Размещено на http://www.allbest.ru/

Предельные теоремы



Реальности нашей действительности подтверждают принцип, согласно которому определенного вида действия случайных событий, при весьма широких допущениях, приводят к результату, не являющемуся случайным. Благодаря этому принципу, законы теории вероятностей можно получать из закономерностей, присущих массовым случайным явлениям (событиям).

Некоторые законы можно сформулировать в виде предельных теорем, основывающихся на устойчивости среднего результата случайных факторов (например, оценка вероятности, числовых характеристик случайных величин, их распределений и др.).

Мы рассмотрим две группы предельных теорем.

К первой группе относятся теоремы, в которых, при определенным образом организованных условиях, доказывается сходимость случайных величин или функций от них к некоторым постоянным. Эта группа теорем носит название закона больших чисел. Примером может являться теорема Бернулли. предельный теорема сумма величина

К другой группе предельных теорем относятся теоремы, использующие предельные свойства сумм случайных величин, где пределом последовательности частичных сумм являются не постоянные, а неслучайные функции (например, нормальное распределение или распределение Пуассона). В частности, в центральных предельных теоремах формулируются условия, при которых последовательности частичных сумм случайных величин сходятся к нормальному распределению

Замечание. Предельные теоремы и приближенные формулы (например, формула Пуассона) справедливы тогда, когда общее число испытаний заранее фиксировано. Если допустить, что, например, при подбрасывании монеты, игрок может закончить игру в выгодный для себя момент, то в целом результат игры не может быть оценен нормальным распределением, поскольку считается, что за достаточно длительное время произойдет любое, пусть и маловероятное, но мыслимое событие, то есть при n вероятность любому событию произойти близка к единице.

Докажем некоторые неравенства, которые, может быть, малопригодны на практике, в силу своей общности, но очень важны и эффективны в теоретических исследованиях.

Теорема. Для любой случайной величины , с заданной функцией распределения F(x), имеет место неравенство

0, (110)

Доказательство. Пусть - плотность случайной величины , тогда имеем цепочку неравенств

._Ў

Следствие 1. Пусть случайная величина положительно определена, тогда

Следствие 2. (Неравенство Чебышева). Если дисперсия случайной величины существует, то



или

(111)

Вместо (111), часто используют неравенство

(112)

Пример. Оценить вероятность того, что произвольная случайная величина, с конечной дисперсией, отклонится от своего математического ожидания более чем на 3.

Решение. Из формулы (111), имеем

Для сравнения, если случайная величина распределена нормально, то

а если имеет распределение Пуассона, то



Полученная оценка для распределения Пуассона

,

отражает факт универсальности его применения, в том смысле, что распределение устойчиво к некоторым ослаблениям условий необходимых при его выводе.

Закон больших чисел

Теорема (Чебышева). Для последовательности независимых случайных величин , с дисперсиями ограниченными в совокупности (то есть С ), имеет место асимптотическая оценка^{** Последовательность {}_n} сходится по вероятности к , если для всякого 0, Р{_n- }0 при n. Формула (113) определяется как сходимость по вероятности дополнительной вероятности к событию {_n-}.

, , . (113)

Доказательство. Положим

тогда



Для каждого фиксированного n, в силу (112), имеем

(114)

Из свойств дисперсии следует, что

.

Усилив (114), получим

Переходя к пределу при n , и, учитывая, что вероятность больше единицы не бывает, получаем требуемое. _Ў

Замечание. Теорема Чебышева справедлива и для случайных величин, у которых функции распределения, вообще говоря, различны.

Из теоремы Чебышева можно получить важные частные случаи.

Теорема. (Хинчина). Дана последовательность независимых случайных величин ,… с одним и тем же распределением и ограниченной дисперсией, тогда

,



где

Пример. Дана последовательность независимых случайных величин ,…, заданных на вероятностном пространстве (,?,Р) с функцией распределения Коши:

, i N

Можно ли применить к этой последовательности теорему Хинчина?

Решение. По условию теоремы Хинчина, дисперсии случайных величин ограничены. Проверим это условие. Найдем сначала математическое ожидание. Имеем

Так как математическое ожидание не существует, то не существует и дисперсия, следовательно, теорема Хинчина для этой последовательности неприменима по двум ее условиям.

Замечание. Для теоремы Хинчина, вообще говоря, кроме независимости случайных величин достаточно существование конечного математического ожидания [5].

Из теоремы Хинчина следует, что, если при многочисленных измерениях некоторой величины, допускаются случайные ошибки, то их среднее арифметическое дает измерение, наиболее близкое к истинному.

Теорема (Бернулли). Пусть - число появлений события А в n независимых испытаниях, а р- вероятность появления события А в каждом испытании, тогда

0,

Доказательство. Рассмотрим независимые случайные величины , где

тогда

Ограниченность дисперсии следует из того, что, взяв производную от выражения

получаем, что максимальное значение р = 1/2,

тогда

Все условия теоремы Чебышева выполнены. Учитывая, что получаем

0, при ._Ў

Теорема Бернулли утверждает, что чем больше мы будем проводить независимых испытаний, тем точнее будет оценка вероятности события А в среднем.

