Моделирование некоторых процессов асимметричной упругости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Моделирование некоторых процессов асимметричной упругости

Общая характеристика работы

упругость ассиметричный линейный

Актуальность работы. Методы теории упругости и ее приложений применяются в различных областях науки и техники. Задачи, которые удается решать в рамках линейной теории, разнообразны, однако в связи с внедрением гибких элементов, способных работать в закритической области при упругих деформациях, около полувека назад возник практический интерес к нелинейной теории упругости. Так, например, необходимость расчета резинотехнических изделий явилась мощным стимулом для развития прикладного направления нелинейной теории. В силу того, что отвечающие задачам нелинейной теории упругости уравнения сложны, точные решения их, как правило, получать не удается, а если и удается, то при большом числе допущений и ограничений на перемещения, деформации, углы поворота. Несомненно, инженеру хотелось бы иметь такой математический аппарат, который может быть реализован сравнительно просто.

В связи с этим актуальной задачей является разработка такой модели упругой деформации, которая позволила бы применять наиболее простые математические методы и приемы при решении задач об исследовании напряженно-деформированного состояния тела.

Решению этих проблем и посвящена настоящая работа.

Цель работы заключается в обосновании достоверности новой модели теории упругости - асимметричной упругости, использование которой позволило бы расширить класс задач, решаемых в рамках линейной теории.

Научная новизна работы состоит в следующем: на основе модели асимметричной упругости, разработанной В.О. Бытевым, получено аналитическое решение некоторых задач теории упругости (одноосное растяжение пластины, ослабленной отверстием; чистый изгиб в плоскости пластины, ослабленной отверстием; чистый сдвиг в пластине с отверстием); проведен сравнительный анализ решений, полученных посредством асимметричной модели и ее классического аналога; решены некоторые задачи для пластин из эластомеров в рамках линейной теории; проведены экспериментальные исследования по растяжению пластин с целью установления соответствия моделей (классической и асимметричной) реальной физической картине.

Достоверность результатов обеспечивается следующими положениями: использованием классических уравнений механики деформируемого твердого тела (при решении задач в рамках классической теории); применением известных математических методов; тестированием реализованных программ на задачах с уже известными решениями; результатами экспериментального исследования, проведенного на базе лаборатории по сопротивлению материалов Тюменского государственного архитектурно-строительного университета.

Практическая ценность работы. Используя модель асимметричной упругости построены алгоритмы и разработаны программы для получения аналитических решений частных задач теории упругости и их визуализации.

Установлено, что с помощью модели асимметричной упругости можно описывать напряженно-деформированное состояние тел из материалов любой природы и решать задачи для эластомеров, оставаясь в рамках линейной теории.

Проведены экспериментальные исследования по растяжению пластин, подтверждающие достоверность результатов, полученных посредством асимметричной модели.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: Межрегиональная конференция «Современные математические методы и информационные технологии», 16 апреля 2007 г., ТюмГУ, Тюмень; XXI Международная научно-практическая конференция «Математические методы в технике и технологиях», 27-30 мая 2008 г., СГТУ, Саратов; Международная конференция по математической физике и ее приложениям, Самара, 8-13 сентября 2008 г.; IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Кемерово, 28-30 октября 2008 г.; XVI Зимняя школа по механике сплошных сред, 24-27 февраля 2009 г., Пермь; научные семинары кафедры математического моделирования ТюмГУ, 2007-2009 гг., Тюмень.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, двух приложений. Объем диссертации составляет 138 страниц, в том числе 93 рисунка. Список литературы состоит из 116 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель и задачи, указана научная новизна, практическая ценность.

В первой главе проведен обзор и анализ математических моделей теории упругости, рассмотрены основные методы решения задач. Приводится модель асимметричной упругости, полученная В.О. Бытевым. Дается сопоставление асимметричной модели с классической.

Основные уравнения теории упругости задаются тремя группами соотношений. Первая группа представлена уравнениями статики

, (1)

которые связывают тремя соотношениями шесть компонент симметричного тензора напряжений . Здесь - вектор объемной силы, рассчитанной на единицу объема.

Вторая группа уравнений содержит определение линейного тензора деформации через вектор перемещений :

, , . (2)

упругость ассиметричный линейный

В (2) имеется шесть уравнений, определяющих компоненты тензора деформаций по первым производным трех компонент вектора перемещения.

