Корректность обратных задачи определения пары, в случае простой области для уравнения переноса излучений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Международный казахско-турецский университет

О КОРРЕКТНОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРЫ {u, у}, В СЛУЧАЕ ПРОСТОЙ ОБЛАСТИДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЙ

Сариев А.Д.

Шаждекеева Н.К.

Шыганакова А.Т.3

г. Туркестан

В настоящей статье изучаются локальные свойства интеграла столкновений односкоростного нестационарного уравнения переноса, а также классического решения нестационарного уравнения переноса излучения, рассматриваемого в простой ограниченной области из R3.

Уравнение переноса рассмотрено при следующих предложениях [1-4]:

· все частицы имеют одинаковые по модулю скорости,

· поток частицы из вакуума на внешнюю границу отсутствует,

· индикатриса рассеяния представлена в виде где м0-косинус угла между направлениями .

При этих предложениях уравнение переноса имеет вид

Здесь - функция распределения частиц, - функция источника, - индикатриса рассеяния, - пространственные координаты, - точки единичной сферы Щ со сферическими координатами

Будем говорить, что поверхность области G принадлежит классу если в некоторой окрестности каждой точки она представима уравнением, причем и функция непрерывна, вместе со своими производными до порядка с включительно в упомянутой окрестности. Поверхность называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа поверхностей класса [1-4].

Будем считать, что область G, в которой происходит процесс переноса, состоит из конечного числа подобластей (зон) Gj ограниченных кусочно-гладкой поверхностью, j т.е. - выпуклым. Через обозначим внешнюю поверхность области G. Граничная поверхность области содержит кроме еще поверхности раздела зон (части поверхности j) Gj.

Кроме того полагается, что множество - удовлетворяет условию «обобщенной выпуклости» см. Гермогеновой [1-4] являющаяся характеристикой дифференциального выражения и проходящая через любую точку при любом имеет конечное число точек пресечений с граничной поверхностью Здесь есть время пересечения характеристикой границы множества .

Для включения в рассмотрение областей, отдельных участки поверхности которых имеют прямолинейных образующие, последние достаточно продолжить вдоль образующих по всей области, увеличив тем самым количество зон Gj [1-4].

Для однозначной разрешимости к уравнению (1) необходимо присоединить начальное распределение частиц

и режимы на внешней границе и на границе раздела зон

- класс функции непрерывных в каждом множестве и таких, что

Заметим, что, если то при стремлении вдоль различных прямых, пределы существуют и вообще говоря различны. интеграл нестационарный уравнение задача

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Классическим решением задачи (1)- (4) в области назовем функцию которая для всех

· непрерывна по ф на отрезках и непрерывно дифференцируема по ф в интервалах

· допускает существование интеграла столкновений принадлежащего

· удовлетворяет уравнению

начальному условию (2) и граничным условиям (3)-(4).

Интегрируя уравнение (5) по переменной ф от до t с учетом начального и граничных условий (2)-(4), имеем

где операторы P и R определены формулами

Действуя на уравнение (6) оператором S, для интеграла столкновений N получаем

Операторы P и R определены формулами

Умножим функцию , определенную формулой (8) на . Полученное при этом уравнение проинтегрируем по переменной м' от -1 до 1. Меняя порядок интегрирования в полученных при этом повторных интегралах приходим к уравнению

Операторы K и B определены формулами

Для изучения свойств гладкости интеграла столкновений изучим свойства функций и операторов K и B.

Нам нужны следующие леммы:

Лемма 1. I) Для любых верно неравенство

a, первые производные от xS терпят разрыв 1-ого рода лишь на линиях

II) Для любых верно неравенство

где , причем первые производные функций терпят разрыв 1-го рода лишь на линиях .

Доказательство. Утверждение первого предложения, а также непрерывная дифференцируемость функций , кроме линии непосредственно следует из определения этих функций. Докажем неравенство (11) при S=0. Положим и оценим разность . Она отлична от нуля, лишь когда . Но тогда справедливо неравенство

а потому, в силу неравенства треугольников и очевидного неравенства

следует справедливость оценки (11) при S=0. Неравенства (11) при s=h, s=H доказываются в результате аналогичных выкладок. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть выполнены условия тогда оператор действует из .

Доказательство. Пусть . При t=0 очевидно неравенство

Поэтому пусть . Легко видеть, что

При справедливы соответственно неравенства . Следовательно, в силу условий леммы

Используя технику, применяемую В.И.Агошковым в [5], и неравенство

справедливое при , можем оценить

Из (13) в силу неравенств (14)-(18), (20) получим

Из соотношений (21), (22) и неравенства (12) видим, что функция принадлежит пространству и пространству

Лемма доказана.

