Исследование применения одноточечного кроссовера при решении неоднородной минимаксной задачи
Рассмотрение основных проблем решения минимаксной задачи, характерной для теории расписаний. Анализ схемы функционирования модифицированной модели Голдберга. Особенности применения одноточечного кроссовера при решении неоднородной минимаксной задачи.
Рубрика | Математика |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 03.04.2018 |
Размер файла | 556,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Исследование применения одноточечного кроссовера при решении неоднородной минимаксной задачи
В статье рассматривается проблема решения минимаксной задачи, характерной для теории расписаний. В качестве возможного метода решения данной задачи рассматривается модифицированная модель Голдберга, являющаяся одной из разновидностей генетических алгоритмов. Описывается сравнение эффективности работы данной модели на основе оценки точности полученных результатов при использовании стандартного кроссовера, для различных видов мутаций и параметров генетического алгоритма.
Ключевые слова: одноточечный кроссовер, генетический алгоритм, модифицированная модель Голдберга, мутация, минимаксная задача, теория расписаний, элитная особь, особь, поколение.
При решении ряда определенных задач существенное влияние создает порядок, в котором функциональные операторы выполняются. Решением такого рода экстремальных задач комбинаторного типа занимается теория расписаний. В рамках теории расписаний исследуются методы, позволяющие упорядочить или другими словами определить последовательность выполнения совокупности работ таким образом, чтобы время выполнения задачи в целом было минимальным. Задача получения оптимального упорядочивания работ относится к NP-полным задачам, трудоемкость решения которой определяется как , где - временная асимптотическая сложность алгоритма, а - целое число больше единицы. Практическая актуальность решения таких задач определяется возможностью экономии машинного времени.
В терминах теории расписаний распределительная задача может быть сформулирована следующим образом. Имеется система обслуживания, состоящая из независимых устройств . На обслуживание поступает конечный поток - множество независимых параллельных заданий (функциональных операторов) . - длительность обслуживания задания устройством , определяется матрицей . Приборы в общем случае не идентичны, задание может быть обслужено любым из устройств, и устройство может обрабатывать одновременно не более одного задания. Необходимо определить такое распределение заданий по устройствам без прерываний, чтобы время выполнения всей совокупности заданий было минимальным. Критерий минимизации времени завершения обслуживания заданий, является минимаксным критерием и определяется в следующем виде: , где - время завершения работы процессора [1, 4].
Для решения поставленной задачи используются различные алгоритмы, позволяющие получить точное или приближенное решение. В данной работе в качестве базового алгоритма для решения неоднородной минимаксной задачи возьмем модифицированную модель Голдберга [2, 3], являющеюся одним из видов моделей генетических алгоритмов (далее ГА). Модифицированная модель Голдберга отличается от классической модели Холланда [5, 6, 7], тем, что использует турнирный отбор особей в новое поколение, который позволяет улучшить результаты работы алгоритма с различными модификациями мутации при одноточечном кроссовере.
Модифицированную модель Голдберга можно описать в виде последовательности следующих шагов:
Шаг 1. Формируется начальное поколение, состоящее из заданного числа особей.
Шаг 2. Турнирный отбор особей и применение ГА операторов кроссовера и мутации с заданной вероятностью для создания нового поколения.
Шаг 3. Проверка условия конца работы алгоритма, которая обычно заключается в неизменности лучшего решения в течение заданного числа поколений. Если проверка прошла неуспешно, то переход на шаг 2.
Шаг 4. Лучшая особь выбирается как найденное решение [8,9,10].
Графически функционирование модифицированной модели Годберга можно изобразить на рис.1. Лучшая особь выбирается и ставится в следующее поколение. Процесс повторяется до тех пор, пока лучшая особь в поколении не повторится заданное разработчиком количество раз.
Рис. 1. Схема функционирования модифицированной модели Голдберга.
В данной работе для исследования рассматривается классический одноточечный кроссовер, изображенный на рис.2.
Рис. 2. Классический одноточечный кроссовер
В работе [3, 9, 10] были исследованы различные модификации мутаций, из всего спектра которых были выбраны для исследований следующие:
1. Простая мутация. Для выбранной особи A случайно выбирается номер задачи i. Генерируется случайное число z в диапазоне от 1 до количества возможных устройств. Проверяется, что полученное число z не совпадает со значением A[i], если совпадает, то z генерируется заново, иначе A[i] присваивается значение z. Пример простой мутации изображен на рис.3.
Рис. 3 Пример простой мутации
2. Простая мутация с возможным повтором. Аналогична простой мутации, но отличается тем что в данной мутации отсутствует проверка совпадения значения z со значением A[i].