В третьей группе из шести уравнений формулируется закон состояния линейно-упругого тела. Для изотропного тела этот закон - обобщенный закон Гука - записывается в форме

, (3)

где - объемное расширение, - единичный тензор, , - параметры Ламе.

Кроме того, должны выполняться шесть условий совместности деформаций.

К системе уравнений (1) - (3), определяющих поведение линейно-упругого тела в точках его объема, добавляются условия на ограничивающей его поверхности - краевые условия. Они определяют задание или внешних поверхностных сил (первая краевая задача), или перемещений точек поверхности (вторая краевая задача).

При решении задач теории упругости различают два пути решения в зависимости от того, что будет принято за основные неизвестные: если за неизвестные принимают шесть функций напряжений, то получают решение в напряжениях; если за неизвестные принимают три функции перемещений, то получают решение в перемещениях.

Обширной и наиболее полно разработанной главой теории упругости является так называемая плоская задача. В ней рассматриваются вопросы, отличающиеся по содержанию, но объединяемые математическим методом решения, - это задача о плоской деформации и задача о плоском напряженном состоянии.

Для решения задач плоской теории упругости разработаны как аналитические, так и численные методы.

Как показал Н.И. Мусхелишвили, с помощью введения функции напряжений, которую называют также функцией Эри, можно получить комплексное представление компонент вектора упругих перемещений и компонент напряжений.

Функция Эри связана с компонентами напряжений следующими соотношениями:

, , .

Комплексное представление функции Эри имеет вид:

,

где функции , - голоморфные функции комплексного переменного . Функции , называют функциями напряжений или комплексными потенциалами.

Задача считается решенной, если для нее определены функции , .

Вектор перемещений представим через компоненты функции Эри , :

, (4)

здесь - для случая плоской деформации и - для случая плоского напряженного состояния, - коэффициент Пуассона; , - параметры Ламе.

Компоненты напряжений имеют вид:

,

.

Объединим граничные условия и запишем их в виде:

, (5)

где , на - для первой основной задачи; , на - для второй основной задачи.

Н.И. Мусхелишвили излагает метод применения к задачам плоской теории упругости конформных отображений, а также сведение решения основных задач для областей, ограниченных одним контуром, к функциональным уравнениям. Приводит решения для некоторых областей, в частности для круга и кругового кольца.

Пусть заданы две комплексные плоскости , и определено конформное отображение области на область : .

Заменой переменной на контуре области через обобщенное краевое условие (5) приводится к виду:

на ,

где - точка на контуре .

При введении полярных координат на плоскости компоненты напряжений можно привести к виду

, ,

.

В частности, если контур свободен от внешних усилий, то напряжения находятся по формулам:

, . (6)

Соотношения (6) должны выполняться одинаково при решении задачи в напряжениях и перемещениях. Однако они выполнены только для круга, т.к. в этой задаче функции , определяются точно. В тех же задачах, где используется конформное отображение, эти функции находятся не точно и соотношения (6) выполняются приближенно.

Теперь рассмотрим модель асимметричной теории упругости.

Методами группового анализа, разработанными Л.Д. Овсянниковым, в работах В.О. Бытева решена общая задача классификации моделей чисто механического континуума, который описывается системой дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения - массы, импульса, момента импульса, энергии.

Полученная классификация позволяет предложить следующий вид тензора напряжений в случае его линейной зависимости от тензора деформаций:

,

, (7)

.

Здесь - компоненты тензора напряжений , - компоненты тензора деформаций.

Конститутивные уравнения (7) содержат три кинетических параметра , и , причем , , а может принимать любое вещественное значение. Следует заметить, что замена (считаем , параметрами Ламе) при сводит (7) к классической системе конститутивных уравнений.

В общем виде равенства (7) могут быть записаны так:

. (8)

Здесь - девиатор тензора деформаций, - единичный тензор,

. (9)

Из (8) с учетом (9) следует асимметричная связь компонент девиатора тензора напряжений и девиатора тензора деформаций. Полученная таким образом модель названа асимметричной упругостью. Модель асимметричной упругости не связана с моделью несимметричной моментной упругости.

Если рассмотреть матрицу коэффициентов системы (7), то можно показать, что ее определитель отличен от нуля:

, .

Следовательно, из (7) находятся обратные зависимости между и однозначно.

