Понятие случайного события и его вероятности
Математические операции над случайными событиями. Решение задач комбинаторики. Основные методы вычисления вероятностей элементарных событий. Формулы Байеса и Пуассона. Независимые испытания Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.03.2018 |
| Размер файла | 205,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
,
k = 51, 50, …, 1, получаем требуемые значения вероятностей.
Видно, что вычисление вероятностей, непосредственно по формулам, при больших n, k, задача трудновыполнимая, если не пользоваться техническими средствами. Числовые значения вероятностей можно получить легче, если воспользоваться приближенными методами.
Решение задачи получим из следующих теорем, доказательство которых можно найти, например, в [2,5].
6. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Теорема. Пусть в n независимых испытаниях, вероятность появления события А постоянна и равна р (0 р 1), тогда имеет место асимптотическая оценка:
, (14)
,
Доказательство теоремы сразу следует из центральной предельной теоремы, которая рассматривается в части 3 (п. 3.2).
Справедливость формулы (14) проиллюстрирована на рис. 5.
Рис. 5
Изобразим координаты (k, Рn(k)) звездочками. Функцию Рn(k) аргумента k, можно приблизить, в соответствии с формулой (14):
,
где np - координата центра тяжести (среднее значение), а характеризует меру "сжатости" около центра np.
Делая замену
,
мы преобразуем произвольную функцию к стандартной (х), у которой координата центра тяжести np = 0, а . Из рисунка видно, что при n , (при этом всегда ) ошибка уменьшается. Для удобства вычислений, функция (х) табулирована (см. приложение, табл. 3). Сама функция называется кривой Гаусса [5]. Функция (х) - четная, (х) при х , (х) 10-4, при х 5, .
Для практических приложений (при n 10, р) используют формулу:
. (15)
Пример. Решить пример п 1.5, а).
Решение. Имеем:
,
k = 50, np = 50, .
Итак,
.
7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Теорема. Пусть в n независимых испытаниях вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р, 0 р 1, тогда, для любых - а b , равномерно относительно а, b, при n , имеет место асимптотическая оценка:
, (16)
где х - кривая Гаусса,
, .
Функция:
называется функцией Лапласа.
Так как Рn k n = 1 для любого n, то из (16) должно следовать, что:
.
В самом деле, положим
?,
Тогда
?2.
Введем полярные координаты:
, , , , .
Отсюда:
?2 = ,
?=
- интеграл Пуассона. Следовательно,
.
Для практических приложений вместо (16) используют формулу:
Р k1 k k2 Ф (в) - Ф (а), (17)
, .
Учитывая, что Ф (+) = 1, легко получить
Ф (х) + Ф (-х) = 1.
В самом деле, пусть х 0, тогда
,
.
Отсюда:
Ф (х) + Ф (-х) =
Функция:
- табулирована, ее значения приведены в табл. 4 приложения.
Таблица составлена для х , а для х , значения находятся по формуле:
Ф (х) + Ф (-х) = 1.
Пример. Решить пример п 1.5, б).
Решение. Имеем
,
, .
По табл. 5 приложения находим
.
Отсюда .
Сравнивая решение задачи п.1.5. а), б), можно предположить, что, так как - наивероятнейшее число, с большой вероятностью реализуется событие 40 k 60, с центром в точке k0:
.
Заметим, что характеризует средние отклонения от среднего значения np (чем меньше , тем "круче" кривая Гаусса в точке симметрии). случайное событие вероятность комбинаторика
8. Формула Пуассона
Приближенные формулы Муавра-Лапласа перестают быть эффективными при больших отклонениях вероятности р или q от 0,5 и бессмысленны при р 0, поскольку в этом случае, для разумного приближения, требуется проведение очень большого числа независимых испытаний.
Однако, во многих задачах пищевой промышленности, биологии, сельского хозяйства, в технике и электронике, возникают именно такие задачи, то есть приходится рассматривать объекты, состоящие из очень большого числа однородных элементов, каждый из которых имеет малую реализацию целевой функции (например, всхожесть зерна, выход из строя транзистора и др.).
Возникает задача оценки, например, вероятности всхожести семян, именно для таких случаев. Соответствующая оценка предложена Пуассоном.
Пусть в n независимых испытаниях вероятность появления события А, в каждом из испытаний, равна р (причем р близко к нулю), тогда имеет место оценка Пуассона:
,
где np, k n,
(где символ " " читается: "много меньше").
В самом деле, при k = 0, имеем
.
Рассмотрим отношение:
.
После упрощений, получаем:
,
так как k n, q 1 и np = .
Таким образом, имеем:
, ,
.
Окончательно, получим
, . (18)
Формула:
, ,
называется формулой Пуассона. Очевидно, что
.
Значения формулы Пуассона для различных k и представлены в приложении (табл. 2).
Пример. В книге на 1000 страниц 100 опечаток. Какова вероятность обнаружить, в наудачу взятой странице, хотя бы одну опечатку?
