Случайные величины и функции распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Случайные величины и функции распределения



Пусть дано произвольное вероятностное пространство (?,Р).

Введем одно из основных понятий теории вероятностей - случайную величину. Интуитивно, случайная величина - это переменная (функция), которая в результате эксперимента принимает одно из множества своих возможных значений.

Определение: Измеримая [2] функция , определенная на пространстве элементарных событий и принимающая значения из области действительных чисел, называется случайной величиной

, , R . (1)

Поскольку для любого элементарного события определена вероятность его реализации, то очевидно, что каждое значение случайной величины так же имеет свою вероятность. Таким образом, с каждой случайной величиной связано распределение вероятностей (в определении это измеримость).

Различают два основных вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Случайная величина, которая принимает конечное или счетное число значений, называется дискретной.

Например, к дискретным случайным величинам относятся:

а) число отказов технического устройства за определенное время;

б) количество посетителей столовой в каждый рабочий день за месяц;

в) число появлений гербов при подбрасывании монеты в серии из n испытаний.

Случайная величина называется непрерывной, если она принимает значения из интервала или, может быть, всей действительной оси.

Например, к непрерывным случайным величинам относятся:

а) время работы технического устройства до первого отказа;

б) отсутствие посетителей в столовой в течение не более чем один час;

в) величина ошибки измерения физических величин.

Дискретная случайная величина полностью определяется своим законом распределения, который можно представить в виде табл. 1:

Таблица 1

	x1	x2	…	xn	…
p	p1	p2	…	pn	…	(pi=1)

где х_i, iN возможные значения случайной величины, а р_i - соответствующие им вероятности. При этом сумма вероятностей всех значений случайной величины всегда равна единице.

В общем случае, случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Определение. Функцией распределения F(х) случайной величины называется вероятность события х, х R , то есть

F(х) = Р х, х R . (22)

Функция распределения существует для любой случайной величины.

Свойства функции распределения

Монотонность: х₁ х₂) F (х₁) F (х₂);

непрерывность слева:

;

число разрывов 1-го рода не более чем счетно (ступенчатая функция);

F(-) = 0;

F(+) = 1.

Любая функция, удовлетворяющая свойствам 1) - 5), является функцией распределения и обратно.

Для любой дискретной случайной величины можно построить ее функцию распределения. Более того, можно сказать, что величина называется случайной, если она имеет функцию распределения.

Определение. Индикатором события А называется случайная величина:

I_А () =

Пример 1. Построить функцию распределения индикатора события А, если известно, что Р р.

Решение. Случайная величина I_А () - дискретная. Закон ее распределения имеет вид:

IА	0	1
р	1-р	р

Функцию распределения определим формулой:

график которой представлен на рис. 6.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1

Очевидно, что вероятностная характеристика случайной величины, полученная из функции распределения с помощью формальных математических операций и определенная на всей действительной оси, несет столько же информации о случайной величине, что и сама функция распределения. Исключение могут составлять некоторые точки действительной оси, число которых не более чем счетно.

К такой характеристике можно отнести плотность.

Определение. Функция (х), удовлетворяющая условиям:

а) (х) 0, хR,

б) ,

называется плотностью случайной величины .

Из определения видно, что плотность играет ту же роль, что и закон распределения дискретной случайной величины.

Физически, плотность характеризует распределение единичной массы на действительной оси. Ёе изменение на участке длиной х, примыкающего к точке х, оценивается интегралом .

Свойства плотности

Свойство 1. . (23)

Доказательство. Проверим свойства 1)-5) функции распределения.

Пусть (х) - плотность, тогда (х) , отсюда

(х₁ х₂)

непрерывность слева следует либо из непрерывности (х), либо из ее кусочной непрерывности с разрывами первого рода;

следует из существования интеграла на действительной оси;

F(-) = ;

F(+) = 1, из определения.

Свойство 2. . (24)

Для доказательства достаточно продифференцировать (23) по переменному верхнему пределу._Ў

Учитывая (23) и (24), функцию распределения называют интегральной, а плотность дифференциальной характеристикой случайной величины.

Плотность имеет смысл для такой случайной величины, функция распределения которой дифференцируема; обычно, это непрерывная случайная величина. Функция распределения - это вероятность, и по определению безразмерна. Для плотности, как следует из формулы (24), размерность обратна размерности случайной величины. Физически, плотность характеризует мгновенное изменение случайной величины в точке х.

Для дискретной случайной величины понятие плотности лишено смысла, поскольку, как видно из примера для индикатора, она либо равно нулю, либо имеет бесконечное изменение в точке разрыва.

