Численно-аналитические методы и алгоритмы для исследования гамильтоновых систем ангармонических осцилляторов в классическом и квантовом подходах

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Актуальность темы. Многие задачи квантовой механики, прикладной математики, техники приводят к уравнениям, в которых требуется найти собственные значения и собственные функции различных линейных операторов. К таким уравнениям относится, в первую очередь, нерелятивистское уравнение Шрёдингера.

В данной работе предложены новые способы решения задачи на собственные значения некоторых дифференциальных операторов, описывающих одномерные ангармонические осцилляторы. Ангармонический осциллятор - это колебательная система, в которой присутствует внешняя сила. Такие модели широко используются, например, в квантовой механике (задача о поведении частицы во внешнем поле), в химии (исследование периодических реакций, управление химическими реакциями с заданным выходом реагента), в технике (управление хаосом в микросистемах и др.).

В этих и других приложениях важнейшее значение имеет спектр и собственные функции дифференциального оператора, являющегося моделью исследуемой системы. Они определяют некоторые инвариантные характеристики системы, сохраняющиеся (за исключением масштабирования) при изменении входных параметров. В частности, спектр оператора, входящего в уравнение Шрёдингера, определяет все возможные значения полной энергии системы, а его собственные функции являются волновыми функциями исследуемой системы. Поэтому нахождение собственных значений и собственных функций, в том числе, операторов ангармонических осцилляторов, т.е. решение уравнения Шрёдингера, является важной задачей.

В большинстве случаев невозможно найти аналитическое решение уравнения Шрёдингера, представимое в явном виде, что наиболее целесообразно. Решения, полученные в неявном виде или выраженные через специальные функции, зачастую оказываются неудобными для использования в конкретных практических расчетах. Поэтому в таких случаях применяются различные приближенные методы, как численные, так и аналитические.

К наиболее разработанным из таких методов относится метод диагонализации. Однако для достижения достаточной точности этот метод приводит к необходимости диагонализации матриц очень большой размерности, что требует увеличения вычислительных возможностей ЭВМ и влечет рост времени вычислений. Кроме того, точность рассчитываемых собственных значений сильно падает при усложнении потенциальной функции и при наличии неустойчивости решений в исследуемой динамической системе.

Указанные недостатки можно частично устранить, если использовать аналитически-численные методы, в которых сначала выполняются аналитические преобразования исследуемой модели, а затем на основе полученных формул производятся численные расчеты. Для выполнения как аналитических, так и численных этапов решения задачи целесообразно использовать пакеты символьных преобразований - системы компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematica и др.).

Таким образом, разработка новых методов, в особенности аналитически-численных, реализация этих методов в виде программ с использованием современных систем компьютерной алгебры, и их дальнейшее применение для исследования ряда практически важных математических моделей классической и квантовой механики, является актуальной проблемой математического моделирования динамических систем.

В диссертационной работе предложены новые методы решения задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, являющихся математическими моделями квантовых одномерных ангармонических осцилляторов с нелинейностью полиномиального типа. Разработаны алгоритмы, реализованные в виде программ в средах Maple и Reduce, с помощью которых проведены исследования конкретных моделей указанных динамических систем с заданными потенциальными функциями.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных аналитически-численных методов, алгоритмов и программ для вычисления спектров и собственных функций дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов на основе получения для них аналитических соотношений с использованием современных средств компьютерной алгебры, а также проведение с помощью разработанных методов и программ численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе сформулированы и решены следующие задачи.

1. Разработка методов получения аналитических соотношений для собственных значений дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя минимумами в потенциальной функции в удобной для вычислений форме на основе:

а) полуклассического подхода с использованием метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда;

б) метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори и правила Вейля;

в) непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

2. Разработка программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований и вычислений в соответствии с указанными методами на основе средств компьютерной алгебры.