Вводя функцию напряжений Эри, по аналогии с тем, как это сделано в работах Н.И. Мусхелишвили, можно представить уравнение для компонент вектора упругих перемещений в комплексной формулировке:

. (10)

Краевое условие во второй основной задаче теории упругости - о нахождении упругого равновесия при заданных смещениях точек границы - примет вид:

,

где , - заданные смещения граничных точек.

Из (10) при и получаем классическое уравнение (4):

.

Уравнение (10) является обобщением классических формул Лява (4).

Пусть снова заданы две комплексные плоскости , и определено конформное отображение области на область . Введем на плоскости полярные координаты так, что . Из (10) находим полярное представление вектора смещений

. (11)

Итак, после того как найдены перемещения с помощью уравнения (11), находятся компоненты тензора деформаций, а по ним определяется поле напряжений по уравнениям (7).

Вторая глава посвящена обоснованию достоверности модели асимметричной упругости на примере решения конкретных задач.

Приведены аналитические решения некоторых задач асимметричной теории упругости и их визуализация. Проведен сравнительный анализ с классическими решениями.

1. Одноосное растяжение пластины с отверстием. Рассмотрены случаи эллиптического, треугольного, квадратного отверстий. Для эллиптического отверстия рассмотрены различные частные случаи: круг, эллипс, разрез. Кроме того, при решении задачи об одноосном растяжении пластины, ослабленной эллиптическим отверстием, используются разные способы отображения внешности эллиптического отверстия - на внешность и внутренность круга единичного радиуса.

2. Чистый изгиб пластины с отверстием. Рассмотрены случаи квадратного и эллиптического отверстия. Для эллиптического отверстия рассмотрены различные частные случаи: круг, эллипс, разрез.

3. Чистый сдвиг в пластине, ослабленной отверстием в форме квадрата.

В качестве примера иллюстрации новых эффектов деформации асимметрично-упругих пластин приведем решение задачи об одноосном растяжении пластины, ослабленной эллиптическим отверстием.

Решение задачи ищется с помощью конформного отображения внешности эллиптического отверстия на внешность круга единичного радиуса известной функцией:

,

где , .

Здесь отвечает за размеры отверстия, - за соотношение между полуосями. Единичной окружности соответствует эллипс с центром в начале координат и полуосями , . При имеем окружность, при - разрез.

Выражения для функций напряжения будут в этом случае иметь вид:

,

.

Здесь - растягивающее усилие, составляющее угол с осью Ох. Для данной задачи получены выражения для компонент вектора смещений и поля напряжений для любых , и .

Причем выражения для компонент напряжений не содержат параметров материала и одинаковы для каждой из рассматриваемых моделей. Поэтому подробнее остановимся на исследовании деформированного состояния рассматриваемых тел (пластин).

Заметим, что в случае кругового отверстия () конформное отображение не требуется и функции , находятся в виде:

, .

Круговое отверстие

Приведем выражения для компонент вектора смещений , , , и компонент напряжений , , , , , асимметричной и классической моделей соответственно. Отметим, что выражения для компонент , , , , совпадают с выражениями, полученными другими авторами, например, Н.И. Мусхелишвили. Напомним, что классическое решение получено из асимметричного при и .

, ,

,

,

, , .

Для анализа полученных решений рассматриваются материалы различных типов: пластичные (сталь), хрупкие (оргстекло), гибкие (резина). Основные физико-механические показатели материалов зависят от их химического состава и, соответственно, варьируются в некотором диапазоне. Для расчетных моделей выбраны следующие значения физических характеристик рассматриваемых материалов (здесь - коэффициент Пуассона, - модуль Юнга и - предел прочности при растяжении):

Тип материала		(Па)	(МПа)
сталь	0,3	19500·107	400
оргстекло	0,33	330·107	70
резина	0,46	0,15·107	12

Кроме того, при рассмотрении задачи о растяжении резиновой пластины, задавать начальные условия будем в соответствии с проведенным экспериментом. Экспериментальное исследование по растяжению пластин проводилось на разрывной машине «INSTRON-3382». При растяжении резиновых образцов разрушающая нагрузка составила 1,76 (МПа).

Рассмотрим случай кругового отверстия (см). При задании начальных условий радиус отверстия выбирается не совсем произвольно.