Отметим некоторые полезные свойства функции распределения и плотности:

1) ,

2) ,

Р х х+dx = (х)dx,

Р = а= F (a+0) - F(a-0),

Р а = F (a +0 ).

Упражнение. Доказать свойства 1 - 5.

Примеры основных распределений

Пример 1. Пусть случайная величина есть число появлений события А в n независимых испытаниях (вероятность появления события А в любом испытании равна р). Построить функцию распределения.

Решение. Рассмотрим событие х ~ , хR.

По условию, если , то полагаем, F(x)=0 для х 0. , для 0 х n, и F(x) = 1, для х n. Таким образом,

(25)

График функции имеет ступенчатый вид (рис.7):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7

Из графика видно, что свойства 1) - 5) выполняются. Величину скачка функции в точке х = k находим из равенства

.

Пример 2. Будем говорить, что случайная величина имеет распределение Пуассона, если ее функция распределения имеет вид:

(26)

Свойства 1)- 4) очевидны. Проверим 5):

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8

Величина скачка в точке х = k равна , . Число разрывов счетно. График функции представлен на рис. 8.

Пример 3. Будем говорить, что случайная величина равномерно распределена на (а, в], если ее функция распределения имеет вид:

(27)

Плотность равномерного распределения

(28)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9

Из графиков (рис.9) видно, что значение есть площадь (интеграл) области, ограниченной справа прямой х = х₀.

Пример 4. Случайная величина распределена нормально, если ее функция распределения имеет вид:

,

а плотность

, >0, a - const.

Свойства функции распределения 1 - 4 очевидны. Проверим свойство 5.



=интеграл Пуассона ? = =.

Схематично график плотности (рис. 10) имеет вид:

Рис. 10

Постоянная а характеризует сдвиг функции (x) по оси ОХ относительно начала координат, а - меру «сжатости» кривой около центра в точке х = а .

Пример 5. Случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее функция распределения определяется по формулой

(29)

Если х - интерпретировать как время, то функция распределения будет иметь вид (рис. 11):



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11

Это распределение играет важную роль в технике и носит название функции надежности, - интенсивность с размерностью обратной времени [1].

Плотность , ее график функции имеет вид (рис. 12):

Рис. 12

Числовые характеристики случайных величин

Случайная величина полностью определяется своей функцией распределения (или плотностью, если она существует). Однако, чтобы эту функцию найти, требуется иметь не только большой объем статистических данных, но и быть уверенным в том, что они отражают все существенные свойства случайной величины. К сожалению, это бывает редко, а во многих случаях в этом нет необходимости. Достаточно бывает проанализировать часть свойств случайной величины.

Рассмотрим некоторые типичные плотности, и определим по ним числовые характеристики, знание которых поможет получить информацию о случайной величине, без знания вида самой плотности.

Рис. 13

Из графиков плотностей (рис. 13, 14) видно, что желательно знать абсциссу центра тяжести х₀, сгруппированность большей части площади около центра ₁, ₂, асимметричность ₃, крутость ₄, число максимумов х₁, х₂, вероятность максимального значения плотности х₀ (рис.13), х₁, и другие.

Рис. 14

Знание хотя бы части этих характеристик позволяет достичь желаемой цели без знания плотности. Наконец, при исследовании какой-либо проблемы, мы начинаем ее изучение с общих позиций, оцениваем ее в среднем. Именно для изучения этих сторон, в первую очередь, и предназначены числовые характеристики случайных величин. Мы рассмотрим здесь лишь некоторые из них.

Математическое ожидание, мода, медиана

Пусть имеем произвольное вероятностное пространство (?,Р), на котором определена случайная величина .

Определение. Математическим ожиданием или средним значением случайной величины называется число М, которое находится по формуле:

а) если случайная величина дискретна, то есть задана табл. 2,

Таблица 2

	x1	x2	…	xn	…
p	p1	p2	…	pn	…

то

, (30)

и существует, при условии, что ряд в правой части (30) сходится;

б) если случайная величина непрерывна с плотностью (х), то

, (31)

и существует, при условии, что несобственный интеграл в правой части (31) сходится.

Математическое ожидание аналогично понятию средне-взвешенного и интерпретируется как абсцисса центра тяжести распределения массы на прямой.

Свойства.

Если = а - const, то Ма = а.