3. Провести апробацию разработанных методов и программ путем решения следующих задач:

а) нахождение классических траекторий одномерных ангармонических осцилляторов, потенциальная функция которых имеет один минимум и различные степени нелинейности, на основе метода Линдштедта-Пуанкаре;

б) получение приближенной аналитической формулы спектра указанных динамических моделей с использованием найденных классических траекторий и правила Бора-Зоммерфельда;

в) приведение классического аналога исследуемого оператора к квантовой нормальной форме Депри-Хори на основе классической нормальной формы;

г) получение приближенной аналитической формулы спектра операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя симметричными минимумами в потенциальной функции на основе найденной квантовой нормальной формы Депри-Хори и правила Вейля;

д) получение спектров и собственных функций указанных систем путем непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Методы исследований: преобразование математических моделей, методы теории дифференциальных операторов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математического анализа, методы теоретической и математической физики, метод нормальных форм, методы компьютерной алгебры и вычислительной математики.

Научную новизну работы составляют

1) методы аналитических преобразований в задаче вычисления собственных значений дифференциальных операторов для уравнения Шрёдингера на основе метода Линдштедта-Пуанкаре, метода нормальных форм, правила Бора-Зоммерфельда, правила Вейля и непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов;

2) алгоритмы символьных преобразований и вычисления собственных значений и собственных функций операторов одномерных ангармонических осцилляторов с полиномиальной потенциальной функцией, имеющей один или два симметричных минимума, на основе средств компьютерной алгебры;

3) результаты применения предложенных методов:

а) на основе метода Линдштедта-Пуанкаре найдено представление для решения уравнения

,

где - некоторый полином относительно , а - малый параметр;

б) с помощью правила Бора-Зоммерфельда и найденных указанным методом классических траекторий ангармонических осцилляторов с потенциалами четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности получены формулы для их спектров в явном виде;

в) с помощью метода нормальных форм Депри-Хори и при помощи степенных рядов решены одномерные уравнения Шрёдингера для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами.

Практическая значимость результатов. Результаты данного исследования могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для нахождения спектра и собственных функций их квантовых аналогов. Практическую полезность составляют программные реализации предложенных методов в среде Maple. Они могут применяться для получения приближенного решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром методом Линдштедта-Пуанкаре и последующего нахождения приближенной аналитической формулы спектра соответствующего оператора по правилу Бора-Зоммерфельда. Результаты диссертационной работы можно использовать для получения квантовых нормальных форм Депри-Хори и спектров одномерного уравнения Шрёдингера в случае различных полиномиальных потенциалов и для решения задачи на собственные значения и нахождения волновых функций в виде степенных рядов, а также в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных работ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новый метод символьно-численного решения одномерного уравнения Шрёдингера с полиномиальными потенциальными функциями, имеющими один локальный минимум на основе метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда.

2. Способ приближенного решения уравнения Шрёдингера на основе классических нормальных форм Депри-Хори и полученные этим способом аналитические формулы для спектров ангармонических осцилляторов с потенциальными функциями четвертой, шестой и восьмой степени нелинейности.

3. Приближенные аналитические формулы спектра одномерных ангармонических осцилляторов, имеющих потенциальную функцию с двумя локальными минимумами, полученные с помощью разработанных символьно-численных программ на основе метода нормальных форм Депри-Хори, а также на основе непосредственного решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена непротиворечивостью полученных результатов теоремам и положениям теории дифференциальных уравнений и операторов, корректностью математических выкладок, воспроизведением известных результатов, полученных другими методами и другими авторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: объединенный семинар по вычислительной и прикладной математике ЛИТ и по компьютерной алгебре ВМК и НИИЯФ МГУ, (Дубна, 23-24 мая, 2006); «VIII Международная конференция по математическому моделированию» (Феодосия, 12-16 сентября 2006); «Гагаринские чтения 2006» (Москва, 8-11 апреля 2006); «Современные проблемы математики её приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 23-25 марта 2007); IV Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 26-27 ноября 2007); Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 21-25 апреля 2008); Международная конференция по математическому моделированию, МКММ - 2008 (15-20 сентября 2008 года, Херсон, Украина, Херсонский национальный технический университет), а также на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.

