УДК 517.(075.8)

(24)

отсюда (25)

Значит, одна из исправленных производных в совокупности (21) обращается в нуль в точке t=1 Точка (23) является нулём совокупности разрывных функций (21).

Геометрическое толкование: совокупность касательных в точке (1,1) кривой (20) с угловыми коэффициентами

K=2-5A, A[0,1] (26)

имеет вид

y=1+(2-5A)(t-1), t[0,3],A [0,1] (27)

Отсюда, при уравнение касательной с угловым коэффициентом K=0 имеет вид

y=1,t[0,3] (28)

Эта касательная параллельна оси t. Все касательные проведённые в точке(1,1) кривой (20) с угловыми коэффициентами (26) при образуют с осью t острый угол, а при образуют с осью t тупой угол. (рис 1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис 1

Приложение теоремы 1. Нами доказана весьма важная теорема 1, устанавливающая тесную связь между точкой, где непрерывная функция c(t) (1) принимает наибольшее (или наименьшее) значение и нулем исправленной производной isc (A, a, t) ее.

Теперь ставим задачу так: по заданной на сегменте [t,T] исправленной производной isc(A, a, t), t [t,T] непрерывной функции c(t) (1), исследуем ее на задачу о наибольшем (наименьшем) значении на том же отрезке [t,T].

Если мы сможем решить эту задачу, то мы получим класс таких непрерывных функций, к которым можно применить теорему 1. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 2. Если на отрезке [t,T]существует решение y(t), t[t,T] уравнения.

y= isc(A, a, t ), t (t,T) (29)

удовлетворяющее граничным условиям

y(t)= 0, y(T)= 0, (30)

то оно принимает либо наибольшее, либо наименьшее значение, хотя бы в одной внутренней точке t=c отрезка [t,T].

Доказательство. Ищем решение уравнения(1) в виде

Отсюда, решение уравнения(1)имеет вид

(31)

Оно является непрерывной функцией на отрезке [t,T]. По построению это решение удовлетворяет граничному условию y(t)=0:

(32)

Теперь исследуем его на граничное условие y(T)=0:

y(T)= c(T)-c(t)

Отсюда следует, что граничное условие y(T)=0 выполняется только (и только) в случае, когда

c(T)=c(t) (33)

т.е. когда функция c(t) на концах отрезка [t,T] принимает равные значения:

y(T)= c(T)-c(t)=0 (34)

Итак, при выполнении равенства (33) решение (31) удовлетворяет граничным условиям (30).

Как известно [5], при выполнении условия (33), решение (31) задачи (29)-(30) принимает свое наибольшее ( наименьшее) значение хотя бы в одной внутренней точке t= c отрезка (t,T). Теорема2 доказана.

Итак, к функции (31), являющейся решением задачи (29)-(30), можно применить теорему1.

Видно, что классическая теорема Ролля получила развитие. Это можно продемонстрировать на функции вида

(35)

Она лежит вне сферы влияния классической теоремы Роля. Об этом было сказано в работе [5].

Она охватывается нашей теоремой 1. Действительно её совокупность первых исправленных производных имеет вид

(36)

Согласно формулы (31), её первообразная имеет вид

(37)

Видно, что граничные условия (30) выполняются:

F(0)=0, F(1)=0 (38)

Значит, во внутренней точке отрезка[ 0,1] существует точка, в которой функция (37) принимает максимальное значение. Таковой является точка t=. Из теоремы 1 следует, что исправленная производная, полученная при A=из совокупности (36), обращается в нуль в точке t=:

(39)

Геометрически это значит, что касательная

(40)

будет параллельна оси t.

Все касательные

(41)

при

(42)

образуют с осью t острый угол, а при

(43)

образуют с осью t тупой угол. (рис-2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис 2

Итак, на функции (35) мы убедились, что исправленная производная может решить и те задачи, которые не под силу производной в смысле Ньютона-Лейбница.

Укажем на некоторые задачи в классе разрывных функций вида (7), решения которых удовлетворяют теореме 2 и теореме 1.

