Эредитарное модельное уравнение ФитцХью-Нагумо

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЭРЕДИТАРНОЕ МОДЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФИТЦХЬЮ-НАГУМО

Липко О.Д.

Развитие теории эредитарных динамических систем началось с работы итальянского математика Вито Вольтерра [1], там же он ввел термин эредитарность для описания эффекта последействия, или памяти, и впервые исследовал эредитарный осциллятор. Математическое описание эредитарного осциллятора представляло собой интегро-дифференциальное уравнение с ядром, которое называется функцией памяти. В дальнейшем исследования эредитарных динамических систем были связаны с выбором функции памяти. В силу, того что различные среды могут обладать фрактальными свойствами, то функцию памяти целесообразно выбрать степенной. Тогда интегро-дифференциальные уравнения можно переписать как дифференциальные уравнения дробных порядков, теория которых достаточно хорошо разработана [2]. В литературе такие уравнения называют фрактальными, они описывают процессы с частичной потерей памяти. Фрактальные динамические системы наиболее полно исследовались в монографиях [3, 4].

В работе обобщена динамическая система ФитцХью-Нагумо, которая была предложена Р. ФитцХью [5] и Дж. Нагумо [6] для описания распространения нервного импульса в мембране. Обобщенная математическая модель содержит уравнение с производными дробных порядков в смысле Герасимова-Капуто и решается с помощью конечно-разностной схемы.

Постановка задачи и метод решения. Классическая нелинейная динамическая система ФитцХью-Нагумо (ФХН) согласно работе [5], имеет вид:

(1)

где - константы, удовлетворяющие условиям , - мембранный потенциал, - интенсивность раздражителя, в первом приближении константа, которая также может иметь вид прямоугольного импульса или дельта-функции, - время процесса, - время моделирования.

Динамическая система (1) может быть записана в виде одного уравнения:

, (2)

где .Для уравнения (2) ставятся начальные условия:

. (3)

Задача (2), (3) является задачей Коши, решение которой исследуется в работе [5]. В настоящей работе мы рассмотрим обобщение уравнения (2), введем в него эредитарность с помощью следующего интегро-дифференциального уравнения:

, (4)

где и - функции памяти, характеризующие эредитарность.

Заметим, что если функции памяти представляют собой дельта-функцию, то тогда в системе отсутствует эредитарность, а если функции памяти представляют собой функции Хэвисайда, то тогда система обладает полной памятью. Интерес представляет третий вариант: если функции памяти являются степенными функциями, например,

(5)

где Г(t) - гамма-функция Эйлера, тогда говорят, что система обладает частичной "потерей памяти" [2]. В дальнейшем будем исследовать эредитарные процессы с частичной "потерей памяти". Подставим функции памяти (5) в интегро-дифференциальное уравнение (4). В результате получим:

. (6)

Мы получили интегро-дифференциальное уравнение специального вида. Функции памяти (5) в интегро-дифференциальном уравнении (6) могут быть отличны от степенных функций, что приводит к другим интегро-дифференциальным уравнениям. Если обратиться к определению производной дробного порядка по Герасимова-Капуто, то мы приходим к уравнению:

, (7)

где дробные дифференциальные операторы равны:

определенные в смысле Герасимова-Капуто с дробными порядками .

Можно отметить, что в предельном случае уравнение (7) переходит в классическое уравнение ФХН (2), поэтому можно считать, что уравнение (2) является частным случаем уравнения (7). Отметим, что уравнение (7) содержит кубическую нелинейность, характерную для осциллятора Дуффинга [7], а также Ван дер Поля [8].

Интегро-дифференциальное уравнение ФХН (7) будем называть дробным, или фрактальным уравнением, а процесс, которые оно описывает, будем называть фрактальным, или эредитарным.

Задача Коши (7) и (3) в общем виде не имеет точного решения в силу того, что модельное уравнение является нелинейным, поэтому надо использовать численные методы для ее решения. В качестве численного метода возьмем метод конечно-разностных схем, так как его легко можно реализовать в любой компьютерной среде.

Будем рассматривать равномерную сетку. Для этого разобьем временной интервал наравных частей. В результате получим равномерную сетку , где шаг , . Значения искомой функции, будем называть ее сеточной функцией. Аппроксимация дробных операторов уравнения (7) осуществляется следующим образом [3, 9]:

, ,

, .

