Построение вариационных рядов в статистическом анализе. Расчет числовых характеристик

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тюменский индустриальный университет

Построение вариационных рядов в статистическом анализе. Расчет числовых характеристик

Тюмень 2017



Цель: овладение способами построения рядов распределения и методами расчета числовых характеристик.

Задача. Имеются данные о производительности труда (количество деталей в смену):

Таблица 1

73	77	78	88	76	78	86	76	77	75	90	89	84
79	87	83	78	73	84	86	85	74	78	74	87	82
88	86	75	79	71	88	83	76	76	80	73	89	79
90	75	75	91	83	82	81	77	91	93	92	85	84
87	81	83	80	82	76	81	90	78	91	95	77

Содержание работы: на основе совокупности данных опыта выполнить следующее:

1. Построить ряды распределения (интервальный и дискретный вариационные ряды). Изобразить их графики.

2. Построить график накопительных частот -- кумуляту.

3. Составить эмпирическую функцию распределения и изобразить ее графически.

4. Вычислить моду, медиану, выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс.

5. Построить доверительные интервалы для истинного значения измеряемой величины и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

6. Раскрыть смысловую сторону каждой характеристики.

Выполнение работы

Обозначим через Х количество деталей.

1.1 По данным выборки строим интервальный вариационный ряд.

а) Поскольку, как легко определить:



x_max = 95,0

x_min = 71,0

то размах варьирования признака Х равен R = x_max - x_min , где x_min -- наименьшая, x_max -- наибольшая варианты в данной выборочной совокупности;

R = 95,0 ? 71,0 = 24,0

б) Определяя число k интервалов (число столбцов в таблице) вариационного ряда, положим: k = 10

в) Длина h каждого частичного интервала равна . Так как исходные данные мало отличаются друг от друга, то величину h округляем:

h = 24,0 / 10 = 2,4 ? 2,40

г) Подсчитываем число вариант, попадающих в каждый интервал, по данным выборки. Значение x_i, попадающее на границу интервала, относим к левому концу. За начало x₀ первого интервала берем величину

x₀ = x_min ? 0,5h.

Конец x_k последнего интервала находим по формуле

x_k = x_max + 0,5h.

x₀ = 71,0 ? 0,5 • 2,40 = 69,8 ? 70

x_k = 95,0 + 0,5 • 2,40 = 96,2 ? 96



Сформированный интервальный вариационный ряд записываем в виде таблицы 2.

Таблица 2

Варианты-интервалы	72,4	74,8	77,2	79,6	82,0	84,4	86,8	89,2	91,6	96,0
	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
	70,0	72,4	74,8	77,2	79,6	82,0	84,4	86,8	89,2	91,6
Частоты, ni	1	5	13	8	5	10	5	8	6	3

Контроль сумма частот и объем выборки:

? n_i = 64

n = 64

1.2 Записываем дискретный вариационный ряд (табл. 3). В качестве вариант x_i берем середины интервалов интервального вариационного ряда.

Таблица 3

варианты, xi	71,20	73,60	76,00	78,40	80,80	83,20	85,60	88,00	90,40	93,80
частоты, ni	1	5	13	8	5	10	5	8	6	3

1.3. Изображаем интервальный и дискретный вариационные ряды графически, построив гистограмму и полигон частот в одной системе координат (рис. 1).

статистический вариационный распределение

Рис. 1. Гистограмма и полигон.

2. Строим график накопленных частот -- кумуляту (рис. 2). Предварительно составляем расчетную табл. 4.

Таблица 4

варианты, xi	71,2	73,6	76,0	78,4	80,8	83,2	85,6	88,0	90,4	93,8
относительные частоты, wi = ni / n	0,02	0,08	0,20	0,13	0,08	0,16	0,08	0,13	0,09	0,05
Накопительные относительные частоты, Wi = Wi - 1+wi	0,02	0,09	0,30	0,42	0,50	0,66	0,73	0,86	0,95	1,00

Рис. 2. Кумулятивная кривая.

