Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Карасев Денис Николаевич

ОЦЕНКИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ЯДРАМИ ИЛИ СИМВОЛАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ

КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Ростов-на-Дону

2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Ногин Владимир Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Александр Эдуардович Пасенчук,

кандидат физико-математических наук, доцент Анатолий Федорович Чувенков

Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита состоится «31» октября 2006 г. в 16:50 на заседании диссертационного совета К 212.208.06 в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, механико-математический факультет РГУ, ауд. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148. Автореферат разослан _________.

Ученый секретарь

диссертационного совета К212.208.06

к. ф.-м. н., доцент В.Д. Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

оператор бохнер рисс акустический

Актуальность темы. Исследования диссертации относятся, с одной стороны, к вопросу об ограниченности из в операторов типа потенциала с ядрами и (или) символами, осциллирующими на бесконечности, а с другой - к задаче обращения и описания образов таких операторов в неэллиптическом случае.

В диссертации рассматриваются операторы типа потенциала

(1)

ядра которых имеют особенности в начале координат и на единичной сфере и осциллируют на бесконечности:

(при интеграл (1) понимается в смысле регуляризации). Характеристики и предполагаются достаточно гладкими, а ограничена и стабилизируется в нуле как гельдеровская функция.

Рассматриваемый класс операторов содержит в себе, в частности:

а) операторы Бохнера-Рисса комплексного порядка , ;

б) акустические потенциалы, реализующие отрицательные степени операторы Гельмгольца в;

в) дробные потенциалы типа Стрихарца по с осциллирующими на бесконечности характеристиками.

В настоящее время имеется большое число исследований по операторам типа потенциала вида

(2)

с достаточно гладкими (не осциллирующими) характеристиками в эллиптическом случае (С.Г. Самко, В.А. Ногин и др.).

Потенциалы вида (2) с осциллирующими на бесконечности характеристиками исследовались мало. Ранее --оценки для таких операторов были получены лишь в двух случаях «специфической» осцилляции, порождаемой функцией Бесселя (операторы Бохнера-Рисса (L. Bцrjeson, C. Sogge)) или функцией Ханкеля (акустические потенциалы, (В.А. Ногин, Б.С. Рубин)), а также модельный случай, когда в (2).

Кроме того, имеется большое число исследований по обращению операторов типа потенциала вида (2) с достаточно гладкими (не осциллирующими) характеристиками в эллиптическом случае. Отметим, что первые результаты в этом направлении принадлежат С. Г. Самко, построившему обращение риссовых потенциалов (т.е. потенциалов (2) с постоянной характеристикой ) и описавшему образ , а также более общие функциональные пространства , в терминах гиперсингулярных интегралов (ГСИ).

В начале 90-х, в работах В.А. Ногина и его учеников (М.М. Заволженский, Е.В. Сухинин, А.Н. Карапетянц, А.П. Чеголин и др.) был разработан новый метод обращения операторов типа потенциала - метод аппроксимативных обратных операторов (АОО). В рамках этого метода было построено обращение операторов вида (2) в неэллиптическом случае, когда их символы вырождаются на том или ином множестве в меры нуль.

Имеется также ряд работ по операторам типа потенциала с особенностями ядер на различных многообразиях в (В.А. Ногин, Е.В. Сухинин, А.Н. Карапетянц, А.П. Чеголин). Интерес к таким потенциалам вызван, прежде всего, их приложением в теории комплексных степеней классических операторов математической физики: волновых операторов, операторов Клейна-Гордона-Фока и Шрёдингера, телеграфного оператора и др.

Дробные потенциалы

введенные и исследованные Р. Стрихарцем, и их модификации (так называемые операторы типа Стрихарца-Пераля-Мияси) также играют важную роль в различных вопросах анализа и математической физики.

Цели работы:

1) получение --оценок для оператора Бохнера-Рисса и акустического потенциала комплексного порядка, в частности, - решение некоторых открытых задач для этих операторов;

2) описание образа акустического потенциала и, то есть, описание естественной области определения комплексных степеней с положительными вещественными частями, оператора Гельмгольца в ;

3) исследование вопроса об ограниченности из в операторов вида (1), ядра и символы которых одновременно осциллируют на бесконечности;

4) описание образов этих операторов в неэллиптическом случае.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы современного вещественного анализа: интерполяция, осцилляторные интегралы, -мультипликаторы. Существенно используются специальные пространства основных и обобщенных функций.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер. Они могут найти и уже нашли применение, например, в задачах описания комплексных степеней неэллиптических дифференциальных операторов, а также при получении --оценок для осцилляторных интегралов (операторов скрученной свертки).

