Приложения групп Ли к конструированию дивергентных форм уравнения Эйлера и моделированию в задачах ламинарного пограничного слоя

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

ПРИЛОЖЕНИЯ ГРУПП ЛИ К КОНСТРУИРОВАНИЮ ДИВЕРГЕНТНЫХ ФОРМ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И МОДЕЛИРОВАНИЮ В ЗАДАЧАХ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

НИКИФОРОВА Светлана Витальевна

Казань - 2007

Диссертация выполнена в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Гараев Кавас Гараевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Чугунов Владимир Аркадьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Кирпичников Александр Петрович

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

математики и механики им. Н.Г. Чеботарева (г. Казань)

Защита состоится «29» мая 2007 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете имени А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. Карла Маркса, 10, в зале заседаний Ученого совета КГТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГТУ им. А.Н.Туполева.

Автореферат разослан «____» апреля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук,

профессор П.Г. Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося норвежского математика XIX века Софуса Ли (1842-1899 г.г.) и служил главной составной частью его важнейшего творения - теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа - вопрос о разрешимости в квадратурах обыкновенных дифференциальных уравнений - была решена самим Ли, но не нашла практического применения.

Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, который в 1958 г. опубликовал работу, положившую начало систематическим исследованиям в области группового анализа дифференциальных уравнений механики. В основе этой теории лежит понятие непрерывной группы преобразований, введенное Софусом Ли. Теоретико-групповой подход создал возможность для регулярного поиска и классификации частных решений нелинейных дифференциальных уравнений и позволил построить отдельные классы точных решений дифференциальных уравнений механики и математической физики.

Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Это направление исследований получило название современного группового анализа.

Основной идеей группового анализа в области интегрирования дифференциальных уравнений является поиск так называемых непрерывных групп симметрии дифференциального уравнения, то есть непрерывных преобразований зависимых и независимых переменных, оставляющих уравнение инвариантным. Таким образом, инфинитезимальный аппарат Ли-Овсянникова является эффективным средством отыскания частных (инвариантных и частично инвариантных) решений уравнений математической физики.

Что же касается механики сплошных сред, то методы теории групп Ли оказались плодотворными для отыскания решений дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих различные процессы в аэрогазодинамике, теории упругости, теории относительности и в других естественнонаучных дисциплинах.

Одним из основных инструментов построения законов сохранения физических процессов, допускающих вариационную формулировку, является первая теорема Эмми Нетер, которая устанавливает связь между инвариантностью вариационного интеграла относительно конечномерной группы Ли и дивергентными формами уравнения Эйлера. Эта теорема дает достаточное условие существования законов сохранения для уравнений Эйлера. Н.Х. Ибрагимов дал новое доказательство этой теоремы для n-мерных интегралов на языке инфинитезимальных операторов Ли, что в сочетании с техникой группового анализа, развитого Л.В. Овсянниковым, дает возможность удобного способа построения законов сохранения. Используя понятие слабого лагранжиана, он также установил не только достаточные, но и необходимые условия существования законов сохранения уравнений Эйлера.

Актуальность диссертационной работы заключается в следующем. С вычислительной точки зрения знание дивергентных форм (в одномерном случае - первых интегралов) уравнения Эйлера упрощает процесс интегрирования уравнений математической физики.

Несмотря на широкое использование вычислительной техники к интегрированию краевых задач для уравнений пограничного слоя актуальным является получение формул для аэродинамических характеристик обтекаемого тела (касательного напряжения трения, локального теплового потока), удобных в применении в инженерной практике. Одним из путей достижения этой цели является построение автомодельных решений уравнений пограничного слоя, что и сделано в настоящей диссертационной работе с использованием современного группового анализа.

Цели работы.

ь Получение неклассических первых интегралов в простейшей задаче вариационного исчисления.

ь Конкретизация идей - инвариантности функционалов применительно к вариационным задачам с 2 и 3 независимыми переменными.

ь Получение новых автомодельных решений уравнений ламинарного пограничного слоя при сверхзвуковых режимах обтекания в плоском и осесимметричном случаях.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались: инфинитезимальный аппарат Ли-Овсянникова; теория инвариантных вариационных задач Э. Нётер; теория ламинарного пограничного слоя; методы вычислительной математики.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием известных математических моделей и корректным применением апробированных аналитических и численных методов.

