) = Um Im sinц = Mf if щ Im cosв - Mf if1 Im sinв + 0,5(Ld - Lq) Im I1m sin2в - щ I2m(Lq sin2в + Ld cos2в) - в1 I2m(Ld sin2в + Lqcos2в),

или после преобразований:

2/3 q(t) =Mf if щ Id -Mf if1 Iq + Ld I1d Iq - Lq I1q Id - щ (Lq I2q + Ld I2d) (12)

Мгновенная реактивная мощность, как видно из выражения (12), это результат электромагнитного взаимодействия ротора и статора (первые два слагаемых), изменение энергии взаимодействия статорных обмоток (третье и четвертое слагаемое), мгновенная электромагнитная энергия, накопленная в статорных обмотках, умноженная на двойную угловую частоту (пятое слагаемое).

Запишем теперь уравнения (9), (10), (11), (12) для установившегося режима:

Um cosц = Mf if щ sinв- rIm - 1,5Mm Im щ sin2в,

Или

Um cosц = Mf if щ sinв - rIm - 0,5 Im щ (Ld -Lq) sin2в,

2/3 p(t) = Mf if щ Im sinв - rI2m - 0,5щ I2m (Ld - Lq) sin2в

Или

2/3 p(t)= Mf if щ Iq - r(I2d + I2q) - щ Iq Id (Ld -Lq),

Um sinц = Mf if щ cosв - Im (Lo-Mo)щ +1,5Mm Im щ cos2в,

Um sinц = Mf if щ cosв - щ Im(Lq sin2в + Ld cos2в).

2/3 q(t) =Mf if щ Id - щ (Lq I2q + Ld I2d) (13)

Определим теперь запасенную энергию в контурах СГ, которая определяется как половинная сумма произведений соответствующих мгновенных потокосцеплений на соответствующие токи

Wэ = 0,5 (Шa ia + Шb ib+ Шc ic + Шf if)

Преобразуем это выражение, используя (6) и (1) в следующее:

Wэ = 0,5 (1,5 I2m ((Lo-Mo) + 1,5Mm cos2в) - 3 Mf if Im cosв + Lf i2f),

Wэ = 1,5(0,5Lq I2m sin2в + 0,5Ld I2m cos2в) - 1,5Mf if Id + 0,5Lf i2f,

Wэ = 1,5 (0,5Lq I2q + 0,5Ld I2d) -1,5 Mf if Id + 0,5 Lf i2f (14)

Определим теперь электромагнитный момент как производную от энергии магнитных полей по углу поворота ротора

Mэ = d(Wэ)/d г

Произведем дифференцирование Wэ по углу поворота ротора г, учитывая, что d(I2m)/dг = 0, d(Lf i2f)/dг = 0,

Mэ = d(Wэ)/dг = 1,5 Mf if Im sinв - 2,25Mm I2m sin2в

Mэ = d(Wэ)/dг = 1,5 Mf if Im sinв - 0,75(Lq + Ld) I2m sin2в (15)

Напряжение обмотки возбуждения определим следующим образом:

uf = Lf i1f -1.5 M f (I m cosв)1 + rf if (16)

Выражения (9), (11), (15), (16) являются уравнениями СГ в обобщенных параметрах.

Предложенное комплексное уравнение синхронной машины в обобщенных величинах (7) не представляет собою переход от трехфазной машины к двухфазной. В частном случае это выражение позволяет перейти к известным уравнениям Горева-Парка. Для перехода к фазным величинам достаточно спроецировать изображающие вектора трехфазного напряжения и тока на фазные оси (1). Поскольку характер изменения модуля изображающего вектора напряжения определяет форму кривых мгновенных фазных напряжений [3], то имеет смысл при расчетах цепей с нелинейной нагрузкой определять модули изображающих векторов тока Im и напряжения Um,, мгновенные углы и, ц, в, для последующего определения фазных напряжений uabc и токов iabc\. c помощью (1).

Литература

1. Бондаренко А.Е. Регулирование судовых генераторных агрегатов по мгновенным значениям параметров режимов. Дисс. на соискание ученой степени к.т.н. 186 стр., СПбГМТУ, Санкт-Петербург 1992г.

2. Бондаренко А.Е., Вилесов Д.В. Мгновенная активная, реактивная, полная мощность, эффективность энергопотребления в трехфазных сетях. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. N10(64), октябрь 2011, стр. 94-98, Курск.

3. Бондаренко А.Е., Вилесов Д.В. Оценка качества трехфазного напряжения по модулю изображающего вектора. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. N11(65), ноябрь 2011, стр. 100-188, Курск.

Размещено на Allbest.ru

...