В самом деле, рассматривая а как дискретную случайную величину с законом распределения

Р а =1, Р а ,

получаем по формуле (30):

М = 0Р а+ аР а= а1= а._Ў

Постоянную можно выносить за знак математического ожидания

М(а) = аМ.

В самом деле, если , например, непрерывная случайная величина, то

._Ў

Для любых случайных величин ,

М (+) = М+ М

Если случайные величины , независимы, то

М () = М М.

В самом деле, если случайные величины независимы, то их совместная плотность, равна произведению плотностей случайных величин^** О независимости случайных величин смотри ниже, то есть

(х,у) = (х) (у),

Тогда

= М М._Ў

Всегда .

В самом деле, имеем

. _Ў

Пример. Найти математическое ожидание индикатора события А .

Решение. По определению I()=I_A() = , тогда для любого

М (I()) = Р()1 (1 Р ()).

Так как , то МI(А)) = М(.

Таким образом, вероятность события А можно записать через математическое ожидание индикатора события А.

Математическое ожидание случайной величины является важнейшей, среди ее «линейных характеристик». На практике, в качестве характеристик, дополняющих математическое ожидание, используют моду и медиану [3].

Определение. Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наивероятнейшее значение к₀ .

Модой непрерывной случайной величины называется любое из значений х, в котором плотность имеет максимум.

Графическая интерпретация моды приведена на рис. 14.

Определение. Медианой непрерывной случайной величины называется ее значение М_е, для которого

Р М_еР М_е.



Рис. 15

На рис. 15 изображена плотность вероятности, где медиана есть абсцисса М_е = х, для которой

Можно определить медиану и для дискретной случайной величины, например, как среднее арифметическое наименьшего и наибольшего ее значений [1], однако обычно медиана используется при изучении непрерывных случайных величин.

Моменты

Пусть случайная величина имеет математическое ожидание М = а. Введем новую случайную величину = - а. Случайная величина называется отклонением случайной величины .

Математическое ожидание отклонения равно 0.

В самом деле, имеем

М = М ( - а) = М - Ма = а - а = 0 ._Ў

Геометрически это означает, что среднее значение отклонения всегда находится в начале координат.

Определение. Начальным моментом _к порядка к случайной величины называется математическое ожидание случайной величины ^к: , кN, и вычисляется по формуле:

а) , iN, если - дискретная; (32)

б) , если - непрерывная. (33)

Начальные моменты порядка к существуют, если их правые части в (32) и (33) имеют смысл.

Математическое ожидание есть начальный момент первого порядка М=₁.

Определение. Центральным моментом _к порядка к, случайной величины , называется математическое ожидание к-ой степени отклонения

_к = М ( - М )^к, к .

и вычисляется по формуле:

а) , iN, если - дискретная; (34)

б) , если - непрерывная. (35)

Очевидно, что если существует момент порядка к, то существуют все моменты низшего порядка.

Определение. Дисперсией случайной величины называется центральный момент второго порядка. Дисперсия обозначается символом D:

D = M ( - M)² . (36)



Дисперсия число неотрицательное, и характеризует средние отклонения случайной величины от ее среднего значения.

Свойства дисперсии

Пусть - случайные величины и R, тогда

1) дисперсия постоянной равна 0, то есть D = 0.

В самом деле, при

D = M ( )² = M (² = M0 = 0._Ў

2) для любой случайной величины и R

D() = ² D.

В самом деле,

D() = М (())² = М((-М))² = М² ()²) = ² М)² = =² D ._Ў

3) если и независимы, то

D ( ) = D + D.

В самом деле, имеем:

D ( М( ² = ² + ( ) D +D =D D,

так как из независимости и следует независимость их отклонений. _Ў

Часто вместо формулы (36) используют эквивалентную ей формулу

D = (²) - (². (37)

В самом деле,

D = М ._Ў

Для практических приложений более удобной характеристикой случайной величины является среднеквадратичное (стандартное) отклонение , вычисляемое по формуле:

. (38)

Среднеквадратичное отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, а дисперсия - квадратичную. Основной недостаток стандартного отклонения, в отличие от дисперсии, в том, что оно не обладает свойством аддитивности. Это означает, что, если для независимых случайных величин и

D ( + ) = D + D,

то для стандартного отклонения

.

Математическое ожидание и дисперсия наиболее популярные числовые характеристики случайных величин, поскольку они отражают наиболее важные свойства распределения. Для детального изучения случайных величин применяются моменты высших порядков. Мы рассмотрим здесь коэффициент асимметрии и эксцесс.

Определение. Асимметрией распределения называется свойство кривой распределения, указывающее на отличие от симметричности распределения случайной величины.