Научная новизна. Впервые найдены неклассические первые интегралы уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного исчисления.

Дано приложение однопараметрической группы Ли к вариационной задаче с подвижным концом.

Построены новые автомодельные решения уравнений ламинарного пограничного слоя в задачах обтекания непроницаемого цилиндрического тела и тела вращения сверхзвуковым потоком газа.

Следует отметить, что в большинстве работ, посвященных применению теоретико-группового подхода к уравнениям ламинарного пограничного слоя, насколько известно автору, исследовались групповые свойства в физических переменных. В данной диссертационной работе, во-первых, исследуются групповые свойства уравнений ламинарного пограничного слоя в сжимаемой жидкости в переменных Дородницына, во-вторых, построены соответствующие фактор-системы, которые представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и, в-третьих, получены формулы для распределения касательного напряжения трения и локального теплового потока.

Таким образом, исследование групповых свойств в переменных Дородницына позволило найти новые автомодельные решения в задаче обтекания тела сверхзвуковым потоком газа в плоском и осесимметричном случаях, ранее автору неизвестные. По существу, результаты диссертационной работы являются развитием классической теории ламинарного пограничного слоя.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит, во-первых, в разработке метода нахождения экстремальных значений функционалов, позволяющего сократить объем вычислений; во-вторых, полученные новые автомодельные решения представляют как самостоятельный интерес для теоретической аэрогазодинамики, так и могут быть использованы в качестве тестов при реализации разностных схем для решения уравнений ламинарного пограничного слоя на телах произвольной формы при сверхзвуковых режимах течения.

Апробация. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

ь Всероссийской молодежной школе-конференции по математическому моделированию, алгебре и геометрии (г. Казань, 1998г.);

ь Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 1999г.);

ь VIII Четаевской Международной конференции по аналитической механике, устойчивости и управлению движением (г. Казань, 2002г.);

ь Всероссийской молодежной школе-конференции по математическому моделированию, алгебре и геометрии (г. Казань, 2003г.);

ь XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-18» (г. Казань, 2005г.);

ь II Всероссийской научной конференции «ММ-2005» (г. Самара, 2005г.);

ь XXV Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 60-летию Победы (г. Миасс, 2005г.);

ь Международной молодежной научной конференции, посвященной 1000-летию города Казани «Туполевские чтения» (г. Казань, 2005г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в журналах (3 статьи), в трудах и материалах Международных и Всероссийских конференций (8 тезисов). В работе [2], основываясь на теории - инвариантности функционалов, разработанной К.Г. Гараевым, автором построена дивергентная форма уравнения Эйлера-Остроградского, и задача вычисления экстремального значения функционала по области сведена к вычислению интеграла по поверхности , ограничивающей эту область. Автор является дипломантом конкурса научных работ по присуждению именных стипендий Главы Администрации г. Казани по итогам II семестра 2001-2002 г.г.

Положения, выносимые на защиту.

ь Неклассические первые интегралы уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного исчисления.

ь Конкретизация идей - инвариантности функционалов применительно к вариационным задачам с 2 и 3 независимыми переменными.

ь Новые автомодельные решения уравнений ламинарного пограничного слоя при обтекании непроницаемого цилиндрического тела и тела вращения сверхзвуковым потоком газа, имеющие физическую интерпретацию.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений. Работа изложена на 84 страницах основного текста, иллюстративный материал представлен в виде 5 рисунков; приложения содержат 33 таблицы; библиография включает 53 наименования.

интеграл ламинарный пограничный сверхзвуковой

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении для полноты изложения даны краткие сведения из теории непрерывных групп преобразований и теории ламинарного пограничного слоя. Показана актуальность темы, сформулированы цели работы.

В главе 1 рассмотрены приложения групп Ли к вариационным интегралам.

В разделе 1.1. получены новые первые интегралы для уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного исчисления.

Рассматривается функционал , где и -достаточно гладкие функции своих переменных.

Случай 1. Лагранжиан задается в виде . Требуется построить первые интегралы. Необходимое и достаточное условие инвариантности функционала относительно непрерывной группы преобразований с инфинитезимальным оператором запишется в виде . При этом координаты оператора имеют вид .

