Выполнение алгебраических действий с корнями и функциями
Решение уравнения и построение его на комплексной плоскости. Определение точек разрыва функции и указание характера точек разрыва. Нахождение производных функций. Расчет экстремумов функции с использованием второй производной. Разложение функции в ряд.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.04.2018 |
| Размер файла | 150,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1
Даны два комплексных числа. Для комплексного числа в случае:
а) выполнить действия в алгебраической форме;
б) найти корни уравнения и построить их на комплексной плоскости.
а) ;
б)
Запишем комплексное число в тригонометрической форме. Для этого найдем модуль и аргумент комплексного числа. Так как , , то
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа будет иметь вид:
Теперь извлекаем корни по формуле
Получим:
Построим найденные числа на комплексной плоскости:
Задание 2
Найти пределы функций.
а) при ;
б) ;
в) ;
г) .
Задание 3
Найти точки разрыва функций и , указать характер точек разрыва. Построить схематически графики этих функций.
а) ;
Функция не определена в точке , поскольку знаменатель дроби обращается в ноль при
Вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и равны, но функция не существует в точке , значит, точка является точкой устранимого разрыва.
б)
Функция определена и непрерывна на интервалах , и , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, заданная функция может иметь разрывы только в точках и .
Проверим выполнение условий непрерывности функции в этих точках:
1) :
;
;
Таким образом: , следовательно, функция непрерывна в точке .
2)
;
;
Так как , то точка является точкой разрыва функции . Так как односторонние пределы конечны, но не равны, то точка является неустранимой точкой разрыва первого рода.
Задание 4
Найти производные функций, заданных в случаях а), б), в) - в явном, в случае г) - неявном виде, в случае д) - через параметр.
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
Дифференцируя по , находим:
д) .
Задание 5
Область определения функции .
Найдем производную функции:
и критические точки:
.
Найдем вторую производную:
В критической точке вторая производная , значит, в этой точке функция достигает минимум, причем
Задание 6
Исследовать функцию с помощью производных и по результатам исследования построить ее график.
1) Данная функция определена при всех значениях х, кроме , так как в этих точках знаменатель дроби обращается в ноль. Значит, область определения функции: .
2) Выясним характер разрыва функции при . Для этого вычислим односторонние пределы функции в точках :
;
;
;
.
Таким образом, точки являются точками разрыва 2-го рода для данной функции, а прямые - вертикальными асимптотами графика функции.
3) Проверим наличие наклонных асимптот вида . Вычислим коэффициенты и :
Следовательно, - уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты.
4) Свойство четности.
функция нечетная.
5) Точки пересечения с осями координат.
С осью : точка (0;0).
С осью : точка (0;0).
6) Интервалы монотонности и точки локального экстремума. Найдем производную заданной функции:
Критические точки находим из условий и не существует:
не существует при .
Построим числовую прямую, отложим критические точки и, подставляя в производную точки из интервалов, вычислим знаки:
Поскольку при производная , значит, на этих интервалах функция убывает.
7) Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Вторая производная функции имеет вид:
Критические точки находим из условий и не существует:
;
не существует при .
Определим знаки второй производной на полученных интервалах:
Следовательно, график функции является выпуклым при и вогнутым при . - точка перегиба, .
8) Сведем результаты проведенного исследования в таблицу:
|
- |
- |
- |
- |
||
|
- |
+ |
- |
+ |
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
9) Используя результаты исследования функции, строим график
функция производная уравнение экстремум
Задание 7
Разложить функцию в ряд Маклорена, найдя три ненулевых коэффициента разложения.
Используя разложение в ряд Маклорена функции :
при , запишем первых три члена разложения:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Определение производных сложных функций при заданном значении аргумента. Исследование траектории движения тела на плоскости и построение графика функции. Характеристика нахождения максимальных и минимальных точек, экстремумов и точек перегиба функции.
контрольная работа [790,1 K], добавлен 09.12.2011Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011Определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот графиков функций. Точки разрыва и область определения функции. Нахождение конечного предела функции. Неограниченное удаление точек графика от начала координат. Примеры нахождения асимптот.
презентация [99,6 K], добавлен 21.09.2013Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Исследование функции на непрерывность. Алгоритм вычисления производных первого и второго порядков. Порядок определения скорости и ускорения в определенный момент времени при помощи производных. Особенности исследования функции на наличие точек экстремума.
контрольная работа [362,7 K], добавлен 23.03.2014Расчет производной функции. Раскрытие неопределенности и поиск пределов. Проведение полного исследования функции и построение ее графика. Поиск интервалов возрастания, убывания и экстремумов. Решение дифференциальных уравнений. Расчет вероятности события.
контрольная работа [117,5 K], добавлен 27.08.2013Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции.
контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Непрерывность функции: определение, практические примеры, график, приращение. Точка разрыва первого и второго рода функции, примеры. Бесконечность односторонних пределов функции. Практический пример отложения точки разрыва второго рода на графике.
презентация [270,1 K], добавлен 21.09.2013Нахождение асимптот функции, локальных и глобальных экстремумов. Промежутки выпуклости и точки перегиба функции. Область определения функции и точки пересечения с осями. Нахождение определенного и неопределенного интегралов. Выполнение деления с остатком.
контрольная работа [312,9 K], добавлен 26.02.2012Нахождение уравнения гиперболы при заданном значении вещественной полуоси. Вычисление предела функции и ее производных. Составление уравнения нормали к кривой. Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса и при помощи формулы Крамера.
контрольная работа [871,9 K], добавлен 12.10.2014Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Определение минимальной и максимальной точек для функции, имеющей на отрезке [a; b] конечное число критических точек. Ознакомление с примерами нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратической, кубической, логарифмической и иных функций.
презентация [355,9 K], добавлен 20.12.2011