Мерой асимметрии распределения является коэффициент асимметрии S_к, определяемый равенством

,

где ₃- третий центральный момент распределения вероятностей случайной величины .

Асимметрия положительна, если S_к , отрицательна, если S_к и равна нулю, если распределение симметрично.

При положительной асимметрии более «длинная» часть плотности распределения лежит правее моды и отрицательна, если левее моды.

Замечание. Для распределений симметричных относительно математического ожидания все моменты нечетного порядка, если они существуют, равны нулю.

В самом деле, например, если случайная величина имеет плотность х, то

, к = 0, 1, ...,



что сразу следует из свойств интеграла от нечетной функции с симметричными пределами.

Таким образом, любой центральный момент нечетного порядка может быть использован для характеристики асимметрии.

Определение. Коэффициентом эксцесса (эксцессом) распределения вероятности случайной величины называется числовая характеристика Е_k, определяющая «островершинность» плотности распределения, и вычисляется по формуле:

,

где ₄ - четвертый центральный момент вероятностного распределения. Число 3 связано с эксцессом нормального распределения, так как для него . В силу исключительной важности нормального распределения в теории вероятностей с ним сравниваются распределения вероятностей отличных от нормального. Таким образом, для нормального распределения Е_k = 0. Если вершина распределения более «остра» чем нормальное, то эксцесс положителен, если более «плоска», то эксцесс отрицателен. Геометрическая интерпретация этого факта представлена на рис. 16.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 16

Рассмотренные числовые характеристики случайных величин являются наиболее употребительными на практике. Достаточно часто ими пользуются для приближенной замены одного распределения другим, более подходящим.

Вычисление числовых характеристик стандартных распределений

Вычислим математическое ожидание и дисперсию основных распределений.

1. Биномиальное распределение.

Имеем , , тогда

.

Для вычисления дисперсии воспользуемся следующим приемом [5]. Введем независимые случайные величины _i :

Тогда

,

.

В силу независимости случайных величин _i :

.

Итак, для биноминального распределения

М = np, D = npq.

Распределение Пуассона

Имеем , к=0, 1, 2, … (см стр. 50), тогда

.

Далее,

.

Здесь мы воспользовались рядом Маклорена . Таким образом, для распределения Пуассона

M = , D = .

Равномерное распределение

Используя формулы (28) и (31), имеем

.

.

Таким образом, для равномерного распределения

, .

Экспоненциальное распределение

Учитывая, что , x0, получаем

, .

Нормальное распределение

,



так как .

.

Итак, для нормального распределения

, .

Вычислим эксцесс Е_k.

{учитывая вычисление дисперсии}

.

Отсюда .

Итак, для нормального распределения

, , , .



Приложения нормального распределения

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение. Вычислим вероятность события

Из свойств функции распределения (стр.53) имеем:

.

Введя новую переменную , получаем

, где .

В частности

, (39)

(или , если ).

Так как на вероятность события не влияют неслучайные преобразования над случайной величиной, то, полагая а = 0, получим:

. (40)



Пример (правило трех ). Пусть случайная величина , характеризующая ошибки измерений, подчинена нормальному закону. Найти вероятность того, что ошибки измерения не превзойдут 3.

Решение. Ошибкой измерения называется отклонение реального результата от истиного. Ошибка измерения является случайной величиной, если она есть результат действия только случайных факторов (в отличие от систематических ошибок, которые изменяются по определенному закону или постоянны во всей серии испытаний).

Если ошибки измерения случайны, то они симметричны относительно нуля, поскольку в силу их случайности, разумно предположить, что ошибки, равные по величине и противоположные по знаку, должны встречаться одинаково часто.

С учетом сказанного, воспользуемся формулой (40). Имеем

Р = 1 - 2Ф(-3) = 1 - 0,00135 = 0,9973.

Таблица 3

n		2	3	4
P n	0,6826	0,9544	0,9973	0,9997
%	32%	5%	0,7%	0,07%

Важность «правила трех » в том, что ошибки измерения для нормально распределенных величин, превышающих 3 практически невозможны, менее 3 существенны (см. табл. 3).

Функции от случайных величин

Функции от одного случайного аргумента

Рассмотренные нами основные законы распределения случайных величин, в чистом виде, встречаются не так уж и часто. Область их применения можно значительно расширить, если случайные величины, описывающие случайные явления, выражать через функцию от других случайных величин или хотя бы, через неслучайную функцию одной случайной величины.