3. Находим эмпирическую функцию распределения. Воспользуемся формулой:

F_в (x) =

где n -- объем выборки, n_x -- число вариант , меньших х.

Если х ? 71,20 то F_в (x) = 0

Если 71,20 < x ? 73,60 то F_в (x) = 1 / 64 = 0,02

Если 73,60 < x ? 76,00 то F_в (x) = 5 + 1 / 64 = 0,09

Если 76,00 < x ? 78,40 то F_в (x) = 13 + 6 / 64 = 0,30

Если 78,40 < x ? 80,80 то F_в (x) = 8 + 19 / 64 = 0,42

Если 80,80 < x ? 83,20 то F_в (x) = 5 + 27 / 64 = 0,50

Если 83,20 < x ? 85,60 то F_в (x) = 10 + 32 / 64 = 0,66

Если 85,60 < x ? 88,00 то F_в (x) = 5 + 42 / 64 = 0,73

Если 88,00 < x ? 90,40 то F_в (x) = 8 + 47 / 64 = 0,86

Если 90,40 < x ? 93,80 то F_в (x) = 6 + 55 / 64 = 0,95

Если х > 93,80 то F_в (x) = 3 + 61 / 64 = 1,00

Записываем полученную эмпирическую функцию в виде:

F_в (x) = 0 , x ? ( ? ? ; 71,20 ]

F_в (x) = 0,02 , x ? ( 71,20 ; 73,60 ]

F_в (x) = 0,09 , x ? ( 73,60 ; 76,00 ]

F_в (x) = 0,30 , x ? ( 76,00 ; 78,40 ]

F_в (x) = 0,42 , x ? ( 78,40 ; 80,80 ]

F_в (x) = 0,50 , x ? ( 80,80 ; 83,20 ]

F_в (x) = 0,66 , x ? ( 83,20 ; 85,60 ]

F_в (x) = 0,73 , x ? ( 85,60 ; 88,00 ]

F_в (x) = 0,86 , x ? ( 88,00 ; 90,40 ]

F_в (x) = 0,95 , x ? ( 90,40 ; 93,80 ]

F_в (x) = 1,00 , x ? ( 93,80 ; + ?).

График функции F_в (x) представлен на рис.3.

Рис. 3. Кумулята и эмпирическая функция распределения.

Соединив середины вертикальных частей ступенчатой кусочно-постоянной кривой, являющейся графиком функции F_в (x), получаем плавную кривую (на рис. 3 это штриховая линия). Абсциссами точек этой кривой служат значения количества деталей, а ординатами -- значения эмпирической функции распределения, характеризующей оценку вероятности события, т.е. вероятности попадания возможных значений количества деталей на промежуток .

Для нахождения числовых характеристик признака Х -- количество деталей (несмещенных оценок для , , а также , , , ) воспользуемся табл. 3.

4.1. Так как варианта x в табл. 3 встречается с наибольшей частотой n, следовательно:

n = 13

x = 76,00

M_o X = 76,00

то это значение количества деталей, встречающееся в данной выборке с наибольшей частотой.

Находим воспользуемся табл. 3 при четном объеме выборки (четном числе столбцов в дискретном вариационном ряде) медиана находится по формуле:

M_e X = 77,20

Это значение количества деталей, которое делит данные выборки признака Х на равные части.

4.2. Для нахождения остальных статистик, характеризующих количество деталей, воспользуемся методом произведений. Введем условные варианты

; , .

Составим расчетную таблицу 5.