1. Метод нахождения спектра одномерных гамильтоновых систем на основе метода Линдштедта-Пуанкаре

В разделе 1.1 изложены общие основы метода Линдштедта-Пуанкаре. Данный метод представляет собой модификацию метода малого параметра, впервые предложенного Пуанкаре. Суть его состоит в том, что решение дифференциального уравнения

ищется в виде степенных разложений

,

, (1)

где - малый параметр (), неизвестная функция зависит от временной переменной , - непрерывная функция своих аргументов, а - постоянные, соответствующим выбором которых можно избавиться от секулярных (т.е. неограниченно растущих со временем) членов ряда. Данный ряд необходимо подставить в решаемое уравнение и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получить систему рекуррентных дифференциальных уравнений, из которой находятся неизвестные функции . Уравнение, получаемое заменой (1), решается методом малого параметра, причем коэффициенты при секулярных членах приравниваются к нулю, и из этих условий находятся значения .

Раздел 1.2 посвящен решению уравнения Шрёдингера

, (2)

в котором оператор определен формулой

, (3)

где - параметр, - пространственная координата, зависящая от новой переменной (1), - степень нелинейности.

Для решения задачи на собственные значения оператора (3) в работе используется так называемый полуклассический подход. Вначале рассматривается классическая система, соответствующая квантовому оператору , которая описывается гамильтоновой функцией

. (4)

Классические траектории системы (4) находятся из системы уравнений движения Гамильтона, которая сводится к одному дифференциальному уравнению второго порядка (известному как уравнение Дюффинга) и интегрируется методом Линдштедта-Пуанкаре. Для решения этой задачи составлена программа LINDA в среде Maple. Входными данными для нее являются степень нелинейности потенциальной функции (4) и - порядок искомого решения по малому параметру. Например, для случая и решение имеет вид

,

где и - постоянные интегрирования.

Результаты для других значений более подробно приведены в диссертационной работе.

В разделе 1.3 описано решение задачи на собственные значения оператора (3) на основе полученных классических траекторий по известному правилу квантования Бора-Зоммерфельда:

(5)

где - классический импульс (), , - индекс Маслова, который в рассматриваемой задаче равен двум. После возвращения к старой переменной по формуле (1) данное условие квантования примет вид:

, ,

где - период колебаний. Левая часть этого выражения представляет собой полином относительно - полной энергии системы. Чтобы получить указанный полином в явном виде, необходимо найденное классическое решение выразить через . Для этого воспользуемся физическим смыслом постоянных интегрирования и : положим начальную фазу равной 0, а амплитуду колебаний выразим через полную энергию системы. В точках поворота кинетическая составляющая энергии равна нулю, поэтому полная энергия системы будет равна потенциальной

.

Подставив в это выражение полученные классические траектории, разрешим его относительно методом итераций. Для случая первые члены разложения квадрата амплитуды имеют вид

.

Подставляя полученное выражение и классические траектории в условие Бора-Зоммерфельда (5), получим уравнение относительно энергии системы . Это выражение не приводится в силу его громоздкости. Разрешая полученное уравнение итерационным способом, получим приближенную аналитическую формулу для спектра исходного оператора. В случае она имеет вид

,

где - квантовое число. Аналогичные выражения для случаев и приведены в диссертационной работе. В разделе 1.4 производится сравнение полученных результатов с известными ранее. Получено хорошее согласие с работами других авторов, по крайней мере, для нижайших уровней и умеренных значений степени нелинейности. Формула для совпадает с формулой, полученной в работе Ali M.K., Wood R.W., Devitt J.S. J. Math. Phys., 1986. В следующей таблице представлено сравнение полученных результатов с результатами, полученными в работе Бенерджи (Banerjee K., Bhatnagar S.P., Choudhry V., Kanval S.S. Proc. R. Soc. Lond., 1978) для при .

Таблица 1. Сравнение результатов, полученных по программе LINDA с результатами, полученными Бенерджи

№	LINDA	Banerjee	Отклонение в %
0	1,0007489	1,0007486	0,00003
1	3,00336	3,00337	0,0002
2	5,00934	5,00971	0,007
3	7,0182	7,0186	0,005
4	9,0301	9,0305	0,004
5	11,04502	11,0453	0,003
6	13,0628	13,0631	0,003
7	15,0834	15,0835	0,0006
8	17,10709	17,1074	0,0021
9	19,1335	19,1339	0,0019
10	21,1629	21,163	0,0017

2. Энергетические уровни ангармонических осцилляторов, рассмотренных в первой главе, но методом квантовых нормальных форм Депри-Хори

В разделе 2.1 поставлена задача на собственные значения, аналогичная той, которая решена в первой главе. В разделе 2.2 излагается метод классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори, в котором классическая гамильтонова функция

представляется в виде ряда

(6)

и вычисляется ее нормальная форма.