Пусть, например, нас интересует распределение случайной величины , которая связана функционально со случайной величиной по формуле , для которой функция распределения F(x) известна. Задача состоит в нахождении функции распределения случайной величины , где

, .

В некоторых случаях решение задачи может быть получено из здравого смысла, которое должно быть проверено формально.

Пример. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	-1	0	1
р

Построить закон распределения случайной величины .

Решение. Случайная величина неотрицательна и, очевидно, принимает два значения. Закон распределения имеет вид:

	0	1
р

Замечание. Законы распределения для случайных величин и различны. Это означает, что . В самом деле, слева мы над случайной величиной произвели неслучайную математическую операцию: возведение в квадрат и получили два значения , а справа стоит произведение двух случайных величин. Эта случайная величина , для которой имеем три различных значения. Закон распределения имеет вид:

	-1	0	1
р

Рассмотренный пример демонстрирует подход построения закона распределения для функции одного случайного аргумента дискретной случайной величины.

Проведем построение функции распределения случайной величины , являющейся функцией случайной величины , с заданным распределением F(х).

Определение. Пусть функция у = х строго монотонна в области х)уУ), где символ «» читается как «и».

Функция ^-1 называется обратной к , если она определена на множестве У и

.

Если х возрастающая и х у, то х ^-1у, если х убывающая, то .

Рассмотрим случайную величину с функцией распределения Fх и плотностью х. Пусть у = х строго монотонная и дифференцируемая, вместе со своей обратной, функция. Пусть случайная величина . Требуется найти F у и у, где уУ - значения случайной величины .

По определению, имеем

F у = Р у, тогда, если х возрастающая, то

Р у = Р ^-1 у.

Отсюда

F у = F ^-1(у)),

или

.

Для плотности получаем:

. (42)

Если х - убывающая, то

, но тогда .

Отсюда

.

Для плотности, аналогично, получаем

(43)

Учитывая, что производная убывающей функции отрицательна, правая часть (43) положительна.

Объединяя (42) и (43), получаем:

(44)

Пример. Пусть случайная величина имеет функцию распределения F(х), а случайная величина , , R.

Найти F (y) и y, где у - значение случайной величины из области У.

Решение. Если , функция у = х возрастающая, тогда

,

отсюда

Если , то у = х + - убывающая, тогда

,

отсюда



.

Учитывая (44), для плотности получаекм

.

Пример. Пусть случайная величина имеет экспоненциальное распределение , х . Найти распределение случайной величины = е^-, .

Решение. Имеем

F(y) = P y= Pe^- y.

Если у 0, то событие невозможно, тогда F(y) = 0. Если у 1, то событие - достоверное, тогда F ( y) = 1.

Пусть теперь у, тогда

.

Таким образом, с учетом того, что имеем,

Многомерные случайные величины

Развитие аппарата многомерных случайных величин в теории вероятностей так же важно, как и развитие функций нескольких переменных в математическом анализе.

Пусть имеем вероятностное пространство (, ?,Р), ( совпадает с Rⁿ) с заданными на нем случайными величинами ₁=₁(), ₂=₂(),…, _n=_n(), .

Определение. Случайную величину = ₁, ₂, …, _n) назовем n - мерным случайным вектором, являющимся отображением Rⁿ. Отображение измеримо, в том смысле, что для любого множества из класса ? определена функция распределения.

, где . (45)

Функция распределения (45) однозначно определяет распределение вероятностей Р₁ х₁, ₂ х₂,…,_n x_n и обладает свойствами, вполне аналогичными свойствам функции распределения одной переменной, а именно, :

неубывающая по каждому аргументу вектора ;

;

непрерывна слева по каждому аргументу;

;

Дальнейшее построение теории многомерных случайных величин приведем для двухмерного случайного вектора ().

Пусть не обязательно совпадает с R². Рассмотрим случайный вектор (, R², где = . Любое подмножество А назовем событием. Класс ? определим как алгебру событий, каждое из которых можно получить из множеств

( х у)), где х, у.

Вероятность события А определим как

Р=Р А .

Тем самым построено вероятностное пространство ,Р), как частный случай рассмотренного ранее.

Из свойств функции распределения легко получить:

а) Ра₁ в₁, у = Fв₁,у) - F(а₁,у)

Графическая иллюстрация представлена на рис. 17 (включение границы в допустимую область обозначено жирной чертой).

б) Ра₁ в₁, а₂ в₂ = Fв₁,в₂) - F(а₁,в₂) - F(в₁,а₂) + F(а₁,а₂)

Графическая иллюстрация представлена на рис. 18.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 17 Рис. 18

Распределение вероятностей случайного вектора назовем дискретным, если он принимает не более, чем счетное число значений.

