Выше показано, что распределение случайных величин в биологических, в том числе и лесных, совокупностях носит закономерный характер. Есть много функций, которыми описывают названные распределения. Наиболее универсальной и используемой чаще других является уравнение кривой нормального распределения или функция Гаусса-Лапласса. Ее суть заключается в том, что частота отклонения отдельных вариант от средней арифметической данной совокупности есть функция их величины. Вероятность частоты той или иной варианты в генеральной совокупности и определяется этой функцией.

Графически функция нормального распределения схожа с графиками на рисунках 1 и 2 В то же время график, который строго соответствует уравнению кривой нормального распределения, выглядит следующим образом (рисунок 3.).

Рисунок 3. Кривая нормального распределения

Уравнение кривой нормального распределения выражает зависимость теоретических численностей f (x) или y от значений x, являющейся непрерывно распределяющейся случайной величиной. Есть разные формы выражения этой кривой. Основная форма написания этого выражения

(1)

Здесь y - ордината или высота кривой на любом расстоянии от , т.е. центра распределения. Вправо от этого центра случайная величина х_i имеет положительные, а влево - отрицательные значения.

у или среднеквадратическое отклонение характеризует амплитуду колебания отдельных значений случайной величины около средней арифметической;

() - отклонение варианты от средней арифметической, являющейся серединой ряда;

выражение - максимальная ордината, соответствующая точке .

По мере удаления от этой точки, т.е. центра распределения, плотность значений случайной величины падает и кривая асимптотически приближается к оси абсцисс;

Так как р - 3,14593 и e - основание натуральных логарифмов, равное 2,7183, являются постоянными величинами, следовательно величина есть не что иное как нормированное отклонение. Эта величина имеет большое значение для исследования свойств нормального распределения.

Найденные для различных значений t величины У дают ординаты нормальной кривой. Непременным условием нормирования служит требование, чтобы вся площадь, заключенная под кривой вероятности (нормальной кривой), равнялась единице.

Если принять =1, то уравнение (1) будет иметь следующий вид:

(2)

Кривая, описываемая этим уравнением, получила название стандартизованной кривой распределения, или кривой Гаусса-Лапласа. Она выражает закон нормального распределения с площадью под кривой, равной единице.

Чтобы ордината У выражала не вероятностные, а абсолютные численности, т.е. частоты вариант, нужно в числитель правой части уравнения (1) ввести в качестве дополнительных множителей N - общее число вариант данной совокупности и i - величину классового интервала (если вариация разбита на классы).

Тогда уравнение (1.) принимает следующий вид:

(3)

Здесь У обозначает теоретическую частоту вариационного ряда, соответствующую нормированному отклонению t.

Кривая нормального распределения обладает следующими свойствами:

· Однозначно определяется двумя параметрами: - средним значением и у - среднеквадратическим отклонением.

· Кривая симметрична относительно среднего значения () и имеет колоколообразную форму, которая зависит от величины у, являющейся параметром масштаба, а положение определяется .

· Кривая имеет один максимум, равный и две точки перегиба на расстоянии ±у от .

· Ветви кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс на расстояние ±?.

Итак, нормальный закон распределения выражает функциональную зависимость между величиной признака и его частотой в генеральной совокупности. Чем больше отклонение варианты от средней величины, тем меньше ее частота, и наоборот, чем меньше варианта отклоняется от средней арифметической, тем больше ее частота в данной совокупности. Следовательно, вероятность отклонения любой варианты от средней арифметической есть функция нормированного отклонения. Эта функция выражается с помощью асимптотических, т.е. приближенных формул (6.1), а также графически (см. рисунок 6.3) и в форме таблиц. Таблица значений вероятности, соответствующие разным значениям нормированного отклонения t приведена в приложении А. Пользуясь этой таблицей, можно по двум параметрам - и - построить теоретический вариационный ряд, что имеет значение при сравнительной оценке эмпирических распределений.

Выше было показано, что нормальное распределение является широко распространенной закономерностью в живой природе, в том числе и в лесных насаждениях. Такому явлению должно быть некоторое убедительное основание. Его привел известный русский математик и механик А.М. Ляпунов (1857 - 1918), доказав в 1901 году предельную теорему Ляпунова, которая относится к области теории вероятностей.

Учитывая фундаментальность нормального закона распределения и его большую практическую значимость, приведем краткое изложение теоремы Ляпунова в интерпретации известного советского математика А.К. Митропольского.

