Свойства функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Функция одной переменной

переменная график разлом бесконечность

Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X ставится в соответствие по определенному закону единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция y = f(x).

При этом x - независимая переменная или аргумент,

y - зависимая переменная,

X - область определения функции (D(f)),

Y - область значения функции (E(f)).

Замечание. Если множество X специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается множество значений аргумента, при которых формула f(x) вообще имеет смысл.

Функция y = f(x) может быть задана следующими способами: а) аналитическим; б) табличным; в) графическим; г) словесным.

Основные свойства функции.

1. Функция y = f(x) называется четной (нечетной), если для любого значения из области определения функции выполняется равенство f(-x) = f(x) [f(-x) = - f(x)]. В противном случае функцию называют функцией общего вида.

2. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке множества X, если для любых двух значений x₁ и x₂ из этого промежутка, таких что x₁ < x₂ выполняется неравенство:

f(x₁) < f(x₂ ) [f(x₁) < f(x₂ )]

Функции, возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

3. Функция y = f(x) называется ограниченной на некотором промежутке множества X, если существует такое положительное число М, что для всех значений х из этого промежутка выполняется неравенство:

f(x) < М

4. Функция y = f(x) называется периодической, с периодом Т?0, если для всех значений х из области определения функции выполняется равенство f (x+Т) = f(x)

Основными элементарными функциями называются функции:

1) степенная функция

2) показательная функция

3) логарифмическая функция

4) тригонометрическая функция

5) обратные тригонометрические функции

Элементарными функциями называются функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и конечного числа образований сложных функций.

Элементарные функции делятся на алгебраические и трансцендентные.

К числу алгебраических функций относятся:

- целая рациональная функция (многочлен);

;

- дробно-рациональная функция - отношение двух многочленов;

- иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется операция извлечения корня);

К числу трансцендентных функций относятся:

- показательная;

- логарифмическая;

- тригонометрические;

- обратные тригонометрические.

5. Преобразование графиков функций.

Графиком функции , называется множество точек плоскости хОу с координатами , где .

Пусть задан график функции . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) График функции - это график функции , сдвинутый при влево, при вправо на единиц вдоль оси Ох.

2) График функции - это график функции , сдвинутый при вверх, при вниз на единиц параллельно оси Оу.

3) График функции - это график функции , растянутый при в раз или сжатый при вдоль оси Оу.

4) График функции - это график функции , сжатый при в раз или растянутый при вдоль оси Ох.

5) График функции получается из графика функции , зеркальным отображением относительно оси Ох.

6) График функции получается из графика функции , зеркальным отображением относительно оси Оу.

7) Чтобы получить график функции из графика функции , надо участки графика , лежащие выше оси Ох, оставить без изменения, участки лежащие ниже оси Ох зеркально отобразить относительно этой оси.

8) Чтобы получить график функции из графика функции , надо построить график функции , при отразить его зеркально относительно оси Оу.

2. Предел функции на бесконечности и в точке

Определение. Число А называется пределом функции при , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для всех таких, что верно неравенство .

Обозначается этот предел .

Смысл данного определения состоит в том, что при достаточно больших по модулю значениях значения функции сколь угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

Можно сформулировать понятия предела при и при . В первом случае основное неравенство должно выполняться для всех таких, что , а во втором - для всех таких, что .

Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение. Число А называется пределом функции при (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , зависящее от , что для всех и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Этот предел функции обозначается

Смысл данного определения состоит в том, что для всех значений , достаточно близких к , значения функции как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

Если при переменная принимает лишь значения или и при этом функция стремиться к некоторому числу А, то речь идет об односторонних пределах функции соответственно слева и справа .

Очевидно, что определение этих пределов аналогично рассмотренному выше при , если рассматривать значения такие, что при (слева) или значения такие, что (справа).

Если , то функция называется бесконечно малой при .

Если , то функция называется бесконечно большой при .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

Пусть существуют конечные пределы функций и , тогда:

1.

2.

3. , (при )

4. , .

При решении задач можно использовать таблицу простейших пределов:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Используются так же следующие пределы:

1. (Первый замечательный предел)

2. (Второй замечательный предел)

Определение. Выражение вида , , , , принято называть неопределенностями и обозначать , , , , .

3. Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет трем условиям:

а) определена в этой точке (т.е. существует );

б) имеет конечный придел при (т.е. существует конечный );

в) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если в ней нарушается хотя бы одно условие непрерывности.

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.

1. Точка называется точкой разрыва I рода функции , если существуют конечные односторонние пределы функции справа и слева при не равные друг другу, т.е. .

2. Точка называется точкой разрыва II рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции справа и слева при равен бесконечности или не существует.

3. Точка называется точкой устранимого разрыва, если предел функции при существует, но не равен значению функции в этой точке, т.е. .

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

3. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке . (Т. е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу). .

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке. (рис. 1).

2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения . (рис. 2).

3. Если функция непрерывна на отрезке , и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой (рис. 3).

Пусть функция непрерывна на отрезке , причем , . Пусть, далее, С - любое число, заключенное между А и В. Тогда на отрезке найдется точка С такая, что: .

4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Программный объем темы:

1. Определение производной, её геометрический смысл. Основные правила и формулы дифференцирования. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков.

2. Применение производных к исследованию функций и построению их графиков.

Производная функции одной переменной

Определение. Производной функции по аргументу называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, т.е.

Обозначается производная .

Если указанной формуле предел существует, то функцию называют дифференцируемой, а операцию нахождения производной - дифференцированием.

Из определения производной следует схема её вычисления.

1. Дадим аргументу произвольное приращение и найдем наращенное значение функции .

2. Находим приращение функции .

3. Составляем отношение .

4. Находим предел отношения при , т.е. .

Геометрически производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой с положительным направлением оси Ох, т.е. .

Тогда уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: .

Основные правила дифференцирования.

Пусть и - некоторые дифференцируемые функции, . Тогда:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Таблица производных основных элементарных функций.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Правило дифференцирования сложной функции.

Если , , т.е. - сложная функция, а и - дифференцируемые функции, то справедлива формула: . Т. е. дифференцирование ведется от «внешней» функции к «внутренней» функции.

Определение. Производной второго прядка или второй производной функции называется производная от её первой производной и обозначается .

Аналогично производная третьего порядка функции есть производная от производной второго порядка и обозначается .

Определение. Производной n-го порядка функции называется производная от производной (n-1) - го порядка, т.е. .

Производные, начиная со второго порядка, называется производными высших порядков.

Пусть функция непрерывна при рассматриваемых значениях и имеет производную .

Из этого следует, что , где - бесконечно малая величина при (т.е. ).

Находим, что .

Определение. Дифференциалом функции называется главная часть её приращения линейная относительно приращения независимой переменной , т.е. .

4. Исследование поведения функций и построение их графиков

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность - нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и вертикальные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, на которые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводят одновременно с построением её графика.

Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремиться к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

Нахождение асимптот графика основано на следующих утверждениях.

Теорема 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, возможно, саму эту точку) и . Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функций .

Очевидно, что прямая , не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке , т.к. в этом случае .

Т. е. вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или в концах её области определения , если и - конечные числа.

Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

В том случае, если функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы функции и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Пример. Найти асимптоты графика функции

=> вертикальных асимптот нет.

- горизонтальных асимптот нет.

Монотонность функции. Отыскание точек локального экстремума функции.

Теорема. Если функция дифференцируема на интервале и положительна (отрицательна) внутри промежутка , то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Определение. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции , если выполняется неравенство при .

Локальный объединяются общим названием локальный экстремум.

Необходимое условие экстремума.

Для того, чтобы функция имела локальный экстремум в точке , необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась или не существовала.

Точки, в которых выполняется необходимое условие , называются критическими или стационарными. Эти точки должны входить в область определения функции.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция дифференцируется всюду в некоторой окрестности точки , причём , т.е. - стационарная точка. Тогда если при переходе через точку первая производная меняет свой знак с «+» на «-» («-» на «+»), то точка - точка локального максимума (минимума) функции .

Если же производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке нет.

Второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция имеет первую производную всюду в некоторой окрестности точки , причем , т.е. - стационарная точка, имеет конечную вторую производную в точке . Тогда, , то в точке имеет локальный .

Схема исследования функции на .

1. Найти производную .

2. Найти стационарные точки функции, в которых производная или не существует.

3. С помощью достаточного условия сделать вывод о наличие функции.

4. Найти экстремальные значения функции.