Распределение случайного вектора назовем абсолютно непрерывным, если для любого подмножества А, со значениями из R²,

или в эквивалентной форме

. (46)

Функция х,у называется плотностью распределения случайного вектора . Из (46) следует, что

.

Если существует плотность х,у, то существуют и плотности (х), (у).

Рассмотрим два примера, часто используемые в приложениях.

Пример (полиномиальное распределение)

Пусть - целочисленный случайный вектор. Распределение зададим формулой:

,



где 0 к₁ + к₂ n, р₁ = РА₁, р₂ = РА₂, 1 - р₁- р₂ = Р \ А₁А₂), А₁, А₂ , А₁ А₂

Применим описанное распределение при построении математической модели процесса разделения сыпучих материалов [7].

При разделении сыпучего материала на три группы по среднему диаметру частиц (события А_i) установлено, что вероятность РА_i частицы принадлежать группе i равна р_i, i=1,2,3. Распределение вероятностей, того, что среди n частиц к_i частиц принадлежит группе i (к₁+к₂+к₃=n) определяется по формуле полиномиального распределения, где к₃ = n - к₁ - к₂.

Пример (Двумерное нормальное распределение)

Пусть дана двумерная случайная величина . Будем говорить, что она нормально распределена, если ее функция распределения имеет вид:

где - называется эллипсом рассеивания [3], а - называется коэффициентом корреляции, о котором будем говорить ниже.



Условные законы распределения

Из свойств функций распределения многомерных случайных величин следует, что, зная закон вектора , можно определить законы распределения отдельных случайных величин . В самом деле, имеем

. (47)

Дифференцируя (47) по х, получаем, для плотности распределения , формулу:

.

Аналогично, получаем выражение плотности распределения :

.

Естественно, возникает обратная задача: зная законы распределения отдельных случайных величин, найти закон распределения случайного вектора?

Для независимых случайных величин это, очевидно, можно, но для зависимых, в общем случае, нельзя, если зависимость неизвестна.

Обратная задача решается положительно, если ввести условные законы распределения.

Определение. Условным законом распределения случайной величины случайного вектора , называется функция распределения F(х/у), полученная при условии, что случайная величина у.

Аналогично определяется условная плотность распределения (х/у).

Зная закон распределения одной из случайных величин и условный закон распределения другой, можно построить закон распределения двумерного вектора.

Из определения следует, что

,

отсюда, по определению условной вероятности,

.

Дифференцируя это равенство по х, получаем условную плотность

. (48)

Из (48) следует, что

. (49)

Формула (49) называется теоремой умножения законов распределения случайных величин.

Аналогичные формулы можно получить для условного закона распределения случайной величины вектора ().

Определение. Случайные величины называются независимыми, если закон каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина, иначе они зависимы.

Независимость означает, что для случайной величины (), х,у) R² выполняется

Р х у = Р хР у (50)

или

F(x, y) = F(x)F( y). (51)

Если случайная величина () имеет плотность, то

(х, у) = (х)(у). (52)

Любое из этих равенств является необходимым и достаточным условием независимости случайных величин .

Пример. Случайная величина () задана законом распределения (табл.4).

Таблица 4

	0	1
0
1

Проверить, являются ли случайные величины независимыми, если их законы распределения имеют вид:

	0	1
р

	0	1
р

Решение. Для проверки, достаточно показать справедливость формулы (50) или (51).

Положим , , а , .

Из свойства 2), функции распределения многомерных случайных величин, следует, что

а) для случайной величины

, ,

б) для случайной величины :

, ,

где .

Представим табл. 4 в виде:

	0	1
0
1

Отсюда видно, что условие независимости (50) выполняется. Для проверки достаточно рассмотреть всевозможные пары с повторениями из выборки для пары (х,у). Например, из следует, что . С другой стороны .

Важное значение в теории вероятностей и ее приложениях имеют суммы случайных величин. Нахождение функции распределения суммы по известным распределениям отдельных случайных величин является первостепенным.

Теорема. Пусть ₁ и ₂ положительно определенные независимые случайные величины с распределениями F₁ и F₂. Если ₂(х) - плотность случайной величины ₂, то

, .