Теорема (Пуассона). Если для последовательности независимых испытаний вероятность появления события А в испытании к равна , к N , то

,

Доказательство. Достаточно заметить, что

то есть дисперсии ограничены в совокупности. Все остальные условия теоремы Чебышева, очевидно, выполняются. _Ў

Из теоремы Пуассона следует, что, если при проведении независимых испытаний, вероятность появления события А меняется незначительно за счет случайных причин, то при достаточном числе испытаний мы получим значение близкое к истинному значению вероятности события А.

Для произвольной последовательности случайных величин закон больших чисел может быть сформулирован следующим образом.

Теорема (Маркова). Дана последовательность произвольных случайных величин ,… и для каждого фиксированного n



(115)

тогда

, .

Условие (115) означает, что для любого конечного n, среди случайных величин нет таких, которые существенно влияли бы на их сумму.

Закон больших чисел фактически обосновывает статистическую вероятность [4], устойчивую к ослаблениям условий ее получения, если число испытаний достаточно велико.

Центральные предельные теоремы. Пусть дана последовательность случайных величин , … . Пусть - частичная сумма последовательности.

В классической постановке центральные предельные теоремы описывают поведение частичных сумм , когда n достаточно большое.

В большинстве случаев, будем говорить, что к последовательности случайных величин применима центральная предельная теорема [5], если для любых действительных чисел .

(116)



где

Практически, формула (116) дает оценку вероятности того, что сумма нескольких случайных величин примет значение из заданного интервала. В современных центральных предельных теоремах в качестве предельных распределений рассматриваются распределения, отличные от нормального, обычно это локальные предельные теоремы (распределение Пуассона, Коши распределения, распределение Стьюдента, ² - распределение и др).

Теорема (Линдеберга - Леви). Пусть ,…- последовательность независимых случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве. Пусть существуют

тогда для любых имеет место

Теорема (Ляпунова). Пусть - последовательность независимых случайных величин, у которых существуют конечное математическое ожидание - , дисперсия - и третий центральный момент



Если

(117)

то закон распределения нормированной суммы

сходится по вероятности к нормальному распределению, то есть

Доказательство теорем можно найти в [2,5].

Замечание. Условие (117) означает, что влияние любой из случайных величин _к последовательности на их сумму несущественно, иначе сходимость определялась бы распределением той случайной величины, у которой дисперсия намного больше, чем у других случайных величин.

Следствие. Если дана последовательность ,… одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией, то имеет место сходимость равномерно по х

.

Пример 1. В n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в каждом из испытаний, число успехов можно представить в виде суммы

где _i равно единице или нулю, в зависимости от того был ли успех в испытании i или нет (см. теорему Бернулли). Так как испытания независимые, то к сумме применимо следствие из центральной предельной теоремы. Поэтому распределение для приблизительно нормально, то есть

В сущности, это есть теорема Муавра-Лапласа.

Пример 2. На странице 88 рассмотрен пример со случайными величинами , одинаково и равномерно распределенными на [0,1). При рассмотрении сумм , было отмечено, что их плотности тем больше напоминают нормальное, чем больше слагаемых в сумме.

Теперь в силу теоремы Линдеберга-Леви мы можем утверждать, что

где - плотность случайной величины .

Задача. Доказать, что

Решение. Воспользуемся следствием к теореме Ляпунова. Предположим, что сл. в. ,… распределены в соответствии с законом Пуассона, с параметром =1. В силу следствия, имеем

или

так как

Покажем, что

Предварительно докажем лемму.

Лемма. Пусть даны случайные величины , распределенные по закону Пуассона с параметрами , тогда

Доказательство. Пусть

тогда

кN

Отсюда

._Ў

Далее, по индукции, легко показать, что, если распределены по закону Пуассона, то

._Ў



Вернемся к задаче.

Рассмотрим событие . Его можно представить в виде объединения несовместных событий:

Следовательно, для r = n

Замечание. Лемма представляет собой пример вычисления свертки дискретных неотрицательных целочисленных случайных величин, распределенных по закону Пуассона.

Практически, центральными предельными теоремами, можно пользоваться и тогда, когда имеется сумма небольшого числа случайных величин (n10).

В частности, широко применяется приближенная замена одних плотностей на другие, более удобные.

Не следует думать, что все центральные предельные теоремы используют нормальное распределение как предельное. Например, в случайных процессах в качестве предельных рассматриваются ²-распределение, распределение Пуассона, Коши распределение, гамма распределение и др. Эти распределения относятся к классу безгранично делимых распределений (то есть таких, которые представимы как n-кратная свертка (nN) , одинаковых распределений вероятностей). Доказано, что они и только они могут быть предельными для сумм независимых случайных величин [2]. Рассматриваются также предельные теоремы перехода от дискретных случайных процессов к непрерывным.



Библиографический список

1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. - М.: Высшая школа, 1985. - 327 с.

2. Боровков А.А. Теория вероятностей, - М.: Наука, 1986. - 432с.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 2002. - 576 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2002. - 479 с.

5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. - 446с.

6. Карлин С. Основы теории случайных процессов. - М, «Мир», 1971.

7. Кафаров В.В., Дорохова И.Н., Арутюнов С.Ю. Системный анализ процессов химической технологии. - М.: Наука, 1985. - 440 с.

8. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

Размещено на Allbest.ru

...