Подставим эти аппроксимации в модельное уравнение (7). Приходим к следующей конечно-разностной схеме:

(8)

Заметим, что, как правило, нелинейные динамические системы обладают жесткостью при больших значениях управляющих параметров, что приводит к необходимости уменьшить шаг дискретизации в конечно-разностной схеме. В нашем случае в силу ограниченности параметров , жесткость отсутствует, поэтому в уменьшении шага нет необходимости.

Результаты моделирования и их обсуждение. Конечно-разностная схема (8) была реализована в компьютерной программе в среде символьной математики Maple. Рассмотрим применение схемы (8) на примерах, значения параметров были взяты из работы [5]. Сначала рассмотрим случай, когда меняются значения дробных параметров и, а потом и значения параметра .

Рис.1. Осциллограммы, полученные по конечно-разностной схеме (8) при значениях параметров: и различных значениях и : кривая 1 - , кривая 2 - , кривая 3 - , кривая 4 -

На рис. 1 приведены осциллограммы, полученные по схеме (8) при различных значениях и . Осциллограмма (3) похожа на осциллограмму из работы [5]. При уменьшении значений и , изменяется форма осциллограмм (смещение периодичности колебаний), однако амплитуда колебаний остается неизменной, что на фазовой плоскости соответствуют предельным циклам (рис.2).

Рис.2. Фазовые траектории

Рассмотрим другой случай: зафиксируем значения и, и будем изменять значения . На рис. 3 приведены осциллограммы для этого случая.

Рис. 3. Осциллограммы, полученные по конечно-разностной схеме (8) при значениях параметров: , и различных значениях : кривая 1 - , кривая 2 - , кривая 3 - , кривая 4 -

В случае (кривая 1) мы видим, что колебания затухают, а фазовая траектория (рис. 4) имеет вид закручивающейся спирали. При уменьшении значений параметра , происходит смещение осциллограмм, но с постоянной амплитудой, что обеспечивает выход фазовых траекторий на предельный цикл (рис. 4).

Рис. 4. Фазовые траектории: кривая 1 - , кривая 2 - , кривая 3 - , кривая 4 -

В работе был предложен и исследован эредитарный нелинейный осциллятор ФитцХью-Нагумо. С помощью теории конечно-разностных схем получено численное решение задачи Коши, построены осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что параметры и приводят к смещению колебаний осциллятора, но при этом сохраняется постоянство амплитуды, а также изменяется форма фазовых траекторий, которые выходят на предельный цикл. При изменении параметра колебания могут быть затухающими, а фазовая траектория для соответствующей точки покоя будет являться устойчивым фокусом.

Введение дополнительных управляющих параметров и , чтобы более гибко моделировать колебательный режим, дает дополнительную параметризацию сигнала. Дальнейший интерес в исследовании эредитарного осциллятора ФитцХью-Нагумо может заключаться в исследовании на устойчивость точек покоя по аналогии с работой [8], а также дальнейшее обобщение, связанное с введением функций и [10]. Другое направление исследований связано с качественными свойствами конечно-разностной схемы (8) - устойчивостью и сходимостью [9].

Автор выражает благодарность научному руководителю, к.ф.-м.н., профессору РАЕ, Р.И. Паровику за ценные советы и замечания по содержанию данной научной статьи.

математический нагумо дифференциальный уравнение

Литература

1. Volterra V. Sur les 'equations int'egro-diff'erentielles et leurs applications // Acta Mathematica. 1912. Vol. 35, no. 1. P. 295-356.

2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

3. Паровик Р.И. Математическое моделирование линейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга. 2015. 178 с.

4. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Springer, 2011. 218 p.

5. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical Journal. 1961. vol. 1. pp. 446-466.

6. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc. IRE. 2016. vol. 50. pp. 2061-2070.

7. Паровик Р.И. Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2015. №1(10). С. 18-24.

8. Паровик Р.И. Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван дер Поля // Фундаментальные исследования. 2016. №3-2. С. 283-287.

9. Parovik R.I. Explicit finite-difference scheme for the numerical solution of the model equation of nonlinear hereditary oscillator with variable order fractional derivatives // Archives of Control Sciences. 2016. vol. 26. no 3. pp. 429-435.

10. Паровик Р.И. Конечно-разностные схемы для фрактального осциллятора с переменными дробными порядками // Вестник КРАУНЦ. Физико-математический. 2015. № 2(11). С. 88-85.

Размещено на Allbest.ru