Задача 1. Отметим, что решение граничной задачи

y(t)=yy(T)=y

также относится к классу функций, которые удовлетворяют теореме 2 и теореме 1. Здесь

есть вторая исправленная производная непрерывной функции вида

Также отметим, что выявлено весьма важное свойство ограниченного (умеренного) решения начальной задачи

Ограниченное решение этой начальной задачи удовлетворяет граничным условиям

y(a-d)=m, y(a+d)=m, [a-d, a+d](-,),d>0

Значит, оно удовлетворяет теоремам 1 и 2.

Задача 2. Существует такое число , что решение уравнения

y=isc(A,a,t)- , t (44)

удовлетворяет граничным условиям

y(t)=0, y(T)=0 (45)

Покажем это. Решение ее ищем в виде

Значит, решение ее имеет вид y=c(t)-c(t)- (t-t),te[t,T]

В силу граничных условий (45) имеем

y(t)=c(t)-c(t)- (tt)=0

y(T)=c(T)-c(t)-(T-t)=0

Отсюда имеем, что

Тогда решение задачи (44)-(45), удовлетворяющее граничным условиям (45), имеет вид

y=c(t)-c(t)- (46)

По теореме 2 функция (46) принимает либо наибольшее, либо наименьшее значение хотя бы в некоторой точке t=с(t<c<T).

Нас, конечно, интересует случай, когда точка t=c совпадает с точкой t=a, где функция (46) не имеет производной по Ньютону-Лейбницу.

Тогда по теореме1 имеем важную формулу (для разрывных функций) вида

(47)

или формулы конечных приращений (для разрывных функций) с(T)-c(t)=isc'(A,a,a)(T-t)

при

В классе исправлено дифференцируемых функций формула (47) является аналогом классической формулы Лагранжа [5].

Рассмотрим сложную функцию вида

y=c(f(t)), te[t,T],

где

1. p(a-0)=q(a+0)

2. p(a-0)q(a+0)

Задача 3. Существует такое число , что решение уравнения

y=isf (A,a,t)c(f(t))- ,te[t,T],Ae(0,1)

удовлетворяет граничным условиям

y(t)=0, y(T)=0

Аналогично к задаче 2 можно показать, что

при

задача 3 имеет решение. Поэтому по теоремам 1 и 2 можно прийти к особо важной формуле вида

при

Приведем пример. Рассмотрим функцию вида

(48)

Ее первая исправленная производная имеет вид

Теперь, согласно задаче 2, ставим задачу в виде

y=isc (A,2,t)-, t[0,4] (-число),

y(0)=0, y(4)=0

При формуле

поставленная задача имеет решение в виде

y=c(t)-c(0)-(-)(t-0)=

Эта функция удовлетворяет граничным условиям y(0)=0, y(4)=0.

Согласно теоремам 1 и 2, найдутся точки, в которых исправленная производная этой функции обращается в нуль: такими точками являются точки t=2 и t=. В точке t=2 функция y(t) имеет бесчисленные исправленные производные, согласно теореме1 одна из исправленных производных обращается в нуль в этой точке.

Поэтому вычислим исправленные производные функции (48) в точке t=2; она имеет вид

isy(A,2,2)=2-3A+

Отсюда, выделим требуемую производную, для чего решим уравнение относительно А:

2-3А+=0

Отсюда

Имеет место равенство

isc(

или

A в точке по классической теореме Ферма [5] производная обращается в нуль:

т.е имеет место равенство

Геометрический смысл ясен. А именно касательные, проходящие через точки (2,1) и () кривой (48) имеют один и тот же угловой коэффициент, равный

Уравнения их имеют вид

Эти касательные будут параллельными хорде проходящей через точки (0,1) и (4, -1), которая имеет уравнение вида (рис. 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим функцию вида

(49)

Эта сложная функция имеет исправленную производную вида

урчуктный функция дифференциальный теорема

Задача связанная с этой исправленной производной

y=isc(A,1,t)-,

y(0)=0, y(4)=0

при

имеет решение вида

,

которое удовлетворяет граничным условиям

y(0)=0,y(4)=0

Тогда, согласно теоремам 1 и 2 при