Нормальной формой классической гамильтоновой функции называется функция , удовлетворяющая условию

, (7)

где - скобка Пуассона. Производящую функцию канонического преобразования и саму нормальную форму будем искать в виде степенных рядов

.

Неизвестные величины и удовлетворяют следующему основному уравнению

(8)

где и - компоненты классической гамильтоновой функции (6), а величины определяются выражением

где - биномиальные коэффициенты, - оператор Ли, который определяется через скобки Пуассона по формуле .

Чтобы найти неизвестные компоненты и , основное уравнение (8) дополним условием (7), которое определяет нормальную форму. Полученный в результате полином представим в виде суммы двух однородных полиномов , удовлетворяющих условиям , . Тогда из основного уравнения (8) с учетом условия (7) неизвестные компоненты производящей функции и нормальной формы можно определить следующим образом: , .

Для решения поставленной задачи (2), (3) на собственные значения удобно ввести новые комплексные канонически сопряжённые переменные

(9)

и переписать классическую нормальную форму Депри-Хори в виде

.

В предлагаемом подходе классические нормальные формы Депри-Хори для функции (6) вычислены с помощью программы LINA в среде Reduce, которая позволяет получить классическую нормальную форму в любом заданном порядке по степеням выражения , ограничиваясь возможностями компьютера. Например, при и классическая нормальная форма гамильтоновой функции (6) имеет вид

.

Аналогичные выражения для случаев и приведены в диссертационной работе.

Для нахождения квантовой нормальной формы воспользуемся правилом Вейля

,

где , . Тогда собственные значения исходной задачи (2), (3) при могут быть приближенно вычислены по формуле:

Аналогичные выражения для случаев и приведены в диссертационной работе. Для получения квантовых нормальных форм составлена программа QuantaWeyl в среде Maple.

В разделе 2.3 метод нормальных форм Депри-Хори применяется для решения задачи с потенциальной функцией, имеющей два локальных минимума

, (10)

где - пространственная координата, - параметр, - волновая функция, - действительное число, определяющее положения двух минимумов потенциальной функции, - энергия. В соответствии с методом классических и квантовых нормальных форм преобразуем классический аналог уравнения Шрёдингера (10), перенеся начало координат в левый минимум, с помощью замены , , где , и разделив на . В результате получим классическую гамильтонову функцию

,

которую представим в виде

, (11)

где - однородные полиномы степени : , а числовые коэффициенты известны. Применяя к ней метод нормализации Депри-Хори, описанный в разделе 2.2, получим классическую нормальную форму гамильтоновой функции (11), которая в десятом порядке по малому параметру имеет вид:

.

Как и в случае одного минимума в потенциальной функции, введем новые комплексные канонически сопряжённые переменные (9) и воспользуемся правилом Вейля. В результате получим квантовую нормальную форму

,

где и введен дифференциальный оператор . Тогда собственные значения рассматриваемой задачи (10) могут быть найдены по полученной в диссертационной работе формуле

,

где

, ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

здесь , .

Раздел 2.4 содержит результаты численных расчетов, которые показывают хорошее согласие полученных энергетических уровней с соответствующими данными, взятыми из литературы. Сравнение результатов представлено в таблицах.