Доказательство. Рассмотрим промежуток [0, х] и разобьем его на n частей х₀ = 0< x₁<…< x_n-1 < x_n = x. Пусть - длина интервала i, i = 1, 2,…, n. Рассмотрим события . Реализация любого из них приводит к появлению события

Так как события несовместны, а случайные величины ₁ и ₂ независимы, то

Учитывая, что , где некоторое число из промежутка , получаем

Рассматривая правую часть как интегральную сумму, при , будем иметь

. _Ў (53)

Если ₁(х) - плотность случайной величины ₁, то аналогично

. (53')

Формулы (53) и (53') называются сверткой распределений F₁ и F₂ и обозначаются символом

.

Дифференцируя формулы (53) и (53') по аргументу х, получаем аналогичную формулу для плотности суммы (₁ + ₂):

.



Если случайные величины ₁, ₂ определены на всей действительной оси, то для свертки имеет место

. (54)

Доказательство можно найти, например, в [5].

В классе распределений операция свертки обладает свойствами:

коммутативности:

ассоциативности:

дистрибутивности: .

Пример. Пусть даны случайные величины _i, i = 1,2,3,4, равномерно распределенные на 1). Требуется вычислить плотность их суммы для различных i.

Решение. Имеем .

Рис. 19

Для вычисления плотности воспользуемся геометрическим подходом. Изобразим ₁ и ₂ на плоскости в декартовой системе координат

Вычислим вероятности событий ₁ + ₂ х для разных х R. Очевидно, что

Рис. 20

Пусть х0,1 (рис.20, а)), тогда соответствующая плотность

Для х1,2 (рис. 20, б)), имеем

, отсюда , .

Таким образом, получаем

(55)

Графическая иллюстрация плотности представлена на рис. 21.



Рис. 21

Для более общего случая геометрический образ трудно воспринимается, поэтому воспользуемся следующими рассуждениями.

Для х0,2, очевидно, .

Пусть х0,1, тогда по формуле свертки, имеем (рис. 22, а)) .

Рис. 22

Для х1,2, получаем (рис. 22, б)) .

По аналогии с предыдущим вычислим плотность:



Плотность суммы ₁+₂+₃ «склеена» из трех кусков различных парабол.

Соответствующая кривая напоминает плотность нормального распределения (рис. 23), что является не случайным. Объяснение этому факту дает центральная предельная теорема, о которой мы будем говорить ниже [2].

Рис. 23

Наконец, для суммы , имеем



Или, окончательно,

Искомая плотность «склеена» из четырех кусков кривых третьего порядка, которая еще ближе приближена к нормальной кривой.

Задача. Прибор испытывается на экстремальную нагрузку. Установлено, что время х, до которого он выдерживает нагрузку, является случайной величиной с равномерным распределением на единичном отрезке 0,1).

Требуется найти Р t - вероятность того, что за время t, t 0,2, прибор откажет два раза. Решить задачу для t 0,5; 1; 1,5 (временем восстановления прибора пренебречь).

Решение. Пусть х момент первого выхода прибора из строя, х0,1, тогда за оставшееся время t - х прибор должен выйти из строя еще раз. Иллюстрация этого факта приведена на рис. 24.

Рис. 24

Пусть - плотность распределения времени работы прибора до первого отказа, тогда - плотность распределения времени двукратного выхода прибора из строя за время t, которая вычисляется по формуле:

/

или, учитывая результаты предыдущего примера (формула (55)), получаем

Таким образом

Или

Вероятности для конкретных значений t приведены в табл. 5

Таблица 5

t	0,5	1	1,5
	1/8	1/2	7/8

Как видно из примеров, изучение суммы случайных величин имеет важное значение (например, в теории надежности, теории восстановления, химии, технологических процессах и др. [1]).

Если для математического ожидания суммы случайных величин задача решается просто, то для нахождения их дисперсии мы сталкиваемся с трудностями, если случайные величины зависимы.



Моменты многомерных случайных величин

Определим, по аналогии, начальные и центральные моменты системы двух случайных величин в предположении существования их ряда распределения (или плотности).

Определение. Начальным моментом порядка (к + r) системы случайных величин (,) называется число

В частности, _1,0 = , _0,1 = , n N.

Определение. Центральным моментом порядка (к+r) системы случайных величин ( ) называется число

, (57)

в частности , .

Выясним что представляют собой начальный момент _1,1 и центральный момент _1,1 системы (.

Рассмотрим более общую задачу. Пусть ₁, ₂, …, _n - произвольные случайные величины. Вычислим дисперсию их суммы:

или

. (58)

Число слагаемых во второй сумме, правой части (58), равно

Если бы случайные величины были независимы, то, в силу свойств математического ожидания,

, .