Направление функции и точки перегиба графика функции.

Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда действует касательная к графику функции в любой точке этого графика , причем касательная не параллельна оси Оу, т.е. её угловой коэффициент, равный , конечен.

Определение 1. График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен выше (ниже) любой касательной к графику функции на интервале .



Теорема. Если функция имеет на интервале вторую производную и во всех точках , то график функции имеет на выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение 2. Точка называется точкой перегиба графика функции , если в точке график имеет касательную, и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.

Необходимое условие точки перегиба.

Пусть график функции имеет перегиб в точке и пусть функция имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда в точке обращается в 0, т.е. .

Достаточное условие точки перегиба.

Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , т.е. график имеет перегиб в точке .

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точек, в которых вторая производная или не существует.

3. Исследовать знак слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

5. Интегральное исчисление функции одной переменной

Программный объем темы:

1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица простейших интегралов.

2. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод замены переменной и интегрирование по частям.

3. Определенный интеграл, его основные свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

4. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства

Определение. Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке множества , если для любых значений из этого промежутка выполняется равенство .

Геометрически найти первообразную для - значит найти такую кривую , что угловой коэффициент касательной к этой кривой в произвольной точке равен значению в этой точке, т.е. .

В общем случае, если - некоторая первообразная для , то функция всегда , где , также являются первообразными для , т.к. .

Следовательно данная функция имеет бесчисленное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции на некотором множестве называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где

- подынтегральная функция,

- подынтегральное выражение.

Таким образом, т.к. , то .

Основные свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3.

4.

5. , где

Операция вычисления неопределенного интеграла от некоторой функции, называется интегрирование этой функции.

Таблица основных интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Основные методы интегрирования

1. Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример.

1)== = = .

2) = = .

3) = = = = .

2. Метод подстановки (метод замены переменной).

Пусть - некоторая дифференцируемая функция, тогда - формула замены переменной.

Пример.

1) Вычислить

Применим подстановку , тогда откуда .

Получаем = = = = .

2) Вычислить

Применим подстановку , тогда.

Откуда = = .

3) Вычислить

Применим подстановку , .

Откуда = = = .

3. Метод интегрирования по частям.

Интегрирование по частям основано на использовании формулы:

.

Т. е. подынтегральная функция разбивается на два множителя , один из которых интегрируется, а второй - дифференцируется.

Большую часть интегралов, вычисляемых интегрированием по частям, можно разбить на три группы.

I. , , , , , где - многочлен. Для их вычисления следует положить

II. , , ,

где - многочлен, - некоторое число, здесь

III. , ,

где и - некоторые числа. Здесь



Эти интегралы вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Пример.

1) Вычислить .

= = = .

2) Вычислить .

= = = .

6. Определенный интеграл

Пусть на отрезке определена функция .

Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками .

Точки будем называть точками разбиения. В каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку , т.е. . Составим сумму или , которую назовем интегральной суммой для на , соответствующей данному разбиению и выбору промежуточных точек.

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется конечный предел интегральной суммы , при .

В этом случае функция называется интегрируемой на .

- нижний предел интегрирования,

- верхний предел интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона - Лейбница.

где - одна из первообразных для функции .

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур.

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Площадь фигуры , ограниченной графиков функции , отрезками и равна площади криволинейной трапеции .



Если же функция неположительна на , то площадь S над кривой на отмечается знаком от определенного интеграла .

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле:

переменная график разлом бесконечность

Список литературы

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифферинциальное и интегральное исчисление. - М.:1980, 1984.

2. Высшая математика. Общий курс / под редакцией А.И. Яблонского/. - Минск: Высшая школа, 1993.

3. Карасев А.И., Аксюткина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. - М.: Высшая школа, 1982 - Ч.1и2.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1985.

5. Мордкович А.Г., Солодовников А.С. Математический анализ. - М.: Высшая школа, 1990.

6. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов /Н.Ш. Кремер и др./

7. Шипачев В.С. Высшая математика. - М: Высшая школа, 1995.

8. Шипачев В.С. Задачи по высшей математике. - М.: высшая школа, 1995.

9. Красс М.С., Чупринов Б.П. Основы математики и её приложения в экономическом образовании.

10. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 1 - М.: Высшая школа, 1999.

Размещено на Allbest.ru

...