Первый интеграл для уравнения Эйлера запишется в виде .

Случай 2. Лагранжиан задается в виде . Первый интеграл для уравнения Эйлера в этом случае запишется в виде

,

где - произвольные дифференцируемые функции, функции , и координата удовлетворяют определенным соотношениям.

В разделе 1.2. рассматривается функционал

(1)

Для лагранжиана

, (2)

где - непрерывно дифференцируемые в области функции переменных , построена дивергентная форма уравнения Эйлера - Остроградского вида

(3)

где - операторы полного дифференцирования соответственно по независимым переменным и ; - координаты инфинитезимального оператора

.

Теорема 1. Если коэффициенты лагранжиана и координаты инфинитезимального оператора удовлетворяют определенным соотношениям, то существует дивергентная форма уравнения Эйлера - Остроградского вида (3).

Там же формулируются прямая и обратная задачи. Прямая задача: задана структура лагранжиана; требуется найти координаты инфинитезимального оператора, допускаемого данным функционалом. Обратная задача: задана группа непрерывных преобразований; требуется найти условия на коэффициенты лагранжиана, для которых существуют дивергентные формы для уравненияй Эйлера-Остроградского (обратная задача была использована для интегрирования уравнений в частных производных ещё самим Софусом Ли, а для вариационной задачи - сформулирована К.Г. Гараевым).

Подчеркнем, что существование дивергентных форм в некоторых случаях позволяет понизить порядок уравнения Эйлера-Остроградского, а для вариационной задачи с одной независимой переменной инвариантность функционала относительно группы немедленно дает возможность получить линейно-независимых первых интегралов. Таким образом, представление уравнений Эйлера в дивергентной форме может быть полезным при численном интегрировании этих уравнений.

В разделе 1.3. дается конкретизация идей классической и конформной инвариантности в задаче экстремума для двойного интеграла. Рассматривается функционал (1). Экстремальное значение функционала с лагранжианом (2) определяется по формуле



где координаты инфинитезимального оператора коэффициенты лагранжиана и параметр удовлетворяют определенным соотношениям.

Полученные результаты обобщены на трехмерный случай. Рассматривается функционал

(4)

Теорема 2. Если функционал (4) конформно-инвариантен относительно непрерывной группы преобразований с оператором и экстремаль найдена, то экстремальное значение функционала можно вычислить по формуле

где - направляющие косинусов внешней нормали к поверхности.

Если лагранжиан в функционале (4) не зависит явно от или ,

Таким образом, задача вычисления экстремального значения функционала по области сведена к вычислению интеграла по поверхности , ограничивающей эту область.

В разделе 1.4. дано приложение теории групп Ли к вариационной задаче с подвижным концом.

Рассматривается функционал , где функции и - достаточно гладкие функции своих переменных.

Уравнение Эйлера для заданного функционала, как известно, имеет вид . Если концы экстремали закреплены, то имеем дело с краевой задачей для . Если же правый конец не закреплен, то для отыскания и следует использовать условия трансверсальности при . В частности, если задано, а переменная неизвестна, то для ее отыскания имеем уравнение .

Известно, что если лагранжиан не содержит в явном виде переменную , то функционал инвариантен относительно однопараметрической группы переносов по координате с оператором и уравнение Эйлера допускает первый интеграл. И, следовательно, граничная задача сводится к задаче , .

Показано, что в двух случаях.

1) Правый (левый) конец экстремали закреплен; если координаты инфинитезимального оператора ; при (при ).

2) Координаты и свободны.

В главе 2 с использованием инфинитезимального аппарата Ли-Овсянникова конструируются новые автомодельные решения уравнений ламинарного пограничного слоя в задаче обтекания непроницаемого цилиндрического тела сверхзвуковым потоком газа.

В разделе 2.1. рассматриваются уравнения ламинарного пограничного слоя на непроницаемом цилиндрическом теле, обтекаемом потоком газа под нулевым углом атаки

с граничными условиями

Здесь приняты обычные в теории пограничного слоя обозначения. В переменных Дородницына эта краевая задача записывается в виде

(5)

Здесь (6)

В разделе 2.2. исследуются групповые свойства системы (5) с граничными условиями (6). Инфинитезимальный оператор, допускаемый этой системой, имеет вид

.