Теорема Ляпунова утверждает, что если значения независимых случайных величин будут малы в сравнении с их суммой, то при неограниченном возрастании числа этих величин распределение их суммы становится приближенно нормальным.

Условия теоремы Ляпунова являются настолько широкими, что во многих случаях их можно предполагать выполняющимися. Поэтому, если есть основание рассматривать изучаемую величину как сумму многих независимых случайных величин, влияние каждой из которых на эту сумму практически ничтожно, то, если даже распределения составляющих величин нам неизвестны, можно часто заранее быть уверенным, что изучаемая величина имеет нормальное распределение.

Благодаря этому становится ясным, что, например, распределение случайных ошибок при измерениях будет нормальным. Точно так же нормальным будет распределение физических признаков людей, распределение механических свойств материалов и т.д. Этот вывод полностью подтверждается многочисленными исследованиями.

Таким образом, теорема Ляпунова дает объяснение тому важному положению, что во многих случаях величины имеют нормальное распределение.

Причину такого соответствия нормальной кривой полученным при наблюдении рядам распределения можно видеть в выполнении тех самых условий, на основании которых теоретически появляется нормальная кривая. Можно предположить, что отдельные наблюденные значения являются результатом бесчисленного множества весьма незначительных независимых между собой причин, каждая из которых может произвести очень малое положительное или отрицательное отклонение от среднего значения исследуемой величины.

Для наглядного выяснения тех условий, при которых возникает нормальное распределение, построен прибор Гальтона. Этот прибор представляет ящик, изображенный на рисунке 6.4 Вверху прибора устроено отверстие в виде воронки, которое ведет в узкое пространство между доской и стеклом. Внизу прибора помещены перегородки, образующие несколько отделений. Все пространство между воронкой и отделениями занято рядами игл, расставленных в шахматном порядке. Если прибор поставить в наклонном положении и сыпать в воронку мелкую дробь, то иглы будут делить эту дробь на отдельные потоки. Вследствие этого дробинки расположатся не равномерно, а образуют в своей совокупности нормальную кривую.

Рисунок 4. Прибор Гальтона

Рассматриваемый прибор ясно показывает то действие, которое оказывает множественность причин на возникновение явления. В самом деле, при отсутствии игл в приборе весь поток дроби шел бы без отклонений вниз, и в результате дробь скопилась бы между двумя - тремя соседними вертикальными полосками против отверстия воронки. Однако препятствия в виде игл отклоняют дробинки в разные стороны, причем для большей части дробинок эти отклонения взаимно уравновешиваются, и все распределение принимает характерный вид: в отделении против воронки скопляется наибольшее количество дроби, а в остальных отделениях будет дроби тем меньше, чем дальше они отстоят от среднего отделения, так как для того чтобы отклониться от него далеко, необходимо встретить много односторонних препятствий, а это случается только с небольшим числом дробинок.

Картина распределения, подобная описанной выше, наблюдается при изучении случайных величин, взятых из любой области.

Примеров, когда применим закон, вскрытый теоремой Ляпунова, множество. Проанализируем действие этого закона в лесу. Так, на древостой, растущий без вмешательства человека, действует множество абиотических и биотических факторов. Ресурсы роста дерева определяются наследственными свойствами конкретного семени, места, где оно произрастает (условия произрастания имеют определенную неоднородность даже в пределах одного таксационного участка), соседними деревьями, случайными повреждениями (снегом, животными, молнией и т.д.) и многими другими причинами. Каждая из причин носит случайный характер и ее влияние на их совокупный результат приводит к нормальному распределению. Здесь мы исключаем антропогенный фактор, особенно рубки ухода, воздействие которых велико и целенаправленно, что имеет следствием другие распределения диаметров деревьев, о чем будет сказано ниже.

Нормальное распределение можем наблюдать, если проанализируем отклонение длины реальных сортиментов, заготовленных в лесу, от заданной их длины. Например, мы выпиливаем еловые пиловочные бревна длиной 6,5м. По действующему стандарту здесь допустимо отклонение в большую сторону (припуск) до 1%. В нашем случае это составит 6,5 см. При реальной раскрижевке из-за разных случайных причин припуски получаются неодинаковой длины. Средний припуск здесь будет отклоняться от средней величины (примерно 4 см) на ± 3 см, а весь массив чисел, характеризующих отклонения от 6,5 см будет распределен нормально.

