Биномиальное распределение. Распределение Пуассона

Размещено на http://www.allbest.ru/

Биномиальное распределение. Распределение Пуассона



1. Понятие о биномальном распределении

Нормальное распределение широко распространено в природе. Но вариационные ряды распределения различных биологических и лесоводственных объектов весьма разнообразны и не могут быть описаны только нормальным распределением. Хотя большинству вариационных рядов свойственно большое количество вариант в середине ряда и уменьшение их по мере удаления от центра, кривые, описывающие это явление, могут быть различными.

Одним из достаточно распространенных видов подобных распределений является биномиальное. Для примера сделаем анализ появления всходов на лесосеке. Допустим, имеется вырубка шириной 100 м, где было 50% сосны и 50% березы, что в лесоводстве записывается в виде формулы состава 5С5Б. Стены леса, окружающие лесосеку имеют такой же породный состав. По вырубке провели плужные борозды, и следующий год появился самосев сосны и березы. Нас интересует какова доля сосны в общем количестве естественного возобновления. Для этого заложили 150 учетных площадок размером 11 м, на которых учли все всходы сосны и березы. На каждой площадке выразим долю сосны в процентах. Для удобства долю сосны на площади округлим до 10%. Результаты показаны в таблице 7.1.

Распределение вероятностей, показанное в таблице 7.1, описывается биномиальной кривой. Дадим пояснение этому термину. Если вероятности появления самосева сосны на учетных площадках выразить графически, то получим вариационную кривую или полигон распределения вероятностей (рисунок 7.1)

Кривая на рисунке 7.1. носит название биномиальной, так как ее численности соответствуют разложению бинома



(a+b)^п (7.1)

Таблица 7.1 - Вероятность появления сосны на учетных площадках

Доля всходов сосны в % от обычного количества самосева на учетной площадке (xi)	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	Итого
Количество площадок фактическое (численности) - ni	1	2	7	17	32	38	30	16	6	1	0	150
Выравненное (теоретическое) количество площадок	без округления	0,15	1,46	6,59	17,58	30,76	36,55	30,76	17,58	6,59	1,46	0,15	150
	с округлением	0	1	7	18	31	36	31	18	7	1	0	150
Вероятности	фактические (экспериментальные)	0,007	0,013	0,047	0,113	0,213	0,253	0,200	0,107	0,040	0,007	0	1,0
	теоретические без округления числа площадок	0,001	0,010	0,044	0,118	0,205	0,244	0,205	0,118	0,044	0,010	0,001	1,0
	теоретические с округлением	0	0,007	0,047	0,120	0,207	0,240	0,207	0,120	0,046	0,007	0	1,0

N

Доля всходов (%)

Рисунок 7.1 Полигон распределения вероятностей появления всходов сосны на учетных площадках

Из таблицы 7.1. видно, что для того, чтобы получить вероятностные численности разных результатов при некотором их количестве N, надо вероятности x умножить на N. Сумма вероятностей всегда равна 1. В нашем примере N - это общее число площадок, т. е. 150. Так как количество вариантов у нас 11, то мы имеем дело с биномом (a+b)¹¹. Теоретическое и практическое разложение этого выражения излагается ниже.

2. Биномиальное разложение как проявление событий с двумя входами

Биномиальное распределение обычно применяют, когда необходимо провести исследование событий, которые могут наступить или не наступить.

Сущность биномиальной кривой поясним на следующем примере. Известно, что количество мужчин и женщин примерно одинаково. Здесь мы не рассматриваем аномальные местности, например, в российском городе Иваново, где большинство составляют женщины (вспомним слова известной песни: «….населенье таково - незамужние ткачихи составляют большинство»), а в военных городках - мужчины. Возьмем средний белорусский город, скажем Гомель, где соотношение полов можно считать равным 1:1. биномиальный распределение пуассон

Допустим, мы стоим на улице и считаем проходящих прохожих, подразделяя их по полу. Каждые прошедшие два человека объединим в пары. Эти пары могут иметь следующие варианты: МЖ, ММ, ЖЖ, ЖМ. Вероятность появления мужчины обозначим буквой a, а женщины - b. Вероятность прохождения мужчин и женщин одинакова, т. е. a = b = Ѕ. Вероятность появления один за одним двух мужчин или двух женщин в соответствии с теорией вероятности равна aa=a²или bb=b². В нашем случае она равна 0,5² = 0,25, т.е. это один случай из 4.