Решение. Имеем n = 100, р = 0,001, np = 0,1. В силу независимости выбора страниц искомая вероятность находится по формуле:
.
Из формулы (18) получаем .
Таким образом, .
Полученное значение вероятности согласуется и с интуитивным смыслом, так как в среднем одна опечатка приходится на 10 страниц.
Рассмотренные нами приближенные формулы для формулы Бернулли имеют важное самостоятельное значение. В качестве приложения оценим событие
,
где - частота, .
Прежде всего, формулу (17), в интегральной теореме Муавра- Лапласа, преобразуем к виду:
.
Отсюда
.
Таким образом:
. (19)
Асимптотическая формула (19) является одной из теорем закона больших чисел (теорема Бернулли п. 3.1); и обосновывает определение статистической вероятности (см. формулу 4, п.1.3.2.). Для практических приложений, вместо (19), обычно пользуются приближенной формулой:
. (20)
Это трансцендентное уравнение всегда имеет решение, если неизвестное только одно.
Пример. Сколько повторных испытаний симметричной монеты нужно провести, чтобы с вероятностью не меньшей 0,98, частота появления герба отклонилась от его вероятности не более чем на 0,01.
Решение. Из (20), при = 0,01, р = 0,5, имеем:
,.
По табл. 4 приложения значение аргумента находим из равенств:
Ф (х) = 0,01 -0,02= -2,3
или .
Библиографический список
1. Ахназарова С. Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. - М.: Высшая школа, 1985. - 327 с.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей, - М.: Наука, 1986. - 432с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 2002. - 576 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2002. - 479 с.
5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. - 446с.
6. Карлин С. Основы теории случайных процессов. - М, "Мир", 1971.
7. Кафаров В.В., Дорохова И.Н., Арутюнов С.Ю. Системный анализ процессов химической технологии. - М.: Наука, 1985. - 440 с.
8. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.
презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013Правила применения уравнения Бернулли для определения возможности наступления события. Использование формул Муавра-Лапласа и Пуассона при неограниченном возрастании числа испытаний. Примеры решения задач с помощью теоремы Бернулли о частоте вероятности.
курсовая работа [265,6 K], добавлен 21.01.2011Случайные события, их классификация. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Аксиоматическое и геометрическое определение вероятности. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
реферат [1,4 M], добавлен 18.02.2014Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения.
практическая работа [55,0 K], добавлен 23.08.2015Опыт со случайным исходом. Статистическая устойчивость. Понятие вероятности. Алгебра событий. Принцип двойственности для событий. Условные вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула Байеса. Пространство элементарных событий.
реферат [402,7 K], добавлен 03.12.2007Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Формулировка и доказательство теоремы о сложении вероятностей двух несовместных событий. Следствие теоремы в случае, когда события составляют полную группу несовместных событий, и в случае противоположных событий. Примеры вычисления вероятности событий.
презентация [77,5 K], добавлен 01.11.2013Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.
контрольная работа [309,4 K], добавлен 18.09.2010Показатели безотказности как показатели надежности невосстанавливаемых объектов. Классическое и геометрическое определение вероятности. Частота случайного события и "статистическое определение" вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
курсовая работа [328,1 K], добавлен 18.11.2011Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010Возникновение теории вероятностей как науки, вклад зарубежных ученых и Петербургской математической школы в ее развитие. Понятие статистической вероятности события, вычисление наивероятнейшего числа появлений события. Сущность локальной теоремы Лапласа.
презентация [1,5 M], добавлен 19.07.2015Теория вероятности, понятие вероятности события и её классификация. Понятие комбинаторики и её основные правила. Теоремы умножения вероятностей. Понятие и виды случайных величин. Задачи математической статистики. Расчёт коэффициента корреляции.
шпаргалка [945,2 K], добавлен 18.06.2012Определение вероятности случайного события, с использованием формулы классической вероятности, схемы Бернулли. Составление закона распределения случайной величины. Гипотеза о виде закона распределения и ее проверка с помощью критерия хи-квадрата Пирсона.
контрольная работа [114,3 K], добавлен 11.02.2014Практическое применение теории вероятностей. Методы решения задач, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. Формула Бернулли для описания вероятности наступления события. Биномиальное распределение и формулировка теоремы о повторении опытов.
презентация [47,1 K], добавлен 01.11.2013Поиск искомой вероятности через противоположное событие. Интегральная формула Муавра–Лапласа. Нахождение вероятности попадания в заданный интервал распределенной случайной величины по ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению.
контрольная работа [102,5 K], добавлен 17.03.2011Изучение теории вероятностей в ходе школьной программы позволяет развивать у школьников логическое мышление, способность абстрагировать, выделять суть. История теории вероятностей и ее научные основы. Виды событий. Операции со случайными событиями.
дипломная работа [88,6 K], добавлен 22.01.2009Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 19.08.2009Основные принципы и формулы классической комбинаторики. Использование методов комбинаторики в теории вероятностей. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Решение комбинаторных задач.
учебное пособие [659,6 K], добавлен 07.05.2012