Основные свойства нормального распределения. Теоретически случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, может принимать любые значения, меняясь от - до +. На самом же деле, как это видно из графика нормальной кривой (см. рисунок 6.3), значения вероятности по мере удаления от центра распределения быстро убывают.

Если в обе стороны от отложить отрезки, равные 3, то получатся точки -3 и +3; их можно выразить в нормированной форме:

Сделаем анализ вероятности того, что значение случайной величины окажется в данном интервале, т.е. между -3 и +3. Как утверждает теория вероятностей, искомая вероятность приближенно равна:

Р (х₁ Х х₂) [Ф (t₂) - Ф (t₁)], (4)

где выражение Р (х₁ Х х₂) обозначает вероятность (Р) того, что случайная величина Х находится между заданными пределами (х_{1 -} ) и (х_{2 -} );

t₁ и t₂ - нормированное отклонение, т.е. t₁ = и t₂ = ;

символ Ф (t), читаемый как “фи от t”, называется интегральной функцией Лапласа. Одно из важных свойств этой функции заключается в том, что она стремится к единице, если t неограниченно возрастает. Значения этой функции, соответствующие разным значениям t, и составляют содержание таблицы, приведенной в приложении А.

Подставим в уравнение (6.4) взятые значения t₁ и t₂:

Р ( - 3) Х ( + 3) = [Ф (3) - Ф (-3)] = Ф (3).

Вычисления показывают, что Ф (3) = 0,9973 1. Это значит, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, практически не отклонится от центра распределения , т.е. средней арифметической генеральной совокупности, более чем на 3. Этот важный для нас вывод известен в биометрии под названием “правила плюс - минус трех сигм”. Например, мы изучили расперделение по весу самцов разновозрастной популяции дикого кабана на территории некоторого лесхоза. Это распеределение будет близким к нормальному. Допустим, что средний вес кабана () в этой популяции составил 100 кг, а среднеквадратическое отклонение () равно 30 кг, т.е. изменчивость (коэффициент вариации (V) составит 30%. Тогда 68% кабанов будут иметь вес от 70 до 130 кг. Для 95% этой популяции колебания составят от 40 до 160 кг. При анализе 99,9% этой популяции вес отдельных особей может колебаться от 10 до 190 кг. Только очень малое их количество (отдельные особи) могут иметь больший вес, что мы и наблюдаем в природе.

Из таблицы в приложении А видно, что между пределами от - t до +t находится 0,6828, или 68,28%, всей площади, заключенной под кривой вероятности. Площадь этой кривой, ограниченная пределами от - 2t до +2t, составляет 0,9545 долей единицы, или 95,45%, а в пределах от - 3t до +3t находится 0,9973, или 99,73% всей площади нормальной кривой. Выражаясь более конкретным языком, правило “плюс - минус трех сигм” гласит, что в пределах 1 находится 68,28% всех вариант эмпирической совокупности, распределяющейся по нормальному закону; в пределах 2 заключено 95,45%, а в пределах 3 содержится 99,73% всех вариант совокупности.

Таким образом, нормальную кривую можно разделить на три участка или “сигмальные зоны”, каждая из которых содержит определенное число вариант. Границы этих “зон” приблизительно совпадают с наиболее заметными изгибами нормальной кривой (рисунок 4.).

Рисунок 4 Графическая иллюстрация “правила плюс - минус трех сигм”

Обобщая изложенное, можно сказать, что, как указывают известные советские ученые-лесоводы К.Е. Никитин и А.З. Швиденко, в процессе статистического анализа лесоводственной информации, относящейся к некоторой случайной величине, теорию распределений применяют в двух основных направлениях:

· Как основу статистических выводов, в частности, оценки параметров и проверки статистических гипотез;

· Как средство и метод представления выборочных распределений.

В первом случае часто основополагающую роль играет нормальный закон распределения, во втором - в качестве модели можно применять самые различные типы распределений. При этом в сходных практических ситуациях при изучении одной и той же величины возможно использование разных теоретических схем, что объясняется неполнотой соответствия реальной ситуации теоретическим предпосылкам, необходимым для формирования того или иного распределения, и ограниченностью объема выборки. Последнее предопределяет приближенный характер решения задачи, необходимость статистической оценки ее результатов и объясняет обычно применяемые термины: “аппроксимация распределений”, или “подгонка”.

4. Вычисление выравнивающих частот кривой нормального распределения