Сочетание появления друг за другом мужчины и женщины равна ab + ab = 2ab. Таким образом, рассматривая вероятность появления двух равновероятных событий, получаем их следующее распределение.

(7.2)

Рассматривая 3,4….n сочетаний различных равновероятных случаев, приходим к выводу, что их вероятности описываются вышеприведенной формулой (7.1), т. е. биномом Ньютона. Отсюда распределение получило название биномиального.

Учитывая, что сегодня в средней школе не изучают бином Ньютона, дадим его подробное описание.

Последний выражается формулой



где - число сочетаний из n элементов по k.

(7.2)

Например, при n=8 и k=5 уравнение (7.2) будет иметь вид

После подстановки выражения (7.2) (7.1) получаем рабочую формулу для вычисления разложения бинома Ньютона

.

Коэффициенты разложения бинома Ньютона можно получить с помощью треугольника Паскаля. В нем величины любого ряда являются суммой двух цифр, расположенных выше искомого ряда, что видно на рисунке 7.2.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7.2 Треугольник Паскаля

Из школьного курса студентам известны квадрат и куб суммы двух чисел, что является частным случаем общего разложения бинома Ньютона.

Далее разложение продолжается в следующем порядке

и т. д.

Кривая на рисунке 7.1. носит название «биномиального распределения», так как соответствует разложению бинома Ньютона. В рассмотренном вариационном ряду, как и при нормальном распределении, которое описано в главе 6, большинство вариант размещаются вблизи центральной части полигона вероятностей. Биномиальное распределение, как сказано выше, используется для математического описания событий, где имеется вероятность противоположных событий aиb.

Рассматривая это распределение с общих позиций теории вероятностей в предположении, что очевидно вероятность появления и отсутствия некоторого события равна 1,0, т. е. a+b=1. Эта простая схема называется схемой Бернулли. Она описана известным швейцарским математиком Я. Бернулли (1654 - 1705). Опубликована была лишь в 1713 г. Из схемы Бернулли вытекает следующая одноименная теорема: « В условиях схемы Бернулли вероятность a_n,mтого, что событие Fпоявится во всех n испытаниях равно mраз, равна коэффициенту при t^mв разложении бинома (at+b)ⁿпо степени t

, где

a=1-b; - число сочетаний из nэлементов по m; ! - знак факториала, т. е. a,b,c,…..,n! = a*b*c*….*n! например 5! = 1*2*3*4*5 = 120

Теорема верна для m=0 или m=n.

Доказательство этой теоремы приводится в книге А.К. Митроольского, имеющейся в списке литературы. Оно заключается в следующем.

Если m = 0 (m = n), то p_n,0 (p_{n ,n}) есть вероятность того, что событие Eобязательно не появится (появится) в каждом из nиспытаний. Из независимости испытаний эта вероятность по закону сложения вероятностей оказывается равной qⁿ (pⁿ), что совпадает с коэффициентом при t⁰ = 1 (tⁿ) в разложении бинома (pt + q)ⁿпо степеням t. Отсюда, в частности, следует справедливость теоремы для случая n == 1, ибо тогда mможет равняться или нулю, или единице, т. е. n.

Далее применим метод математической индукции. Пусть теорема доказана для схемы n - 1 испытаний. Докажем ее для схемы n испытаний. При этом на основании предыдущего абзаца достаточно считать, что 0<m<n.

Пронумеруем испытания числами от 1 до п. Об испытании, полу чившем номер k,, будем говорить как о k-миспытании. Теперь заме тим, что появление Е точно т раз в п испытаниях равносильно на ступлению одного из двух несовместимых событий: либо Е появится точно т -- 1 раз в первых n -- 1 испытаниях и появится также в n-м испытании -- вероятность этого события будет вследствие независимости испытаний, либо Е появится точно т раз в и -- 1 первых испытаниях и не появится в n-м испытании -- вероятность этого события будет по той же независимости испытаний. Несовместимость событий приводит к соотношению:

.

Согласно же предположению о справедливости теоремы для схемы из n--1 испытаний,

,

.