Таблица 5

xi	ni	ui	niui	niui2	niui3	niui4	Контрольный столбец ni(ui+1)2
71,20	1	-2	-2	4	-8	16	1
73,60	5	-1	-5	5	-5	5	0
76,00	13	0	0	0	0	0	13
78,40	8	1	8	8	8	8	32
80,80	5	2	10	20	40	80	45
83,20	10	3	30	90	270	810	160
85,60	5	4	20	80	320	1280	125
88,00	8	5	40	200	1000	5000	288
90,40	6	6	36	216	1296	7776	294
93,80	3	7	22	165	1224	9077	213
	64		159	788	4145	24052	1171

Контроль вычислений проводим по формуле:

,

64 + 2 • 159 + 788 = 1170,52

1 + 0 + 13 + 32 + 45 + 160 + 125 + 288 + 294 + 213 = 1171

?n_i+2?n_iu_i+?n_iu_i²= 1171

? n_i (u_i+1)² = 1171

Следовательно, вычисления проведены верно.

4.3. Пользуясь результатами последней строки табл. 5, находим условные начальные моменты:

, , ,

M^*₁ = 1 • 159 / 64 = 2,48828

M^*₂ = 1 • 788 / 64 = 12,3128

M^*₃ = 1 • 4145 / 64 = 64,7641

M^*₄ = 1 • 24052 / 64 = 375,817

4.4. Находим выборочную среднюю:

,

2,48828 • 2,40 + 76,00 = 81,972 ? 81,97

которая характеризует среднюю количества деталей в данной выборке.

4.5. Находим выборочную дисперсию:

S ² = ( 12,3128 ? 2,48828 ² ) • 2,40 ² = 35,25858

4.6. Вычисляем выборочное среднее квадратичное отклонение:

,

S = v S ² = v 35,2586 = 5,93789

4.7. Величина S характеризует степень рассеяния значений количества деталей. Для определения колеблемости значений количества деталей в процентном отношении вычисляем коэффициент вариации:

V = 5,93789 / 81,97 • 100 % = 7,244 %

Величина коэффициента вариации мала, что означает тесную сгруппированность значений количества деталей около центра рассеяния, т.е. около средней количества деталей.

4.8. Для предварительной оценки отклонения значений количества деталей от нормального распределения вычисляем асимметрию и эксцесс. Сначала находим центральные моменты третьего и четвертого порядков:

,

m₃ = ( 64,7641 ? 3 • 12,3128 • 2,48828 + 2 • 2,48828 ³ ) • 2,40 ³ = 50,64309

m₄ = ( 375,817 ? 4 • 64,7641 • 2,48828 + 6 • 12,3128 • 2,48828 ² ? 3 • 2,48828 ⁴ ) • 2,40 ⁴ = 2442,47808

4.9. Вычисляем асимметрию и эксцесс находим по формулам:

, .

A_s = 50,64 / 5,93789 ³ = 0,242

E_x = ( 2442,48 / 5,938 ⁴ ) ? 3 = -1,035

Значения и мало отличаются от нуля. Поэтому можно предположить близость данной выборки, характеризующей количество деталей, к нормальному распределению.

5. Произведем оценку генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения по выборочным статистикам и , используя теорию доверительных интервалов для нормального распределения.

Доверительный интервал для истинного значения количества деталей с надежностью находим, согласно выражения:

.

Согласно приложению 3, находим при и известном количестве

n -- объем выборки. t_{г =} 2,001

Записываем доверительный интервал:

81,97 ? 5,93789 / v 64 • 2,001 < a < 81,97 + 5,93789 / v 64 • 2,001

80,4867 < a < 83,4571

Таким образом, средняя количества деталей по данным выборки должна находиться в промежутке:(80,4867 ; 83,4571)

Запишем доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения . При заданных и по таблице приложения 4 находим q = 0,188

Так как , то доверительный интервал записываем в виде:

5,93789 • ( 1 ? 0,188 ) < у < 5,93789 • ( 1 + 0,188 )

4,82 < у < 7,05

следовательно, отклонения истинных значений количества деталей не должны выходить за пределы промежутка (4,82 ; 7,05)

Размещено на Allbest.ru

...