Решение неклассических интегральных уравнений Вольтерра I рода с вырожденным нелинейным ядром

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение неклассических интегральных уравнений Вольтерра i Рода с вырожденным нелинейным ядром

Асанов А.А.¹, Чоюбеков С. М.²

Аннотация

Интегральные уравнения относятся к разделу математики. Важным из приложений является то, что к ним приводится большое число задач из самых разных разделов физики, техники и других наук. В связи с этим в последние годы теория интегральных уравнений бурно развивается благодаря трудам многих исследователей.

Однако уравнения с двумя переменными пределами интегрирования, которые называют неклассическими, мало изучены. Это, наверно, объясняется трудностями в построении резольвенты и в составлении соотношения для нее, т.к. еще не получено аналитическое представление в общем виде за исключением некоторых модельных случаев.

Ключевые слова: интегральное уравнение, формула Дирихле, малый параметр, двойные интегралы.

Asanov A.A.¹, Choyubekov S.M.²

¹PhD in Physics and Mathematics,

Kyrgyz-Turkey Manas University;

²Senior Lecturer,

Osh State University, Kyrgyz Republic

SOLUTION OF NONCLASSICAL INTEGRAL VOLTERRA EQUATIONS OF FIRST KIND WITH DEGENERATE NONLINEAR KERNEL

Abstract

Integral equations relate to the branch of mathematics, the important thing of which is that a large number of problems a wide range of sections of physics, engineering, and other sciences are reduced to them. Because of this, in recent years the theory of integral equations has been developing rapidly due to the work of many researchers.

However, equations with two variable limits of integration, which are called non-classical, have been little studied.

This is probably due to the difficulties in constructing of resolvent and in constructing a correlation for it since the analytical representation in general form has not yet been obtained except for some model cases.

Keywords: integral equation, Dirichlet formula, small parameter, double integrals.

Интегральные уравнения относятся к разделу математики, важным из приложений является то, что к ним приводится большое число задач из самых разных разделов физики, техники и других наук. В связи с этим в последние годы теория интегральных уравнений бурно развивается благодаря трудам многих исследователей [1], [10].

Однако уравнения с двумя переменными пределами интегрирования, которые называют неклассическими мало изучены. Это, наверно, объясняется трудностями в построении резольвенты и в составлении соотношения для нее, т.к. еще не получено аналитическое представление в общем виде за исключением некоторых модельных случаев.

В данной работе в предположении, что , следуя по методу, предложенному М. Иманалиевыми, А. Асановым [8], устанавливаются достаточные условия регуляризации решения неклассического интегрального уравнения Вольтерра I рода.

Рассмотрим

интегрирование уравнение вольтерр неклассический

(1)

где - заданные функции на отрезке и в области , - искомая функция на отрезке .

Пусть

(2)

Тогда уравнение (1) можно представить в виде:

(3)

Наряду с уравнением (3) рассмотрим:

(4)

- некоторый малый параметр.

Его решение будем искать в виде

(5)

где - решение уравнения (3), а - неизвестная функция

Подставляя (4) из (3) получим

(6)

В результате несложных преобразований последнее сведем к виду

(7)

Используя резольвенту ядра и считая правую часть известным, решение (7) можно представить в следующем виде

(8)

Вычислим двойные интегралы, при этом воспользуемся формулой Дирихле и будем иметь ввиду, что ,

Тогда из (6) получится

(9)

Где

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Потребуем выполнения следующих условий:

Обозначим - пространство Гольдера, т.е. функция определенная в удовлетворяет условию

(15)

Здесь - некоторая постоянная, зависящая от , но не от t и ф. Ещё установлено, что является Банаховым пространством с нормой

(16)

Далее установим справедливость следующих утверждений:

Лемма 1

Если выполняются условия . Тогда для функции определенной по формуле (8), имеет место

(17)

Доказательство:

Доказано.

Лемма 2

Пусть и определены по формулам (9), (10) соответственно. Кроме того, выполняются условия Тогда справедливы оценки:

(18)

(19)

Доказательство

Имея ввиду и воспользовавшись формулой интегрирования по частям, получаем соответствующие оценки.

(20)

Лемма 3

Пусть выполняются условия функция определена соответственно формулой (11). Тогда имеют место следующие неравенства

(21)

(22)

Доказательство

Если переходить к оценке в (11) соответственно с учетом условий леммы, заметив получаем требуемые оценки.

Лемма 4

Пусть

Тогда 1). Если при почти всех и справедлива оценка

(23)

Итак, сформулируем основные результаты:

Теорема 1

Пусть выполняются условия

1) если уравнение (1) имеет решение , то решение уравнения (3) при сходится по норме C к решению и справедлива оценка

(24)

где

2) если уравнение (1) имеет решение , то решение уравнения (3) при сходится по норме C к решению u(t). При этом справедлива оценка

(25)

где

Доказательство

В силу лемм 1-4 из уравнения (7) имеем

(26)

Отсюда имеем

Теорема 1 доказана.

Список литературы / References

1. Чоюбеков С.М. Регуляризация решения неклассического интегрального уравнения с условиями Липшица / Чоюбеков С.М. // Молодой ученый. - Казань. - № 8 (112) - 2016 - с. 34-37

2. Чоюбеков С.М. Об одном классе неклассического интегрального уравнения Вольтерра I рода / Чоюбеков С.М., Бекешов Т.О., Асанов А. // Вестник № 3 Ошского государственного университета - Ош - 2014 - с. 83-88

3. Чоюбеков С.М. О решение неклассического интегрального уравнения I рода в пространстве непрерывных функции / Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. // Вестник № 3, Ошского государственного университета - Ош - 2012 - с. 48-54

4. Асанов А. Регуляризация и единственность решения неклассического интегрального уравнения с условиями Липшица / Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. // Вестник спец.вып. КНУ имени Ж. Баласагына - Бишкек - 2011 - с. 108-111

5. Бекешов Т.О. Единственность решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными / Асанов А., Бекешов Т.О. // Материалы Междунар. Конф. «Актуальные проблемы математики и математические моделирования экологических систем», октябрь, 1996 - Алматы.

6. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: Теория и численные методы / Апарцин А.С. // Новосибирск: Наука, Сибирское отделение - 1999 - 193 с.

7. Апарцин А.С. Применения интегральных уравнений Вольтерра для моделирования стратегий технического перевооружения электроэнергетики / Апарцин А.С., Караулова И.В., Маркова Е.В. и др. // Электричество, 2005 - № 10 - С. 69-75

8. Асанов А. О решениях систем нелинейных двумерных интегральных уравнений Вольтера первого рода / Иманалиев М.И., Асанов А. // ДАН 1991 - Т. 317. № 1. - С. 32-35

9. Иманалиев М.И. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтерра I- рода / Иманалиев М.И., Асанов А. // Исс. по инт-дифф. Урав-м - Фрунзе: Илим 1988, - Вып.21 - С.3-38

10. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.Р. // М: Наука, 1980.

Размещено на Allbest.ru