Подставив эти выражения в предыдущее соотношение, получим

,

что и доказывает теорему.

Совокупность чисел р_п,т (т = 0, 1, ..., n) образует распределе ние вероятностей случайной величины X-- числа появлений события Е во всех n испытаниях схемы Бернулли. Распределение величины Xназывается биномиальным распределением. Основанием для такого названия служит доказанная теорема, т. е. тот факт, что для определения вероятности р_п,тнадо разложить бином (pt+q)ⁿ по степеням tи взять коэффициент приt^m.

Выше мы рассмотрим случай равновероятных событий, (случайная встреча мужчины или женщины равновероятны) т. е. когда a=b=0,5. Но при проведении биометрических исследований так случается далеко не всегда. Поэтому надо сделать анализ и других вариантов. При биномиальном распределении (a + b)^k, (здесь aи b вероятности проявления (непроявления) некоторого события или признака, k - число классов) возможны различные значения a и b, например: a = 0,6 и b = 0,4 или a = 0,2 и b = 0,8 и т.д. При этом меняется и форма полигона распределения. По мере увеличения различий между a и b полигон становится все более скошенным, асимметричным. Однако по мере увеличения N даже при значительном различии между a и b степень симметрии полигона вновь усиливается.

Как и для других распределений, параметрами для биномиального распределения являются средняя арифметическая () и среднее квадратическое отклонение (), которые можно определить с помощью приведенных выше формул (глава 4) для любого конкретного эмпирического ряда.

Теоретически их значения определяются значениями вероятностей a и b, а также значением , т.е. числа независимых событий, распределение которых изучается.

Средняя арифметическая при биномиальном распределении

= k*a (7.6)

и среднее квадратическое отклонение

= , где (7.7)



k - показатель степени бинома; k = N-1.

Эти формулы дают возможность связать определенные и , вычисленные на основе данного конкретного материала, с вероятностями a и b.Сказанное поясним примером.

Пусть на некотором участке был посеян дуб в площадки по 4 шт. (желудя) на площадке. Через 5 лет провели учет выживших сеянцев. Для этого подсчитали количество деревьев на каждой площадке, а всего в учет включили 100 площадок. Результаты показаны в таблице 7.2.

Таблица 7.2 - Распределение сохранившихся сеянцев дуба на 100 площадках

Количество сохранившихся экземпляров дуба, xi	Число площадок с сеянцами, ni	хi*ni
0	7	0	0
1	24	24	24
2	37	74	148
3	26	78	234
4	6	24	96
ИТОГО (У)	100	200	502

Вычислим и по обычной методике (формулы 4.1 и 5.2)

.

Поскольку у нас сохранилось 200 сеянцев из 400, то вероятность учета сохранившихся и отпавших экземпляров одинакова, т. е. 20/400=0,5, т. е. a=b=0,5. Вычислим и по формулам (7.6) и (7.7), где k=4.



; .

Величины и , вычисленных разными способами, почти одинаковы, но полного совпадения нет. Это произошло потому, что ряд в эксперименте (таблица 7.2) несколько скошен. Если его выровнять и получить теоретические величины, то при наличии строго биномиального распределения значения и , вычисленные разными способами, совпадут. Поскольку при проведении исследований никогда нет уверенности, что экспериментальное распределение строго соответствует теоретическому, то надежнее вычислить и непосредственным способом, т. е. по схеме, представленной в таблице 7.2 и в формулах (4.1) и (5.2).

В приведенном примере исходим из того, что a = b = 0,5, т. е. они будут точно установленные теоретические вероятности. Но возможны и другие значения вероятностей a и b. Приведем пример, описанный известным белорусским ученым в области биометрии П.Ф. Рокицким.

Так, например, было получено следующее фактическое распределение самок в 103 пометах с 4 мышками в каждом помете (таблица 7.3).

Таблица 7.3 - Распределение самок в помете мышей

Количество самок	0	1	2	3	4
Число пометов	8	32	34	24	5

Тогда = =1,864.

Но так как = kp, а k = 4, то р = 1,864 / 4 = 0,47.

Это вероятность появления самок. Вероятность же появления самцов q=0,53.

Исходя из формулы ²= kpq, можно вычислить

²= 4 . 0,47 . 0,53 = 1,0.