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на студенческих научных конференциях, проходивших на механико-математическом факультете Ростовского госуниверситета; докладывались на научном семинаре технического университета в г. Хемнице (Германия), проходящего под руководством профессоров А. Бётчера и Б. Зильбермана; неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского госуниверситета, на международном Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11]. Работы [1,3-6,8,9,11] выполнены вместе с научным руководителем В.А. Ногиным, а работа [10] совместно с В.А. Ногиным и А.Н. Карапетянцем. В работах [1,3-6,8,9,11] В.А. Ногину принадлежат постановка задач и основные идеи доказательств содержащихся там результатов, Д.Н. Карасеву принадлежат доказательства указанных результатов. В работе [10] В.А. Ногину принадлежит постановка задачи и основные идеи доказательств теорем 1-3. Д.Н. Карасеву принадлежат доказательства теорем 1 и 2.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 66 наименований. Объем диссертации - 107 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию оператора Бохнера-Рисса и акустического потенциала. Оператор Бохнера- Рисса представим в виде

, (3)

,

где - функция Бесселя порядка .

Акустический потенциал, реализующий отрицательные степени оператора Гельмгольца в , имеет вид

(4)

,

(5)

где - первая функция Ханкеля. Получены -- оценки для операторов (3) и (4), а в некоторых случаях удалось описать их L - характеристики, т.е. указать множество всех пар , для которых эти операторы ограничены из в .

В первом параграфе собраны необходимые обозначения, определения и вспомогательные сведения. Для формулировки результатов введем точки:

, , ,

, ,

, , , , , ,

, , ,

, , ,.

, , ,

, .

Рассмотрим следующие множества на - плоскости:

если

, если

, если

и в остальных случаях

(см. рисунки 1 и 2). Здесь символами и обозначаются, соответственно, открытый многоугольник с вершинами в точках и его замыкание.

Через будем обозначать L-характеристику оператора A т.е. множество всех пар , для которых оператор A ограничен из в .

Рисунок 1

Рисунок 2

В §2 получены -- оценки для операторов

(6)

где характеристика такова, что функция , непрерывно дифференцируема до порядка включительно, на интервале и . Описаны выпуклые множества - плоскости для точек которых оператор (6) ограничен из в и указаны области, в которых он не ограничен. Именно, доказано, что

. (7)

Кроме того, установлено, что множество не содержит точек, лежащих: 1) на отрезке и выше него; 2) на отрезке и левее него; 3) выше прямой в случае ; 4) на отрезке, если .

В параграфах 3 и 4 получены - - оценки для операторов (3) и (4). В некоторых случаях описаны L-характеристики указанных операторов. Так, для оператора Бохнера-Рисса справедлива следующая

Теорема 1. Пусть Тогда

. (8)

Кроме того, установлено, что при знак вложения в (8) можно заменить знаком равенства.

Для оператора (4) доказана

Теорема 2. Пусть

I. Справедливо вложение

(9)

II. Множество не содержит точек:

1) лежащих на отрезке и выше него;

2) лежащих на отрезке и левее него;

3) лежащих выше прямой , если;

4) множества , если .

Заметим, что при , теорема 2 описывает L -характеристику оператора . Именно, при указанных значениях справедливо равенство

В §5 даны приложения теоремы 2 к получению - - оценок для оператора , для точек прямой , выше которой этот оператор не ограничен из в (для вещественных ). Доказаны вложения

,

.

Кроме того, рассмотрены модификации акустического потенциала , задаваемые в образах Фурье равенством

, (10)

где , . Операторы (10) близки к акустическим потенциалам в том смысле, что символы операторов и имеют особенности одинакового порядка на единичной сфере.

Замечание 1. В настоящее время имеется ряд работ по оценкам для оператора Бохнера-Рисса и акустического потенциала вещественного порядка (Ch. Fefferman, E. Stein, P., Sjцlin, I. Carleson, C. Sogge, L. Bцrjeson, J.-G. Bak., D. McMichael, D. Oberlin, В.А. Ногин, Б.С. Рубин). Наиболее полные результаты содержатся в теоремах 1 и 2, которые описывают L -характеристики указанных операторов при для оператора и для оператора .

В частности, эти теоремы дают положительный ответ на остававшийся открытым более 20 лет вопрос об ограниченности операторов () и () из в для точек треугольников и .