3. Раздельная двухбитная мутация. Выбранной особи A случайно выбирается номер задачи i. Значение A[i] рассматривается как массив из 8 бит. Случайно выбираются два бита значения которых инвертируется. В результате получается новое значение A[i]. Проверка того, на каком устройстве должна исполняться задача A[i], выполняется следующим образом: диапазон значений 0.255 разбивается на равные интервалы, количество которых равно количеству устройств; порядковый номер интервала соответствует номеру устройства; проверяется какому интервалу принадлежит значение A[i]. Пример двухбитной мутации изображен на рис.4.
Рис. 4 Пример раздельной двухбитной мутации
В данной работе рассмотрим зависимость того как влияет вероятность кроссовера (важнейший параметр генетического алгоритма) на точность решения неоднородной минимаксной задачи.
В связи с тем, что аналитически решить эту задачу крайне проблематично, если вообще возможно, в рамках исследования алгоритмов были поставлены вычислительные эксперименты, позволяющие собрать статистику решений алгоритмами.
Для проведения вычислительного эксперимента было написано программное средство на современном языке программирования C# в среде разработки Microsoft Visual Studio 2017.
Данное программное средство позволяет автоматизировать процесс получения сравнительных характеристик результатов работы генетического алгоритма при различных параметрах.
При проведении вычислительного эксперимента был использован персональный компьютер под управлением Windows 10 Pro x64. В качестве аппаратного обеспечения использовался компьютер со следующей конфигурацией: четырех ядерный процессор Intel Core i7-7700k, 16 гигабайт оперативной памяти формата DDR4. Данная аппаратная система была выбрана в связи с тем, что процессор поддерживает одновременно 8 потоков обработки данных и в связи с этим появляется возможность проводить параллельные вычисления для задач больших размерностей.
Во время проведения вычислительного эксперимента рассматривалась задача со следующими параметрами: 3 устройства, 101 задача, вероятность мутации 100%, количество экспериментов 50. Эксперименты проводились в двух вариантах, при использовании одной элитной особи и без нее. Решение данной задачи стандартными методами является чрезвычайно времязатратным.
Оценивались такие параметры как среднее и минимальное значения, полученные в ходе эксперимента.
Результаты эксперимента при 500 особях и 500 повторах приведены в таблице №1.
Таблица 1. Сравнение полученных результатов при 500 особях и 500 повторов
Кол. повторов - 500 Кол. особей - 500 |
Вероятность кроссовера, % |
Простая мутация |
Простая мутация с возмож. повтором |
Раздельная двухбитная мутация |
||||
Мин. |
Ср. |
Мин. |
Ср. |
Мин. |
Ср. |
|||
Без элиты |
0 |
982 |
991,54 |
983 |
990,94 |
979 |
991,18 |
|
С элитой |
0 |
980 |
991,46 |
975 |
992,28 |
983 |
991,96 |
|
Без элиты |
25 |
929 |
936,2 |
931 |
941,4 |
930 |
939,9 |
|
С элитой |
25 |
928 |
935,78 |
933 |
941,48 |
929 |
940,56 |
|
Без элиты |
50 |
927 |
935,9 |
932 |
940,88 |
925 |
939,46 |
|
С элитой |
50 |
927 |
935,84 |
931 |
940,42 |
930 |
941,24 |
|
Без элиты |
75 |
929 |
937,66 |
931 |
940,36 |
929 |
940,16 |
|
С элитой |
75 |
928 |
935,52 |
930 |
940,3 |
929 |
939,88 |
|
Без элиты |
100 |
925 |
935,56 |
932 |
939,54 |
929 |
941,16 |
|
С элитой |
100 |
930 |
935,56 |
931 |
940,58 |
933 |
940,82 |
Результаты эксперимента при 1000 особях и 1000 повторах приведены в таблице №2.
Таблица 2. Сравнение полученных результатов при 1000 особях и 1000 повторов
Кол. повторов 1000 Кол. особей 1000 |
Вероятность кроссовера, % |
Простая мутация |
Простая мутация с возможным повтором |
Раздельная двухбитная мутация |
||||
Мин. |
Ср. |
Мин. |
Ср. |
Мин. |
Ср. |
|||
Без элиты |
0 |
983 |
988,96 |
981 |
989,52 |
980 |
988,9 |
|
С элитой |
0 |
984 |
989,92 |
978 |
989,76 |
982 |
989,46 |
|
Без элиты |
25 |
925 |
929,88 |
928 |
934,84 |
925 |
931,74 |
|
С элитой |
25 |
924 |
929,7 |
928 |
934,74 |
926 |
932,02 |
|
Без элиты |
50 |
926 |
930,3 |
926 |
933,02 |
927 |
933,04 |
|
С элитой |
50 |
923 |
929,52 |
927 |
932,92 |
926 |
932,12 |
|
Без элиты |
75 |
924 |
929,08 |
926 |
933,82 |
926 |
932,28 |
|
С элитой |
75 |
925 |
930,16 |
928 |
932,6 |
926 |
931,72 |
|
Без элиты |
100 |
924 |
929,38 |
928 |
932,96 |
926 |
932,04 |
|
С элитой |
100 |
924 |
929,16 |
927 |
933,22 |
925 |
931,74 |
Результаты эксперимента при 1500 особях и 1500 повторах приведены в таблице №3.