Так как данный ряд является рядом разложения бинома (0,54+0,47)⁴ при n=103, то легко вычислить, сколько особей следует ожидать в каждом классе. Получатся следующие цифры для частот каждого класса (таблица 7.4).

Таблица 7.4 - Ожидаемое число самок в помете мышей

Количество самок	0	1	2	3	4
Ожидаемое число пометов	8	29	38	23	5

Уже на глаз видно большое совпадение фактически полученных величин с ожидаемыми.

В общем виде биномиальное распределение описывается формулой Бернулли. Ее доказательство приведено выше, а саму формулу повторим еще раз.

Р_m,n = (7.4)

Здесь Р - вероятность наступления события при проведении n независимых испытаний; m - число наступивших событий; - число сочетаний из n элементов по m.

Формула Бернулли имеет очень важное значение в теории вероятностей, так как она связана с повторением испытаний в одинаковых условиях, где как раз и проявляются законы теории вероятностей.

Обобщая изложенное, приходим к следующему выводу. Альтернативные (т.е. противоположные), дискретно варьирующие признаки распределяются так, что вероятные численности их появления могут быть найдены по формуле бинома Ньютона.



N(a+b) ⁿ = N (aⁿ + na ^n-1b+ ,(7.5)

где n - число независимых исходов в одном испытании;

a - вероятность благоприятного исхода одного случая;

b - вероятность неблагоприятного исхода;

N - общее число испытаний (исходов);

Так, при n=5 возможны 2⁵=32 исхода. При равной вероятности альтернатив, т.е. a=b=0,5 по формуле (7.5) получим следующие числовые величины

Откладывая значения числа благоприятных исходов “m” по оси абсцисс, а по оси ординат вероятные численности “n”, получим многоугольник численностей распределения. Ломаная линия, соединяющая точки на графике, называется кривой распределения.

Как сказано выше, вероятность события у, которое проявляется “m“ раз в “n” независимых испытаниях описывается формулой Бернулли. Биномиальное распределение определяется двумя параметрами: средней величиной =N*a и дисперсией ²=nab или среднеквадратическим отклонением =. У нас ; ²=5 0,5 0,5=1,25.

3. Распределение Пуассона как частный случай биномиального распределения

В лесохозяйственной науке и практике часто встречаются случаи, когда из двух (или более) наблюдаемых явлений одно встречается редко. Например, естественное возобновление на лесосеке, где вырубленный древостой имеет состав 6Б3Оc1С (60% березы, 30% осины и 10% сосны), идет в основном за счет самосева: семенного для С, Б, Ос и одновременно порослевого у березы и осины. Деревца сосны здесь редки, а к 4-5 годам, если не вести ухода, их практически полностью заглушат береза и осина. Поэтому вероятность встретить через 6-7 лет на такой лесосеке деревья сосны мала.

В условиях радиоактивного загрязнения больших территорий после Чернобыльской катастрофы увеличилось количество разного рода мутаций среди молодых деревьев. Эти мутации выражаются в изменении формы хвои, искривления побегов и т. д. Но их частота (во всех зонах радиоактивного загрязнения в пределах Чернобыльского следа) хотя и зависит от уровня радиоактивности, но по абсолютному значению мала и относится к редким явлениям.

Подобные примеры редких явлений часто встречаются в физике, биологии и других науках. Для описания названных и других подобных распределений обычно применяют распределение Пуассона.

Распределение Пуассона. Распределение Пуассона, или пуассоново распределение, подобно биномиальному, относится к дискретной или прерывистой изменчивости. Оно имеет самостоятельное значение, хотя его можно рассматривать и как предельный случай биномиального. При биномиальном распределении значения a и b могут быть близки друг к другу, при пуассоновом же a очень мало, т.е. события осуществляются очень редко, а b приближается к единице.

Распределение отдельных редких наблюдений является при этом чаще всего асимметричным, но симметрия возрастает с увеличением .

При увеличении a распределение приближается к биномиальному. Пуассоново распределение характеризуется в сущности только одним параметром - средней арифметической , так как ² в этом случае обычно равна или близка ей по значению. Именно по этому равенству и ² легче всего определить, что данное распределение является пуассоновым.

Средняя арифметическая для пуассонова распределения равна na, где a - вероятность обнаружения данного признака, а n - количество фактически проведенных наблюдений. Вспомним, что величина a может быть очень малой.