Таблица 2. Сравнение собственных значений ангармонического осциллятора с одним минимумом, полученных различными методами, при ,

0	1,0007481	1,0007485
1	3,00373	3,00373	0
2	5,00972	5,00973
3	7,01862	7,01865
4	9,03057	9,03053

Таблица 3. Сравнение собственных значений ангармонического осциллятора с одним минимумом, полученных различными методами, при ,

0	1,00018	1,00018	0
1	3,0013	3,0013	0
2	5,0046	5,0046	0
3	7,011	7,011	0
4	9,023	9,023	0

Таблица 4. Сравнение собственных значений ангармонического осциллятора с одним минимумом, полученных различными методами, при ,

0	1,00006	1,00006	0
1	3,00058	3,00058	0
2	5,0026	5,0026	0
3	7,0083	7,0083	0
4	9,02	9,02	0

В таблицах через обозначен номер собственного значения; - значения энергии, рассчитанные по полученным формулам; - значения энергии, полученные Беннерджи; - относительные отклонения в процентах от . Как видно из таблиц, имеется хорошее согласие результатов при данных значениях параметров.

В разделе 2.5 приводится сравнение метода нормализации Депри-Хори с методом, предложенным в первой главе и основанным на использовании рядов Линдштедта-Пуанкаре. Построена потенциальная функция и соответствующая система , для которой применимы как метод нормализации Депри-Хори, так и полуклассическое квантование на основе метода Линдштедта-Пуанкаре.

3. Символьно-численный метод решения уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов

В разделе 3.1 задача на собственные значения сводится к краевой задаче

. (12)

Вначале вычисляются два линейно независимых решения уравнения (12) в виде степенных рядов

.

Для случая первые члены разложения волновых функций имеют вид:



Для и аналогичные результаты приведены в диссертационной работе.

Чтобы общее решение рассматриваемой задачи (12) удовлетворяло краевым условиям, необходимо выбрать произвольные постоянные и так, чтобы система линейных алгебраических уравнений

(13)

имела нетривиальные решения ( - параметр).

На практике область редуцируется в отрезок . При этом значения параметра варьируются так, чтобы получаемые собственные значения совпадали в возможно большем числе десятичных знаков. В частности, для нижних уровней энергии в наших расчетах .

Приравнивая к нулю определитель системы (13), получим уравнение относительно , корни которого являются спектром задачи (12). Для каждого вычисленного корня система (13) имеет единственное решение и , поэтому волновая функция -го энергетического уровня имеет вид .

В разделе 3.2. представлены результаты численных расчетов. Проведено сравнение аналогичных результатов, полученных с помощью нормальных форм (глава 2) и с помощью степенных рядов с квантово-механическими расчетами из работы Бенерджи. Показано удовлетворительное согласие для вычисленных нижайших уровней энергии.

В разделе 3.3 методом нормальных форм и с помощью степенных рядов решено уравнение Шрёдингера для ангармонического осциллятора четвертой степени с двумя симметричными минимумами. Проведено сравнение с результатами, полученными в разделе 2.3 для этой задачи методом нормальных форм. В разделе 3.4 представлены результаты численных расчетов для потенциала с двумя минимумами, найденные методом степенных рядов. Приводится сравнение полученных результатов с расчетами, выполненными по методу нормальных форм. Вычислены величины расщепления для уровней, лежащих ниже высоты потенциального барьера, по формулам, взятым из литературы. Значения расщеплений, полученные в результате численного эксперимента, совпадают с теоретическими. На рисунке 1 представлена структура энергетических уровней симметричного двухъямного ангармонического осциллятора. Жирной линией обозначен график потенциальной функции, тонкими пунктирными линиями - уровни энергии, полученные методом нормализации, сплошными линиями - уровни с учетом расщепления.



Рис. 1. Структура уровней энергии двухъямного симметричного ангармонического осциллятора

Заключение

ангармонический осциллятор колебательный

В настоящей диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы получения аналитических формул для собственных значений дифференциальных операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя минимумами в потенциальной функции в удобной для вычислений форме на основе:

а) полуклассического подхода с использованием метода Линдштедта-Пуанкаре и правила Бора-Зоммерфельда;

б) метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори и правила Вейля;

в) непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов;

2. Разработана программно-алгоритмическая поддержка символьных преобразований и вычислений в соответствии с указанными методами на основе средств компьютерной алгебры;

3. Развит метод Линдштедта-Пуанкаре для решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Сформулированы и обоснованы условия сходимости рядов Линдштедта, а также решен вопрос о корректности представляемого ими решения;