В самом общем случае при решении подобных задач рассматривается бесконечная пластина. Однако на практике приходится иметь дело с пластинами конечной ширины. Поэтому встает естественный вопрос о том, в каких случаях (соблюдая определенную степень точности) решения, полученные для бесконечных областей, можно применять для конечных областей и каково должно быть соотношение между диаметром отверстия и шириной подвергающейся деформированию пластины.

Согласно исследованиям Г.Н. Савина, если ограничиться точностью до 6%, то решения, полученные для неограниченных областей, можно применять к пластинам конечных размеров, если диаметр отверстия (центрально расположенного) не менее чем в пять раз меньше ширины пластины.

Итак, отношение диаметра отверстия к ширине рассматриваемой пластины (см) равно: .

Таким образом, проведенный эксперимент вполне согласуется с теоретическими расчетами.

Пусть имеем стальную пластину. Растяжение ведется вдоль оси Ох () усилием (МПа). Значение параметра (Па). Визуальных различий между годографами вектора смещений асимметричной и классической моделей не наблюдается. Чтобы проанализировать различия в значениях компонент вектора перемещений, построим графики компонент асимметричной и классической моделей (рис. 1, 2).

Рисунок 1. Радиальная составляющая вектора смещений (сталь): (1) - классической модели, (2) - асимметричной модели



Рисунок 2. Угловая составляющая вектора смещений (сталь): (1) - классической модели, (2) - асимметричной модели

Из рисунков 1, 2 видно, что значения компонент вектора смещений асимметричной модели в несколько раз меньше соответствующих им значений классической. Вместе с тем, характер изменения функций одинаков. Обе функции достигают своих наибольших и наименьших значений при одних и тех значениях угла .

Для стали обе модели вполне адекватно отражают физическую картину.

Для данных начальных условий меняется в диапазоне от 12¹⁰ (Па) до 15¹⁰ (Па). При изменении размера отверстия получаем следующее:

при (см), ;

при (см), .

Под диапазоном «влияния» будем понимать такой интервал, что начало его соответствует тому моменту, когда решение становится «физичным» или происходит «сглаживание» решения. Конец этого интервала определяется таким значением , начиная с которого, для всех остальных значений, мы уже не наблюдаем никаких изменений в поведении компонент перемещений.

Для пластины из оргстекла качественно полученные результаты аналогичны результатам для стальной пластины.

Далее будем моделировать растяжение резиновой пластины при нагрузке  (МПа) и значении модуля (Па). Значение нагрузки является близким к критическому, при котором происходит разрушение испытательного образца.

Рисунок 3. Годограф вектора смещений (резина): (1) - классической модели, (2) - асимметричной модели

На рис. 3 видно, что на годографе вектора смещений классической модели наметились углы в направлении приложения нагрузки, чего нет на годографе асимметричной модели. Заметим, что при дальнейшем увеличении нагрузки на годографе классической модели начинают появляться петли. Асимметричная модель позволяет описывать напряженно-деформированное состояние тела и при дальнейшем увеличении нагрузки - в расчетной модели это может соответствовать уменьшению модуля Юнга.

Эллиптическое отверстие

Далее рассматривается случай эллиптического отверстия для . Кроме того, растяжение осуществляется под разными углами: а) , б) , в) .

Стальная пластина растягивается усилием (МПа) под углом . Заметим, что перемещения достаточно малы, поэтому на годографах вектора смещений не удается увидеть различий, только при условии сильного увеличения. Поэтому приводим только графики компонент. На рис. 4-5 представлены графики составляющих вектора смещений при  (Па).



Рисунок 4. Радиальная составляющая вектора смещений (сталь): (1) - классической модели, (2) - асимметричной модели

Рисунок 5. Угловая составляющая вектора смещений (сталь): (1) - классической модели, (2) - асимметричной модели

Для случая приложения нагрузки под другими углами результаты получены аналогичные. При растяжении стальной пластины с отверстием эллиптической формы компоненты вектора смещений для асимметричной и классической моделей имеют различный характер поведения при изменении угла .

Параметр влияет на решение, варьируясь в диапазоне от 13¹⁰ (Па) до 15¹⁰ (Па). Причем при изменении размера отверстия этот диапазон сохраняется неизменным.

При рассмотрении пластины из оргстекла получаем аналогичные результаты - компоненты вектора смещений различаются и качественно, и количественно.

