Обобщение производной Шварца и ее геометрический смысл

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обобщение производной Шварца и ее геометрический смысл

В статье рассматривается обобщенная производная Шварца (ОПЩ) и важные теоремы, относящиеся к этому понятию, в частности, раскрывается геометрический смысл ОПШ.

Рассмотрим функцию

производная шварц теорема

(1)

непрерывную на отрезке [a,b].

Условие непрерывности функции в точке x₀ задается равенством:

(2)

где

левосторонний и правосторонний пределы функции в точке x_0. Далее, также предполагаем, что функция (х) дифференцируема на отрезке [a, x₀] и функция (х) дифференцируема на отрезке [x₀, b], причем,

, (3)

левая производная функции в точке x₀ не равна правой производной функции в точке x₀,

(4)

И так (х₀ + 0) (х₀ + 0) (5)

При выполнении условий (2) и (5) точку M₀(x₀, f (x₀)), будем называть точкой излома графика функции (рис. 1).

Между прочим, (х₀ - 0) равна угловому коэффициенту касательной прямой проведенной левой части графика AM₀ функции в точке M_0, (х₀ + 0) равна угловому коэффициенту касательной проведенной к правой части графика M_-0B в точке M_0. (рис.1). Для дальнейшего обозначим :

k₁ = (х₀ - 0), k₂ = (х₀ + 0) (6)

и уравнение этих касательных прямых имеют вид:

M₀G: y - y₀ = k₁ (x - x₀), M₀H: y - y₀ = k₂ (x - x₀) (7)

Как введено в статье [1] ОПЩ определяется равенством

(8)

где + > 0, 0, 0, и - не могут одновременно равняться нулю.

И, ОПШ находится по формуле

 (9)

Из формулы (9) видно, что ОПШ зависит линейно от неотрицательных числовых параметров и .

При >0, =0 имеем f (x₀, 0, ) = (x₀ - 0), а при =0, >0 f (x₀, 0, ) = (x₀ + 0).

Если же в формуле (9) ввести параметр, то и ОПЩ находим по формуле

где 0 r 1 (10)

Между тем, r=0 при =0, >0, и f (x₀, 0,) = (x₀ + 0),. Если же > 0, = 0, то r=1 и f (x₀, 1,) = (x₀ - 0),.

Чтобы выяснить геометрический смысл ОПШ сначала рассмотрим простой случай, когда

(11)

т.е функции (x) и (x) - линейные функции.

Очевидно, что (x₀) = (x₀) = y₀ и (x₀ - 0 ) = k₁, (x₀ + 0) = k₂, k₁ k₂.

Далее,

f (x₀ - h) = (x₀ - h) = y₀ + k₁ (-h),

f (x₀ + h) = (x₀ + h) = y₀ + k₂ h,

f (x₀ + h) - f (x₀ - h) = k₂ h + k₁ h, где > 0, > 0, h > 0.

Найдем отношение

(12)

и предел этого отношения при h 0 +. Правая часть равенства (12) не зависит от h, поэтому его предел при h 0 + равен самому числу, а предел с левой части равенства (12) при h 0 + по определению (8) есть ОПЩ. Таким образом

(13)

Отношение геометрически означает угловой коэффициент секущей прямой MN, где M (x₀ - h, f (x₀ - h)), N (x₀ + h, f (x₀ + h)) (рис. 2). Очевидно M M₀ по прямой MM₀ и N M₀ при h 0 + и секущая MN примет предельное положение M₀K параллельное секущей прямой MN. Поэтому угловой коэффициент прямой M₀K будет равен угловому коэффициенту секущей прямой MN.

В силу (13) имеем

(14)

Таким образом, доказали теорему:

ТЕОРЕМА 1: Значение ОПШ равно угловому коэффициенту секущей MN, где,

M (x₀ - h, f (x₀ - h)), N (x₀ + h, f (x₀ + h)).

Определение: Предельное положение секущей прямой MN при h 0 +, т.е. прямую M₀K будем называть касательной прямой в точке излома M₀ графика функции.

Угловой коэффициент касательной прямой M₀K графика функции равна значению ОПЩ, а она равна угловому коэффициенту секущей прямой MN, т.е.

(15)

ТЕОРЕМА 2: Для любой секущей прямой MN графика функции существует единственная касательная прямая проходящая через M₀ и параллельно данной секущей. Меняя значение параметров и , мы получим разные секущие прямые MN и к каждому из них существует касательная прямая M₀K параллельно этой секущей, т.е. через точку излома M₀ график функции проходят бесконечное число касательных прямых.

ТЕОРЕМА 3: Через точку излома M₀ графика функции, проходят пучок касательных прямых уравнение которых имеет вид y - y₀ = k (x - x₀) где k - угловой коэффициент касательных прямых , меняющиеся в пределах k₂ < k < k₁ или k₁ < k < k₂

Доказательство. В силу равенства (14) и (15) имеем. Отсюда

или .

Из последнего равенства ясно, что k k₁ и k k₂. Далее, из этих же равенств заключаем, что если k₁ - k > 0, то k₂ - k < 0, т.к. .

Поэтому k - угловой коэффициент касательной прямой меняется в пределах от k₂ до k₁, т.е. k₂ < k < k₁. Если же k₁ - k < 0, то k₂ - k > 0, т.е. k₁ < k < k₂.

Теперь перейдем к рассмотрению общего случая, когда функция задается формулой (1).