Число , в формуле (58), является вторым смешанным центральным моментом _1,1 пары случайных величин _i, _j .

Его можно рассматривать как меру зависимости случайных величин.

Определение. Ковариацией случайных величин , называется математическое ожидание произведения их отклонений

. (59)

Ковариация существует, если существуют дисперсии каждой из случайных величин. Очевидно, что дисперсия есть частный случай ковариации, так как при имеем .

Если случайные величины независимы, то ковариация равна 0. Утверждение сразу следует из свойств математического ожидания отклонений этих величин. Обратное неверно.

Вместо формулы (59) часто используется формула



. (60)

В самом деле, имеем

. _Ў

Пример. (Игра в лотерею). У каждого играющего в лотерею свой номер. Карточки с номерами собирают и тщательно тусуют. Затем по очереди, в соответствие с номером, игроки подходят и берут карточки. Получает приз тот, кто взял свой номер. Оценить, сколько призов в среднем следует приготовить.

Решение. Определим сл. в. _к =

А_к ~игрок с номером к вытащил карточку с номером к. Пусть - случайная величина, характеризующая число призеров. Ясно, что свою карточку игрок берет с вероятностью n^-1:

, , ,

,

то есть, имеем одно совпадение при любом n.

Найдем дисперсию:

, ,

,

.

Из определения следует, что может быть равно 1 или 0, причем , если обе карты на своем месте, то есть , .

Итак, , а так как число слагаемых у второй суммы есть , то

.

Таким образом, с учетом средних отклонений, получается, что независимо от числа игроков следует приготовить приза в среднем.

Пример. Пусть случайная величина распределена равномерно в круге D радиуса R (для простоты центр круга поместим в начало координат). Определим плотность

Вычислим В силу симметрии, , . Далее,

,

то есть некоррелированы, хотя и зависимы. В самом деле, имеем

,

,

тогда

.

Задача. Доказать, что для нормального распределения случайных величин из некоррелированности вытекает их независимость.

Из примера видно, что величина ковариации зависит от размерности случайных величин . Целесообразно ввести безразмерную характеристику, которая будет являться мерой зависимости случайных величин.

Определение. Случайная величина * называется нормированной, если М* =0, D*= 1. Любую случайную величину можно нормировать заменой

.



Определение. Коэффициентом корреляции r случайных величин , входящих в двумерную случайную величину , назовем нормированную ковариацию:

случайный величина распределение дисперсия

.

Если r = 0, то говорят, что случайные величины некоррелированы. Независимые случайные величины всегда некоррелированы.

Если рассматривать геометрический образ случайных величин в декартовых координатах, то для их некоррелированности достаточно, чтобы их совместное распределение было симметрично относительно прямой параллельной любой из осей координат.

Свойства коэффициента корреляции

.

В самом деле, имеем

или

что эквивалентно неравенству . _Ў

если и независимы, то . Доказательство следует из независимости * и *._Ў

тогда и только тогда, когда случайные величины линейно зависимы, то есть

Если , то r = -1, если , то r = 1.

Пусть , тогда

._Ў

Обратно, пусть . Возьмем r = -1,

тогда

, следовательно .

Возвращаясь к , получаем

.

Для r = 1, возьмем _Ў

Если r 0, то случайные величины зависимы.

Из свойств коэффициента корреляции следует, что он характеризует тесноту линейной связи в том смысле, что с возрастанием одной случайной величины другая линейно увеличивается (если r) или линейно уменьшается (если r ), в среднем.

Пусть имеем набор случайных величин ₁, ₂, …, _n, представляющих некоторый объект для исследования. Математический анализ этого объекта можно проводить, если известны:

а) математические ожидания М_i,

б) дисперсии случайных величин D_i,

в) парные коэффициенты корреляции r_ij, число которых равно , где i, j = 1, 2, …, n.

Для оценки совокупного поведения системы случайных величин, часто рассматривают корреляционную матрицу

,

где r_ij = r_ji - коэффициенты корреляции случайных величин _i, _j.

Изучение этой матрицы задача достаточно сложная и выходит за рамки данного курса [1].

Замечание. Можно рассматривать корреляционную матрицу, элементами которой являются корреляции случайных величин, а по главной диагонали идут их дисперсии. По такой матрице можно судить о величине рассеяния системы случайных величин относительно их среднего значения.

Еще одним видом зависимости случайных величин являются линии регрессии.

Пусть имеем пару (, хy).

Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины (или ), при фиксированном значении случайной величины х, (или у назовем число

...