Таблица 3. Сравнение полученных результатов при 1500 особях и 1500 повторов
Кол. повторов - 1500 Кол. ос. 1500 |
Вероят. кроссовера, % |
Простая мутация |
Простая мутация с возможным повтором |
Раздельная двухбитная мутация |
||||
Мин. |
Ср. |
Мин. |
Ср. |
Мин. |
Ср. |
|||
Без элиты |
0 |
978 |
988,1 |
981 |
989,24 |
983 |
988,12 |
|
С элитой |
0 |
981 |
988,7 |
981 |
989,12 |
982 |
988,2 |
|
Без элиты |
25 |
922 |
926,74 |
927 |
931,08 |
924 |
929,2 |
|
С элитой |
25 |
923 |
926,34 |
927 |
931,62 |
923 |
929,12 |
|
Без элиты |
50 |
923 |
926,64 |
925 |
930,18 |
923 |
928,96 |
|
С элитой |
50 |
923 |
927,1 |
924 |
929,88 |
924 |
928,94 |
|
Без элиты |
75 |
923 |
926,38 |
924 |
929,44 |
924 |
929,18 |
|
С элитой |
75 |
923 |
926,64 |
926 |
930,16 |
924 |
929,12 |
|
Без элиты |
100 |
923 |
926,86 |
925 |
929,8 |
923 |
928,58 |
|
С элитой |
100 |
923 |
927,06 |
925 |
929,32 |
924 |
928,26 |
Таким образом, проанализировав результаты, приведенные в таблицах 1-3, можно сделать несколько выводов:
1) Чем выше вероятность кроссовера, тем более качественными поучаются как средние результаты, так и лучшие решения.
2) Базовые параметры генетического алгоритма (количество особей и количество повторов наилучшего решения) влияют на качество решения при использовании модифицированной модели Голдберга. Чем большие значения они принимают, тем более ближе к оптимуму получаются как средние результаты, так и лучшие решения.
3) При малых значениях кроссовера использование элитной особи дает положительный эффект, но при больших значениях кроссовера результаты практически одинаковы.
Литература
неоднородный минимаксный задача
1.Головкин Б.А. Расчет характеристик и планирование параллельных вычислительных процессов. Москва: Радио и связь, 1983. С. 216.
2.Кобак В.Г., Титов Д.В. Исследование турнирного отбора в генетическом алгоритме для решения однородной минимаксной задачи // Математические методы в технике и технологиях -- ММТТ -- 21: сб. трудов Междунар. науч. конф. -- Саратов. 2008. №.2. С. 12.
3.Кобак В.Г., Поркшеян В.М., Кузин А.П. Использование различных вариантов мутации при решении неоднородной минимаксной задачи модифицированной моделью Голдберга // Научно практический журнал «Аспирант». 2017. №10. С. 26-29.
4.Аль-Хулайди А.А., Чернышев Ю.О. Разработка параллельного алгоритма нахождения оптимального решения транспортной задачи на кластере // Инженерный вестник Дона. 2011. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2011/445/.
5.Нетёсов А.С. Эволюционно-генетический подход к решению задач оптимизации. Сравнительный анализ генетических алгоритмов с традиционными методами оптимизации // Инженерный вестник Дона. 2011. №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/459/.
6.Курейчик В. М., Кныш Д. С. Параллельный генетический алгоритм. Модели и проблемы построения // Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте: сб. науч. тр. V Междунар. науч.- практ. конф., Москва: Физматлит, 2009. С. 41-51.
7.Goldberg D. Genetic Algorithms In Search, Optimization, and Machine Learning. USA: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1989. pp. 28-33.
8.Affenzeller M., Wagner S., Winkler S., Beham A. Genetic Algorithms and Genetic Programming: Modern Concepts and Practical Applications. USA: CRC Press, 2009. P. 364.
9.Каширина И.Л. Введение в эволюционное моделирование. Воронеж, 2007. С. 40.