Замечание 2. Отметим, что большой интерес представляет случай операторов с осциллирующими ядрами, когда их характеристики «плохо» ведут себя (разрывны) на бесконечности. Возникающие в этом случае принципиальные трудности требуют привлечения новых идей и разработки новых методов. Исследования в этом направлении только начинаются; полученные для указанных операторов оценки не вошли в данную диссертацию. Однако, отметим, что в работах [13-16] был рассмотрен случай, когда характеристика в (6) заменена однородной нулевой степени характеристикой . Эта ситуация близка к анизотропной в том смысле, что функция принимает, вообще говоря, разные значения на разных лучах, выходящих из начала координат.

Вторая глава посвящена получению - - оценок для оператора (1).

В §§ 6 и 7 описаны L -характеристики, соответственно, операторов

,

и

где функция является достаточно гладкой в окрестности точки , а стабилизируется в нуле как гельдеровская функция, кроме того, .

В § 8 получены оценки для оператора (1). В некоторых случаях описана L-характеристика этого оператора. Пусть функция удовлетворяет наложенным выше условиям, а . Одним из основных результатов диссертации является следующая

Теорема 3. I. Пусть , , Тогда

. (11)

II. Предположим дополнительно, что

в случае . Множество не содержит точек лежащих:

1) вне множества , если a) и пересечение множеств в правой части (11) непусто, b) ;

2) на отрезке и выше него в случаях a) и b) пункта 1), а также, если , и ;

3) на отрезке и левее него при тех же условиях, что и в пункте 2);

4) на отрезке , если ;

5) выше прямой при в случае a) пункта 1) или в случае и , или, если ;

6) принадлежащих множеству в первых двух случаях пункта 5).

Замечание 3. Отметим, что результаты теоремы 3 можно обобщить на случай потенциала (1) с ядром, имеющим степенные особенности на любом конечном числе сфер в с центром в начале координат. Такое обобщение дано в статье [12].

В § 8 рассмотрены частные случаи изменения параметров, когда, или . В частности, получены - - оценки для потенциалов типа Стрихарца по вида

в предположении, что характеристика в окрестности точки удовлетворяет условиям, наложенным на характеристику в теореме 3, а в окрестности точки - условиям, наложенным на функцию .

Кроме того, приведен ряд эффектов, демонстрирующих влияние осцилляции ядра исследуемого оператора на его картину ограниченности, а также продемонстрировано влияние особенностей ядра на единичной сфере и в начале координат, на ограниченность оператора из в .

Рассмотрим оператор , где , (это означает, что точка {D} лежит ниже {M}, см. рисунок 3), и сравним множества и . Нашей целью является выяснение того, на сколько сильно меняется картина ограниченности оператора при непрерывном изменении параметра

Рисунок 3.

1) Если (это означает, что точка {M} лежит ниже {D}), то и т.к. множество не содержит точек, лежащих вне множества в силу утверждения II (пункт 1)) теоремы 3. Кроме того, уменьшается при уменьшении, и стремится к нулю при .

2) Если , то ={M}={D}.

3) Если , то .

Третья глава посвящена приложению результатов полученных в главах 1 и 2 к обращению и описанию образа оператора (1) в неэллиптическом случае и к описанию образа акустического потенциала.

В § 9 проводится исследование символа оператора (1), необходимое для построения обращения и описания образа этого оператора. В этом параграфе получено представление для символа указанного оператора. Кроме того, исследовано поведение этого символа при и .

В §10, в рамках метода АОО, строится обращение потенциалов (1) с - плотностями в неэллиптическом случае. Здесь мы предполагаем, что

. (12)

Обращение потенциалов , строится в виде

, , (13)

где

, (14)

, .

Как видно из (14), построение обращения потенциала в неэллиптическом случае связано с «улучшением» функции на бесконечности, на единичной сфере и на множестве нулей символа .

По сравнению с условиями на и, наложенными в теореме 3, предположим дополнительно, что и .

Следующая теорема утверждает, что оператор является левым обратным к .

Теорема 4. Пусть , , , с дополнительным ограничением при . Пусть далее . Тогда справедлива формула обращения

, ,

где - оператор (13).