= = na = ² (7.6)

В формуле (7.6) среднее значение показано как и , так как большинство исследователей и авторов учебников в распределении Пуассона обозначают как .

Частоты распределения Пуассона представляют собой следующий ряд:

(нулевой член); и т.д. (7.7)

Здесь n - общее число вариант, е - основание натуральных логарифмов (2,71828…) и - средняя арифметическая.

Конкретные пуассоновы ряды являются конечными в силу ограниченности количества наблюдений. Но теоретически они могут продолжаться до бесконечности.

Таким образом, в общем виде распределение Пуассона описывается формулой:

(7.8)



где ; .

Так как числитель первой дроби имеет m сомножителей, а в знаменателе стоит n^mкаждый из сомножителей можно разделить на n. Получим:

(7.9)

При предел любой дроби есть 1, а предел ^n-m = =.

При этих условиях

. (7.10)

Выражение (7.10) называется функцией распределения вероятностей в распределении Пуассона. В этом выражении m - частота ожидаемого события в n испытаниях, e=2,7183; параметр соответствует математическому ожиданию или наивероятнейшей частоте события, т. е. м, а также дисперсии у². Доказательство этого равенства здесь опускаем. Оно содержится во многих книгах по статистике.

4. Вычисление выравнивающих частот биномиального и пуассоновского распределений

Вычисления выравнивающих (теоретических) частот биномиального распределения проводят следующим образом.

- находят величинуk, т. е. степень бинома: k=N-1.

- проводят разложение бинома по формуле Ньютона (формула 7.2). Здесь удобнее воспользоваться вышеприведенным треугольником Паскаля.

- по разложению бинома Ньютона вычисляем (i) вероятности для каждого значения x_i: i=N*a*b, где N-объем ряда распределения ().

- численности (с_i) находим, умножая найденные вероятности для каждого x_iна N, т. е. с = ?x_i*n_i*a*b.

Рассмотрим вычисление выравнивающих частот на примере (таблица 7.3), взяв исходные данные из таблицы 7.2.

Таблица 7.3 - Вычисление выравнивающих частот биноминального распределения для сохранившихся 5-летних экземпляров в посеве дуба

Количество сохранившихся экземпляров дуба, xi	Число площадок с сеянцами в эксперименте, ni	Вероятности a*b*k	с =Уni*a*b	Xi*
			без округления	с округлением
0	7	0.0625	6,25	6	0	0
1	24	0.25	25,0	25	25	25
2	37	0.375	37,5	38	35	152
3	26	0.25	25,0	25	75	225
4	6	0.0625	6,25	6	24	96
У	100	1.0	100	100	200	498

Разложение описывается следующим уравнением:

(7.17)

Численности (с_i) будут равны произведению вероятностей из (7.17) на N(?с_i). Из таблицы 7.3 видим, что

;

По формулам (7.6) и (7.7)

;

Приведенные расчеты показывают правомерность использования биноминального распределения.

Для вычисления выравнивающих частот распределения Пуассона используют его свойства, т.е.

.

Учитывая, что это распределение редких событий по схеме Бернулли (вероятность 0,1) т. е. это вероятность того, что событие наступит 0,1,…,k раз в серии из Nиспытаний. При вероятность , то , т.е. единственному параметру л распределения Пуассона. Это дает возможность вычислять вероятность p_mраспределения Пуассона по составленной таблице значений функции

при разных значениях л, которая приведена в приложении В. Эта таблица дана для значений л от 0 до 20.

Для больших величин л соответствующая таблица приведена в книге А.К. Митропольского В силу того, что в лесном хозяйстве большие величины л встречаются редко, мы эту таблицу опускаем.

Приведем пример вычисления выравнивающих частот при распределении Пуассона, который описан К. Е. Никитиным и А. З. Швиденко (таблица 7.4).