10.Панченко Т. В. Генетические алгоритмы. Астрахань: Астраханский университет, 2007. С. 87.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изучение численно-аналитического метода решения краевых задач математической физики на примере неоднородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Численная реализация вычислительного метода и вычислительного эксперимента, особенности их оформления.
практическая работа [332,7 K], добавлен 28.01.2014Составление платежной матрицы, поиск нижней и верхней чисты цены игры, максиминной и минимаксной стратегии игроков. Упрощение платежной матрицы. Решение матричной игры с помощью сведения к задаче линейного программирования и надстройки "Поиск решения".
контрольная работа [1010,3 K], добавлен 10.11.2014Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения.
практическая работа [55,0 K], добавлен 23.08.2015Ознакомление с основами метода Гаусса при решении систем линейных уравнений. Определение понятия ранга матрицы. Исследование систем линейных уравнений; особенности однородных систем. Рассмотрение примера решения данной задачи в матрической форме.
презентация [294,9 K], добавлен 14.11.2014Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Оптимальная настройка параметров "алгоритма отжига" при решении задачи коммивояжера. Влияние начальной температуры, числа поворотов при одной температуре и коэффициента N на результат. Сравнение и определение лучшей функции для расчётов задачи.
контрольная работа [329,9 K], добавлен 20.11.2011Общее понятие вектора и векторного пространства, их свойства и дополнительные структуры. Графический метод в решении задачи линейного программирования, его особенности и область применения. Примеры решения экономических задач графическим способом.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 14.11.2010Математическое моделирование и особенности задачи распределения. Обоснование и выбор метода решения. Ручное решение задачи (венгерский метод), а также с использованием компьютера. Формулировка полученного результата в сопоставлении с условием задачи.
курсовая работа [383,9 K], добавлен 26.05.2010Описание колебательных систем дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных, асимптотическое поведение их решений. Методика регулярных возмущений и особенности ее применения при решении задачи Коши для дифференциальных уравнений.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 15.06.2009Теоретические основы моделирования: понятие модели и моделирования. Моделирование в решении текстовых задач. Задачи на встречное движение двух тел. Задачи на движение двух тел в одном направлении и в противоположных направлениях. Графические изображения.
курсовая работа [98,9 K], добавлен 03.07.2008Изучение актуальной задачи математического моделирования в биологии. Исследование модифицированной модели Лотки-Вольтерра типа конкуренция хищника за жертву. Проведение линеаризации исходной системы. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.
контрольная работа [239,6 K], добавлен 20.04.2016Теория графов как математический аппарат для решения задач. Характеристика теории графов. Критерий существования обхода всех ребер графа без повторений, полученный Л. Эйлером при решении задачи о Кенигсбергских мостах. Алгоритм на графах Дейкстры.
контрольная работа [466,3 K], добавлен 11.03.2011Ознакомление с основными свойствами линейных дифференциальных уравнений первого, второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрение методов решения однородных и неоднородных уравнений и применения их при решении физических задач.
дипломная работа [181,3 K], добавлен 18.09.2011Знакомство со средством Microsoft Excel, внутренняя структура и элементы данной программы, ее функциональные особенности и возможности, особенности использования в решении математических задач. Основы теории вероятностей, ее принципы и главные задачи.
контрольная работа [1,5 M], добавлен 16.11.2013Применение метода инверсии при решении задач на построение в геометрии. Решение задачи Аполлония, лемма об антипараллельных прямых. Инвариантные окружности и сохранение углов при инверсии. Недостатки применения инверсии и работа инверсора Гарта.
дипломная работа [790,0 K], добавлен 30.09.2009Данный электронный учебник по математике предназначен для изучения темы "Использование неравенств при решении олимпиадных задач". Постановка и реализация задачи. Теоретические сведения по неравенствам Йенсена, Коши, Коши-Буняковского и Бернулли.
научная работа [124,1 K], добавлен 12.12.2009Структура текстовой задачи. Условия и требования задач и отношения между ними. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задач. Поиск и составление плана решения. Осуществление плана решения. Моделирование в процессе решения задачи.
презентация [247,7 K], добавлен 20.02.2015Сущность вероятностной задачи-схемы независимых испытаний швейцарского профессора математики Я. Бернулли. Пример решения задачи по формуле Бернулли. Применение методов теории вероятностей в различных отраслях естествознания, техники и прикладных науках.
презентация [301,3 K], добавлен 10.03.2011Рассмотрение эффективности применения методов штрафов, безусловной оптимизации, сопряженных направлений и наискорейшего градиентного спуска для решения задачи поиска экстремума (максимума) функции нескольких переменных при наличии ограничения равенства.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 16.08.2010Банаховы функциональные пространства. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина. Признаки существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.
курсовая работа [440,4 K], добавлен 27.05.2015