Определяющие уравнения для координат инфинитезимального оператора записываются в виде

.

Частное решение этой системы отыскивалось в виде , где - действительные числа, - дифференцируемая функция переменной .

Подробно рассмотрены два случая.

Случай 1. Число Прандтля , функция безразмерной температуры (что соответствует линейной зависимости вязкости от температуры), температура стенки постоянна .

Показано, что безразмерная скорость на внешней границе пограничного слоя должна удовлетворять дифференциальному уравнению с начальным условием (что соответствует обтеканию затупленного тела сверхзвуковым потоком газа). Здесь , - произвольные постоянные, штрих означает дифференцирование по переменной .

Важно отметить, что в окрестности плоской критической точки это уравнение имеет решение , где , что совпадает с известным классическим решением.

Группа, допускаемая системой (5), порождается операторами

Инварианты однопараметрической группы, порождаемой оператором , имеют вид где .

Соответствующая фактор-система запишется в виде

(7) (8)

Здесь ,- произвольные постоянные.

Случай 2. ; ; .

Показано, что (что соответствует обтеканию клина сверхзвуковым потоком газа). Группа, допускаемая системой (5), порождается операторами

Соответствующая фактор-система в этом случае запишется в виде

(9)

(10)

Здесь ,- произвольные постоянные.

В разделе 2.3. для решения краевых задач (7), (8) и (9), (10) использовался метод пристрелки.

Случай 1. Решение краевой задачи (7), (8) не зависит непосредственно от вида функции . Последняя определяется значением постоянной C*. В результате решения двухточечной нелинейной краевой задачи получены значения при различных значениях параметров и , которые приведены в Приложении.

На рисунке 1 представлены распределения безразмерной скорости на внешней границе пограничного слоя и соответствующие им формы обтекаемого профиля при различных значениях параметра , где ось совпадает с осью симметрии плоского профиля, . При задача Коши допускает лишь тривиальное решение, не имеющее физического смысла.

Зависимость формы тела от давления определялась по модифицированной формуле Ньютона. Форма профиля определялась согласно дифференциальному уравнению , где отношение давлений до и после скачка уплотнения в точке торможения потока определяется по формуле .

Рис. 1. Зависимость и зависимость формы профиля от

1- ; 2- ; 3 - ; 4- ; 5- .

На рисунке 2 представлены характерные графики функций при , , . Видно, что инварианты носят монотонный характер и удовлетворяют граничным условиям.

Рис. 2. Распределения инвариантов:

Получены формулы для аэродинамических характеристик (касательного напряжения трения и локального теплового потока) на обтекаемом профиле. Характерные графики при , представлены на рисунке 3.

Рис. 3. Распределения касательного напряжения трения и локального

теплового потока. 1- ; 2- ; 3 - ; 4- .

;

.

Случай 2. Для краевой задачи (9), (10) расчеты для проводились по формуле Аккерета , где - угол полураствора тонкого клина, - число Маха. Результаты вычислительного эксперимента при , , , приведены в Приложении.

В главе 3 рассмотрена задача обтекания тела вращения потоком газа под нулевым углом атаки.

В разделе 3.1. рассматриваются уравнения ламинарного пограничного слоя на теле вращения, обтекаемом потоком газа под нулевым углом атаки. Важно отметить, что использование теоретико-группового подхода и переход к новым переменным позволили получить те же фактор-системы, что и для случая обтекания цилиндрического тела.

В разделе 3.2. получены формулы для касательного напряжения трения и локального теплового потока

;

.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены новые первые интегралы уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного исчисления.

2. Основываясь на теории - инвариантности функционалов построена дивергентная форма уравнения Эйлера-Остроградского для вариационной задачи с двумя независимыми переменными. Задача вычисления экстремального значения функционала по области сведена к вычислению интеграла по поверхности , ограничивающей эту область.

3. Дано приложение теории групп Ли к вариационной задаче с подвижным концом.