4. С помощью разработанных методов и программ проведено исследование некоторых математических моделей ангармонических осцилляторов и решены следующие задачи:

а) нахождение классических траекторий одномерных ангармонических осцилляторов, потенциальная функция которых имеет один минимум и различные степени нелинейности, на основе метода Линдштедта-Пуанкаре;

б) получение приближенной аналитической формулы спектра указанных динамических моделей с использованием найденных классических траекторий и правила Бора-Зоммерфельда;

в) приведение классического аналога исследуемого оператора к квантовой нормальной форме Депри-Хори на основе классической нормальной формы;

г) получение приближенной аналитической формулы спектра операторов одномерных ангармонических осцилляторов с одним и двумя симметричными минимумами в потенциальной функции на основе найденной квантовой нормальной формы Депри-Хори и правила Вейля;

д) получение спектров и собственных функций указанных систем путем непосредственного интегрирования уравнения Шрёдингера с помощью степенных рядов.

Литература

1. Чеканов Н.А. Решение уравнения Шрёдингера для ангармонических осцилляторов. / Н.А. Чеканов, В.В. Флоринский // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. - 2008. - №7. -С.147-151.

2. Флоринский, В.В. Полуклассическое квантование уравнения Дюффинга / В.В. Флоринский, Н.А. Чеканов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2008. - Т.4. - №9. - С.109-111.

3. Флоринский, В.В. Квантование одномерной системы Дюффинга в полуклассическом приближении / В.В. Флоринский, Н.А. Чеканов Н.А. // Сборник студенческих научных работ. - Белгород: Изд-во БелГУ. - 2004. - Вып.VIII. - Ч.1. - С. 34-36.

4. Флоринский, В.В. Квантование решений одного дифференциального уравнения второго порядка / В.В. Флоринский, Н.А. Чеканов // Успехи современного естествознания. - 2004.- № 7. - С. 83-84.

5. Флоринский, В.В. Квантование уравнения Дюффинга на основе метода Линдштедта-Пуанкаре / В.В. Флоринский, Н.А. Чеканов // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXXII Гагаринские чтения». - М.: Изд-во «МАТИ», - 2006. - Т. 5. - С. 74-76.

6. Флоринский, В.В. Полуклассический спектр уравнения Дюффинга / В.В. Флоринский В.В., Н.А. Чеканов // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. 9-14 октября 2006 г., Орел. Т. 2. - Орел: Издательство ОГУ. - 2006. - С.230.

7. Флоринский, В.В. Квантование классических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенью нелинейности / В.В. Флоринский // Сборник материалов международной научной конференции для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях», 23-25 марта 2007 г. - Харьков: ХНУ. - 2007. - С. 160.

8. Флоринский, В.В. Собственные значения ангармонического осциллятора / В.В. Флоринский // Вестник Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Серия «Математика, прикладная математика и механика». - 2007. - № 790. - С. 83-88.

9. Флоринский, В.В. Полуклассическое квантование уравнения Дюффинга / В.В. Флоринский, Н.А. Чеканов // Физико-математическое моделирование систем. Материалы IV Международного семинара (Воронеж, 26-27 ноября 2007г.), Часть I. - Воронеж. - 2007. - С. 149-154.

10. Флоринский, В.В. Квантование нелинейных одномерных осцилляторов по правилу Вейля / В.В. Флоринский, Н.А. Чеканов // XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция физики. - М.: РУДН. - 2008. - С. 46-47.

11. Флоринский, В.В. Квантование классических ангармонических осцилляторов методом нормальных форм / В.В. Флоринский, Н.А. Чеканов // Вестник Херсонского национального технического университета. - Вып. 2 (31). - Херсон: ХНТУ, - 2008. - С. 490-494.

12. Флоринский, В.В. Программа нахождения спектра слабовозмущенного осциллятора методом полуклассического квантования «LINDA» / В.В. Флоринский, Н.А. Чеканов // Зарегистрирована в Отраслевом фонде алгоритмов и программ. - М.: ВНТИЦ, 2006. - №50200602029. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 7242 ОФАП - 2006.

Размещено на Allbest.ru

...