В § 11 дано описание образа в терминах оператора (13) в неэллиптическом случае, когда выполнено условие (12). При этом мы существенно используем оценки для оператора (1), полученные в § 8. Отметим, что возникающие здесь принципиальные трудности связаны с вопросом о плотности в пространства С. Г. Самко-П. И. Лизоркина, построенного по множеству, являющемуся объединением множества нулей символа оператора (1), единичной сферы и начала координат. Эти трудности преодолеваются с помощью оценок для оператора из в , выводимых из (11).

Показано, что при некоторых дополнительных условиях гладкости на ядро , справедлива следующая теорема, являющаяся одним из основных результатов диссертации. Пусть , функции и такие же, как и в теореме 3 при , и , и удовлетворяют условию , в остальных случаях.

Теорема 5. Пусть , , , с дополнительным условием при .

Предположим, что . Тогда

,

где - оператор (13); - произвольные числа такие, для которых оператор ограничен из в .

Существование чисел и , описанных в формулировке теоремы 5 вытекает из - - оценок для оператора , полученных в § 8.

В §12 описан образ акустического потенциала в терминах оператора - левого обратного к . При этом существенно используются оценки для оператора из в , вытекающие из (9). Кроме того, используется построенное В.А. Ногиным и М.М. Заволженским обращение акустического потенциала , в виде

(15)

.

Теорема 6. Пусть, , . Тогда

,

где - оператор (15); числа таковы, что оператор ограничен из в .

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Ногину В.А. за постановку задач, постоянную поддержку и внимание к работе.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Nogin V. A., Karasev D. N, On the L-characteristic of some potential-type operators with radial kernels, having singularities on a sphere // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2001. Vol. 4, No 3. P. 343-366.

[2] D.N. Karasev, -estimates for some potential-type operators with oscillating kernels // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2002, Vol.5, No. 2, P. 131-153.

[3] D. N. Karasev, V. A. Nogin, Estimates for the acoustic potentials and their application // Proceedings of A. Razmadze Math. Inst., 2002, Vol. 129, P. 29-51.

[4] D. N. Karasev, V. A. Nogin, Inversion of some potential-type operators with oscillating kernels in the elliptic and non-elliptic cases. // Integral Transforms and Special Functions, 2002, Vol. 13, P. 529-545 .

[5] D.N. Karasev, V.A. Nogin, Description of the ranges of some potential-type operators with oscillating kernels in the non-elliptic case // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2002, Vol. 5, No 3, 316-349.

[6] D. N. Karasev, V. A. Nogin, ()-estimates for the Bochner-Riesz operator of complex order // Zeitschrift fьr Analysis und ihre Anwendungen, 2002, Vol. 21, No. 4, P. 915-929.

[7] Д. Н. Карасев, -оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Дифференциальные уравнения, 2003, Т. 39, №3, C. 418-420.

[8] Д.Н. Карасев, В.А. Ногин, Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами и некоторые их приложения // Известия высших учебных заведений, Северо-Кавказский регион, естественные науки, 2003, №1, С. 8-11.

[9] D.N. Karasev, V.A. Nogin, On Boundedness of Some Potential-type Operators with Oscillating Kernels // Math. Nachr., 2005, Vol. 278, No. 5, P. 554-574.

[10] A.N. Karapetyants, D.N. Karasev, V.A. Nogin, -estimates for the fractional acoustic potentials and some related operators // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2005, Vol. 8, No. 2, P. 155-172.

[11] Д.Н. Карасев, В.А. Ногин, - оценки для акустических потенциалов и их приложения // Известия Вузов, Северо-Кавказский регион, естественные науки (Приложение), 2006, № 5, C. 3-7.

[12] А.Н. Карапетянц, Д.Н. Карасев, В.А. Ногин, Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Известия национальной академии наук Армении, 2003, Т 38, № 2, С. 37-62.

[13] М.А. Бетилгириев, Д.Н. Карасев, В.А. Ногин, -оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Известия Вузов, Северо-Кавказский регион, Естественные науки, 2004, № 2, C. 27-30.

[14] M.A. Betilgiriev, D.N. Karasev, V.A. Nogin, -estimates for some potential type operators with oscillating kernels // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2004, Vol. 7, No 2, P. 213-241.

[15] М. А. Бетилгириев, Д. Н. Карасев, В. А. Ногин, - оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Материалы международного российско-казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик-Эльбрус, 2004, C. 41-43.

[16] М. А. Бетилгириев, Д. Н. Карасев, В. А. Ногин, Описание образа одного оператора типа потенциала с осциллирующим ядром // Владикавказский математический журнал, 2005, Т 7, Вып. 2, С. 17-25.

Размещено на Allbest.ru

...