Теперь пусть имеем резиновую пластину. Зададим таким образом, чтобы отношение большей оси эллипса к ширине пластины не превосходило пяти. То есть  (см). Растягивающее усилие (МПа). В этом случае различия в решениях, полученных по двум моделям очевидны, поэтому графики компонент вектора смещений не приводятся. На рис. 6-8 представлены годографы вектора смещений при (МПа) для различных вариантов приложения нагрузки: под углами , , соответственно.

Рисунок 6. Годограф вектора смещений (резина, =0): (1) - классической модели, (2) - асимметричной модели

Рисунок 7. Годограф вектора смещений (резина, =/2): (1) - классической модели, (2) - асимметричной модели

Рисунок 8. Годограф вектора смещений (резина, =/3): (1) - классической модели, (2) - асимметричной модели

Как видно из рис. 6-8 годограф вектора смещений классической модели начинает приобретать физически нереальную форму. Причем нагрузка задается не критическая. При дальнейшем увеличении нагрузки на годографе классической модели начинают образовываться петли различных конфигураций. При этом в случае асимметричной модели с помощью «поправки» решение удается «регуляризировать» вплоть до предельной нагрузки (МПа).

Здесь параметр влияет на решение, варьируясь в диапазоне от 1,5 (МПа) до 2 (МПа) при ; от 2,5 (МПа) до 4 (МПа) при ; от 1 (МПа) до 2 (МПа) при .

Заметим, что классическая модель «работает» тем хуже, чем ближе к единице, т.е. чем ближе эллипс по форме к разрезу.

Итак, имеем следующее: для эллиптического отверстия (имеются в виду различные частные случаи) обе модели дают приемлемые результаты для стали, оргстекла. Для пластин из эластомеров классическая модель не дает физически реального результата, в некоторых случаях и при сравнительно малых нагрузках. Асимметричная же модель, напротив, позволяет работать с таким отверстием при нагрузках, близких к критическим. Компоненты вектора смещений в большинстве частных случаев носят как качественные, так и количественные различия.

В процессе данного диссертационного исследования получены и проанализированы решения и других задач - задача об одноосном растяжении пластин с другими формами отверстий, задача о чистом изгибе в плоскости пластины с отверстием (рассмотрены отверстия разных форм), задача о чистом сдвиге в пластине с отверстиями различных форм, и другие задачи. При решении и сравнительном анализе получены результаты, аналогичные изложенным выше.

В третьей главе приводится описание экспериментального исследования, а также его результаты.

Как уже было отмечено, экспериментальное растяжение резиновых пластин проводилось на базе лаборатории по сопротивлению материалов ТюмГАСУ на разрывной машине «INSTRON-3382».

Растяжению подвергались образцы:

- длинные, с рабочей областью 20 см, с центрально расположенным отверстием;

- короткие, с рабочей областью 5 см, с центрально расположенным отверстием.

Разрушающая нагрузка для длинных образцов составила 1,76 МПа, для коротких - от 1,6 МПа до 1,72 МПа.

При проведении вычислительного эксперимента нагрузка в расчетной модели задавалась близкая к разрушающей нагрузке (задача об одноосном растяжении пластины с круговым отверстием). Для других форм отверстий задавалось такое же значение нагрузки и параметры отверстия подбирались таким образом, чтобы по площади отверстие не превосходило площади круга радиуса R=0,25 см.

В главе проводится сопоставление решений, полученных для каждой из моделей с экспериментальными данными. Делается вывод о соответствии решений результатам эксперимента.

Однако заметим, что экспериментальное исследование носит, скорее, иллюстративный характер.

Основные результаты и выводы

В заключении дан обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе.

При анализе полученных решений установлено, что модуль «влияет» на решение, «регуляризирует» его, изменяясь в некотором диапазоне. Причем указанный диапазон индивидуален. Основным определяющим критерием изменения диапазона являются физико-механические свойства материала.

Проведен сравнительный анализ полученных решений с решениями, соответствующими классической теории упругости. Классические решения получались путем подстановки в асимметричные решения и , где и - параметры Ламе. В результате проведенного сравнения оказалось, что при работе с пластичными и хрупкими материалами обе модели дают адекватные результаты. В этом случае установлено, что:

- качественное поведение компонент вектора смещений асимметричной и классической моделей имеет существенные различия. Для асимметричной модели наблюдается более «сглаженный» характер - это объясняется появлением «поправочного» коэффициента. Количественные различия также присутствуют, однако, в силу малости перемещений, это несущественно отражается на полученных результатах;

- компоненты напряжений различий не имеют;

- обе модели адекватно отражают результаты.