Если, кроме условий леммы 2, выполнены условия согласования А, то неравенства (15) - (17) могут быть усилены. Действительно, в этом случае

И так как при верны неравенства , то

Аналогично оцениваются величины J3; J4:

Поэтому из (13) в силу неравенств (14), (23), (24), (18), (20) имеем

Аналогично можно доказать оценку

Из соотношений (25), (26) и неравенства треугольников следует справедливость следующей леммы.

Лемма 3. Если, кроме условий выполнены условия согласования A, то оператор Bдействует из

Лемма 4. Пусть выполнены условия тогда оператор K переводит и классы функций , в причём справедливо неравенство

Доказательство. Пусть

Докажем справедливость оценки

Так как при верны неравенства и , то очевидно

Где

Для интеграла справедливо неравенство

Нетрудно также оценить

где

ограничены.

Действительно, в силу неравенства

и формулы 1.2.52.8 из [6] имеем

Следовательно, при или имеем

Нетрудно видеть, что оценка (33) верна и при

Таким образом доказали справедливость неравенства(28).

Аналогичные выкладки показывают, что справедлива оценка

а потому верно неравенство

Неравенство (4.34) имеет место и при , так как в этом случае можно воспользоваться очевидным неравенством

Аналогично доказывается, что при неравенство

Из соотношений (34) - (35) следует, что при условиях леммы оператор K переводит , а классы функций .

Остаётся доказать неравенство (27). Без ограничения общности можем полагать, что , поэтому, если то

Лемма доказана.

В силу лемм 2 - 4 и используя технику доказательства теоремы 1, нетрудно видеть, что верна.

Теорема 1. Пусть выполнены условия , тогда существует единственное классическое решение задачи (1) -(4).

Список литературы

1. Аниконов Д.С. Об обратных задачах для уравнения переноса./ Аниконов Д.С. //Всесоюзный журнал, Дифференциальные уравнения, г.Минск, Т.10, №1, 1974, С.7-17.

2. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса./ Гермогенова Т. А. -Москва, Наука, 1986. -272 с.

3. Сариев А.Д. Глобальная теорема об устойчивости решения обратных задач нестационарного уравнения переноса./ Сариев А.Д. // Республиканский журнал: Доклады АН РК, серия Физ-мат наук, №1, 2001г, С.16-21.

4. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса. / Султангазин У.М. В книге: Алма-Ата, Наука, 1979. -269 с.

5. Агошков В.И. О гладкости решений уравнения переноса и приближенных методах их построения, / Агошков В.И. В книге: Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения - Новосибирск, 1977.-Выпуск- I. - С.44-58

6. Сариев А. Д. Об областях неопределённых производных высокого порядка от интеграла столкновений нестационарного уравнения переноса./ Сариев А. Д. В книге: По проблеме вычислительной математике и методы научных исследований: 2- Республиканская конференция. Алма-Ата, 1988., С. 19-22.

Аннотация

В статье изложены основные вопросы исследования локальных свойств интеграла столкновений и классического решения нестационарного уравнения переноса излучения, рассматриваемого в простой области из R3.

В статье изучены и доказаны вопросы корректности «в целом» ряда обратных задач для нестационарного уравнения переноса, рассматриваемого в ограниченной простой области из R3, для одновременного определения пары {u, у}.

Приводится гладкость рассматриваемой области, учитывая простату области, доказаны лемма 1-4, на основе этих лемм доказано теорема 1.

Ключевые слова: уравнение переноса, локальные свойства, интеграл столкновений, односкоростное нестационарное уравнение, начальное условие, граничное условие, вопросы корректности решения, ограниченная простая область из R3.

The article outlines the main research questions of the local properties of the collision integral and classical solutions of non-stationary radiative transfer equation, considered in the plain area of R3.

The paper studied and proved the correctness of questions “in the large” number of inverse problems for nonstationary transport equation, considered in a limited plain area of R3, for the simultaneous determination of the pair {u, у}.

We present the smoothness of the area under consideration, taking into account the area of the prostate, to prove the lemma 1-4, on the basis of the lemma is proved Theorem 1.

Keywords: transfer equation, local properties, the collision integral, one-speed time-dependent equation, initial condition, boundary condition, solution correctness issues, limited simple area from R3.

Размещено на Allbest.ru