Вычислим выравнивающие частоты для ряда распределения числа деревьев на пробных площадях размером 0,002 га. Статистики для этого ряда , что предполагает близость эмпирического распределения закону Пуассона. Такой же вывод следует и из логики рассматриваемого явления. Для вычисления выравнивающих частот вероятности f(k), полученные по формуле

, (7.18)

следует умножить на объем ряда распределения п=224. В (7.18) положим а=1,508. Заметим, что 0!=1, а lgk! вычисляют непосредственно или по таблицам логарифмов факториалов. Для вычисления по схеме таблицы 7.4 формулу (7.18) предварительно логарифмируют, т.е. lgf(k)=klga - alge - lgk! = 0,0178k - 0,6549 - lgk!. В целом модель хорошо отражает эмпирический ряд.

Следующие вычисления численностей по распределению Пуассона покажем на примере учета всходов сосны на вырубке. Для этого заложили учетные площадки площадью по 10 м² ().

Таблица 7.4 - схема вычисления выравнивающих частот распределения Пуассона (на примере ряда распределения числа деревьев на пробных площадях)

ki	ni	0,178 ki	ki!	-lg ki!	lg f(k)= -0,6549 + (3)+(5)	f(k)	сi
1	2	3	4	5	6	7	8
0	50	0	1	0	,345	0,221	50
1	74	0,1780	1	0	,523	0,333	75
2	57	0,3562	2	-0,3010	,400	0,251	56
3	27	0,5343	6	-0,7782	,101	0,126	28
4	12	0,7123	24	-1,3802	,577	0,048	11
5	3	0,8905	120	-2,0792	,156	0,014	3
6	1	1,0686	720	-2,8573	,557	0,004	1
?	224	-	-	-	-	-	224



Всего заложено 8 площадок. Результаты расчетов показаны в таблице 7.5. При этом для расчетов использованы следующие формулы.

, где

- среднее значение;

N - объем ряда распределения;

m - варианты;

e - 2,71

Таблица 7. 5 - Вычисление выравнивающих частот по кривой Пуассона

m	ni	mni	y(m)	без округ.	округ.	ni %	%
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	549	0	0,3329	384	385	47,5	33,3	1,1	1,21	664,2	465,9
1	271	271	0,3662	422,96	423	23,5	36,6	0,1	0,01	2,7	4,2
2	137	274	0,2014	232,62	233	11,9	20,2	-0,9	0,81	111,0	188,7
3	110	330	0,0738	85,24	25	9,5	7,4	-1,9	3,61	397,1	306,8
4	56	224	0,0203	23,45	23	4,8	2,0	-2,4	8,41	470,0	193,5
5	22	110	0,0045	5,20	5	1,9	0,4	-3,9	15,27	335,9	76,4
6	9	54	0,0008	0,92	1	0,8	0,1	-4,9	24,01	216,1	24,0
7	1	7	0,0001	0,11	0	0,1	0	-5,9	34,81	34,8	0
У	1155	1270	1,0000	1158	1155	100,0	100	-	88,14	2231,8	1259,6

Значения функции Пуассона со средним значением ( или ) и показателем степени m, как показано выше, выписывается из специальной таблицы (приложение В).

Графы 9-12 введены в таблице 7.5 для вычисления у. Ее близость к показывает, что распределение описывается уравнением Пуассона. Тогда для эмпирического распределения

Для теоретического распределения

Близость у₁ и у₂ к показывает правомерность использования для выравнивания распределения Пуассона.

Для практических расчетов, когда находят теоретические ординаты распределения, т. е. численности распределения случайного события X, выражение (7.10) умножают на N - общее число наблюдений, вместо n_i принимают экспериментальное среднее число наблюдаемых случаев. Формула для n будет:

Распределение Пуассона с возрастанием средней л приближается к биномиальному.

Распределение Пуассона описывает многие явления в технике и биологии. В технике оно находит широкое применение при контроле качества продукции, для аппроксимации распределения дефектных изделий. В лесном хозяйстве его применяют как модель распределения числа примесей в пробных навесках при анализе семян, допустим, сосны, при рассмотрении плодов, скажем, желудей, поврежденных вредителем. Им же описывают распределение численности возобновления, когда размер элементарных учетных площадок очень мал или условия заселения площади неблагоприятны, так что вероятность благоприятного исхода pмала.

В лесном хозяйстве к распределению Пуассона прибегают, когда исследуют мутации при проведении генетико-селекционных исследований, при анализе появления альбиносов среди лесных зверей и птиц, для оценки выживаемости самосева сосны под пологом леса и т.д., при анализе других редких событий.

Размещено на Allbest.ru

...