Противоположная ситуация складывается при работе с эластомерами. Классическая модель не позволяет получать физически реальные результаты. Вообще говоря, этот результат был ожидаемым. Однако использование асимметричной модели приводит к физически реальным результатам и при работе с гибкими материалами. Причем, как следует из расчетов, модель позволяет «работать» с материалами, имеющими малый модуль Юнга, а также при нагрузках, близких к критическим. Кроме того, проведенное экспериментальное исследование подтверждает полученные результаты.

Можно говорить о том, что асимметричная модель деформации упругого тела, полученная В.О. Бытевым в результате решения задачи групповой классификации законов сохранения, достоверно отражает физическую картину деформации упругого тела. Причем в некоторых случаях она может оказаться предпочтительнее классической модели при работе не только с эластичными материалами, но и любыми другими, в силу «сглаженности» решений. Это может оказаться существенным при моделировании, например, трещин в механике разрушения.

Основной вывод: использование модели асимметричной упругости значительно расширяет круг задач, которые можно решать в рамках линейной теории, что, несомненно, очень важно.

Публикации по теме диссертации

1. Бытев В.О., Слезко И.В. Точные решения некоторых задач плоской асимметричной теории упругости // Математическое и информационное моделирование: Сб. научных трудов. - Вып. 9. - 2007. - Тюмень: Изд-во Вектор Бук. - С. 31-44.

2. Бытев В.О., Слезко И.В., Николаев Д.Е. Точные решения некоторых задач плоской асимметричной теории упругости // Вестник ТюмГУ, 2007. - №5. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ. - С. 32-43.

3. Бытев В.О., Слезко И.В. Точные решения некоторых задач плоской асимметричной теории упругости // Сборник трудов ХХI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», 2008. - Т. 4. - Саратов: Изд-во Саратовского гос. технич. ун-та. - С. 86-87.

4. Бытев В.О., Слезко И.В. Асимметричная упругость // Альманах современной науки и образования, 2008. - №7 (14). - Тамбов: Грамота. - С. 33-34.

5. Бытев В.О., Слезко И.В. Решение задач асимметричной упругости // Математическое и информационное моделирование: Сб. научных трудов. - Вып. 10. - 2008. - Тюмень: Изд-во Вектор Бук. - С. 27-32.

6. Бытев В.О., Слезко И.В. Метод конформных отображений в теории упругости // Математическое и информационное моделирование: Сб. научных трудов. - Вып. 10. - 2008. - Тюмень: Изд-во Вектор Бук. - С. 32-37.

7. Бытев В.О., Слезко И.В. Решение задач асимметричной упругости // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия, 2008. - №6 (65). - Самара: Изд-во СамГУ. - С. 238-243.

8. Бытев В.О., Слезко И.В. Задачи плоской асимметричной упругости // Вестник ТюмГУ, 2008. - №6. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ. - С. 119-122.

9. Бытев В.О., Слезко И.В., Николаев Д.Е. Определение критической нагрузки в задачах асимметричной упругости // Тезисы IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Кемерово, 28-30 октября 2008. - С. 37.

10. Бытев В.О., Слезко И.В. Асимметричная упругость // Вестник ТулГУ - Актуальные вопросы механики, 2008. - Вып. 4. - Т. 1. - Тула: Изд-во ТулГУ. - С. 20-27.

11. Бытев В.О., Слезко И.В. Асимметричная упругость // Тезисы Международной конференции по математической физике и ее приложениям, Самара, 8-13 сентября 2008. - Самара: Изд-во СамГУ. - С. 44-46.

12. Бытев В.О., Слезко И.В. Некоторые задачи асимметричной упругости // Тезисы XVI Зимней школы по механике сплошных сред. - Пермь. - 2009. -

13. С. 80-81.

14. Бытев В.О., Слезко И.В. Некоторые задачи асимметричной упругости // Труды XVI Зимней школы по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий (электронный ресурс)). - Пермь: ИМСС УрО РАН. - 2009. Электронный оптический диск (СD).

Размещено на Allbest.ru

...