4. Исследованы групповые свойства уравнений ламинарного пограничного слоя в задаче обтекания непроницаемого цилиндрического тела сверхзвуковым потоком газа. Получены определяющие уравнения для отыскания координат инфинитезимального оператора Ли. В общем случае эти уравнения разрешить не удалось. Однако подробно рассмотрены два случая.

Случай 1. ; ; ; безразмерная скорость на внешней границе пограничного слоя подчиняется специальному дифференциальному уравнению, которое имеет решение, отличное от классического.

Построена фактор-система, поставлена и решена соответствующая краевая задача. Получено новое автомодельное решение. Это стало возможным потому, что в качестве математической модели были взяты уравнения пограничного слоя в переменных Дородницына, которые редуцируют исходные уравнения в уравнения, содержащие меньшее число искомых функций, нежели исходные. Использование аппарата Ли-Овсянникова позволило свести уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, для которых формулируется соответствующая краевая задача. Построены распределения безразмерной скорости на внешней границе пограничного слоя и соответствующие им формы обтекаемого профиля при различных значениях параметра . Получены формулы для аэродинамических характеристик обтекаемого тела (касательного напряжения трения и локального теплового потока). Построены характерные графики.

Случай 2. ; ; .

Условие инвариантности уравнений пограничного слоя относительно оператора приводит к постоянной скорости на внешней границе , что соответствует случаю обтекания клина в сверхзвуковом потоке.

5. В задаче обтекания тела вращения сверхзвуковым потоком газа показано, что соответствующая фактор-система совпадает по форме с фактор-системой для случая обтекания цилиндрического тела.

Получены формулы для касательного напряжения трения и локального теплового потока.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Никифорова С.В. О существовании неклассических первых интегралов в простейшей задаче вариационного исчисления. // Казань: Материалы Всероссийской молодежной школы-конференции по математическому моделированию, алгебре и геометрии. - 1998. - С.25.

Гараев К.Г., Никифорова С.В. Использование классической и конформной инвариантности в проблеме экстремума для кратного интеграла. - Казань: Новейшие проблемы теории поля // Труды XI Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики. Под редакцией проф. Аминовой А.В. - 1999. - С.23-27.

Никифорова С.В. Теоретико-групповой подход к исследованию одной задачи вариационного исчисления. // Казань: Вестник КГТУ. - 1999. - №4. - С. 53-57.

Никифорова С.В. О достаточных условиях приводимости краевой задачи для уравнения Эйлера к задаче Коши. // Казань: Труды VIII Четаевской Международной конференции по аналитической механике, устойчивости и управлении движением. - 2002.- С.353.

Никифорова С.В. О достаточных условиях сведения краевой задачи для уравнения Эйлера к задаче Коши // Казань: Вестник КГТУ. - 2003. - №2. - С. 41-42.

Никифорова С.В. О новых фактор-системах уравнений пограничного слоя при сверхзвуковых режимах течения // Казань: Материалы Всероссийской молодежной школы-конференции по математическому моделированию, алгебре и геометрии. - 2003. - С.29.

Никифорова С.В. О новых фактор-системах уравнений пограничного слоя при сверхзвуковых режимах течения // Казань: Вестник КГТУ. - 2004. - №3. - С. 65-67.

Никифорова С.В. Об одном численном методе решения уравнений пограничного слоя при сверхзвуковых режимах течения // Казань: Сборник трудов XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-18». - Т.1. - 2005. - С. 27-28.

Никифорова С.В. Определение формы профиля в задаче обтекания сверхзвуковым потоком газа // Труды II Всероссийской научной конференции «ММ-2005». - Самара. -2005. - Часть 2.- С.187-189.

Никифорова С.В. Инвариантные решения уравнений пограничного слоя при сверхзвуковых режимах // Екатеринбург: Краткие сообщения XXV Российской школы по проблемам науки и технологий, посвященная 60-летию Победы. - 2005. - С.45-47.

Никифорова С.В. О формах профилей в сверхзвуковом потоке, соответствующих новым автомодельным решениям уравнений пограничного слоя. - Туполевские чтения // Материалы Международной молодежной научной конференции, посвященной 1000-летию города Казани. - 2005. - Т.2. - С. 78-79.

Автор благодарит доцента В.А. Овчинникова за помощь, оказанную при организации вычислений.

Размещено на Allbest.ru

...