В этом случае по предложению, существуют левые и правые производные функции, которые соответственно обозначим k₁ = (x₀ - 0), k₁ = (x₀ + 0) и будем рассматривать уравнения левой и правой касательной прямых соответственно y = y₀ + k₁ (x - x₀) - левая касательная прямая к левой части графика AM₀, y = y₀ + k₂ (x - x₀) - правая касательная прямая к правой части графика M₀B в точке излома M₀ (рис. 3).

Рассмотрим секущую прямую MN с координатами M (x₀ - h, f (x₀ - h)), N (x₀ - h, f (x₀ + h)) и точек пересечения P и Q секущей MN, с левой касательной M₀G и с правой касательной M₀H, с координатами

.

Очевидно, угловой коэффициент секущей MN и PQ равны, т.е.

(16)

Переход в равенстве (16) к пределу при h 0 + найдем угловой коэффициент касательной прямой M₀K:

(17)

Из равенства (17) заключаем, что угловой коэффициент касательной прямой M₀K равна значению ОПЩ при = и = . Итак, теорема доказана.

ТЕОРЕМА 4: Угловой коэффициент касательной прямой M₀K параллельной секущей прямой MN равна значению ОПЩ при = и = ., т.е. верна формула:

(18)

Из теоремы 4 непосредственно следует аналог теоремы 2, т.е для любой секущей прямой MN графика функции существует единственная касательная прямая в точке излома M₀ параллельно данной секущей.

Умножая обе части равенства (16) на (+) h получим

,

и с учетом обозначений (6) имеем:

(19)

Так как

y = f (x₀ - h) - f (x₀ - h) и ,

и, обозначая x = ( + )h, из (19) получим равенство

(20)

Формула (20) является аналогом формулы Лагранжа конечных приращений.

Из определения ОПШ и известной теоремы матанализа о пределе функции имеем

где с (( + )h)0 при h0+. (21)

Умножая обе части равенства (21) на ( + )h, и обозначая

0(( + )h) = с (( + )h)( + )h (22)

получим

y = f (x₀, , )( + )h + 0 (( + )h), где при ( + )h0 (23)

С учетом того, что x = ( + )h из (23) получим

y = f (x₀, , ) x + 0(( + )h) (24)

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 5: Если существует ОПШ в точке x₀, то y - полное приращение функции представляется в виде форму (24).

Очевидно, верно и обратная теорема 5, т.е. имеет место критерий дифференцируемости функции по Шварцу.

ТЕОРЕМА 6: Для того чтобы функция имела ОПШ в точке x₀, необходимо и достаточно чтобы y- полное приращение функции в этой точке имел форму (24).

Необходимость следует из теоремы 5. Докажем достаточность.

Пусть

y = A ( + )h + 0 (( + )h).

Откуда

 , и

, т.к. при h 0 +.

Введем обозначение dy = f (x₀, , ) x или

dy = f (x₀, , ) dx,

где dx = ( + )h (25)

И, называя dy - дифференциалом функции по Шварцу (ДШ) формулу (23) запишем в виде

y = dy + 0 (( + )h) (26)

При достаточно малом значении h из (26) имеем приближенное равенство

y dy (27)

Из (25) имеем

(28)

т.е. отношение ДЩ к дифференциалу dx ( + )h равна ОПШ.

Наконец докажем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 7: Если существует касательная прямая в точке излома M₀ угловой коэффициент которого равен нулю, то функция в точке x₀ имеет экстремум:

max y при k₁>0 и k₂<0

min y при k₁<0 и k₂>0.

Доказательство. Пусть k=0, т.е. существуют значения и при котором Откуда

и

где . Из последнего равенства заключаем ,что k₂<0 , при k₁>0. В этом случи функция имеет в точке х₀ максимум. Если же k₁<0, то k₂>0 и в точке х₀ функция имеет минимум.

Как видно из теоремы 7, в отличии от классического анализа, условие равенства нулю ОПЩ является достаточным условием существования экстремума функции точке излома М₀.

Из условия равенства ОПЩ нулю имеем

или . Так как , то т.е угловые коэффициенты касательных имеют разные знаки. При этом, для каждого значения находим соответствующее значение по формуле и для этих и значения ОПЩ равна нулю и касательная прямая параллельна оси ОХ . Действительно

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 8. Если ОПШ равен нулю, то k₁ и k₂ имеют разное знаки. Верна и обратная теорема теоремы 8, т. е. Имеем критерий.

ТЕОРЕМА 9. Для того чтобы необходимо и остаточно чтобы .

При этом условии функция в точке х₀ имеем экстремум.

Доказательство: Необходимость. Пусть,тогда k₁ и k₂ имеют одинаковые знаки и из условия 0<k₂<k<k₁ или k₁<k<k₂<0 следует, что при любых значениях параметров и угловой коэффициент касательное k 0 т.е. если , то при любых . и функция не имеет в точке х₀ экстремум. Доказательство достаточности следует из того, что если то k₁ и k₂ имеют разные знаки и существуют значения для которых т.е. .

ЛИТЕРАТУРА

1. Муканов Т.А. Обобщение производной Шварца. //Вестник Иссык-Кульского университета. -Каракол, 1999, №1.

2. Муканов Т.А. Формула нахождения обобщенной производной Шварца. /Материалы научно практической конференции посвященной 60-летию Исык-Кульской области.-Каракол, 2001.

3. Муканов Т.А. Формула нахождения ОПШ. /Материалы научно-практической конференции, посвященной 60-летию Исык-Кульской области. -Каракол, 2001.

4. Муканов Т.А. Следствия формулы нахождения обобщенной производной Шварца. //Вестник Иссык-Кульского университета. -Каракол, 2003, №9.

Натансон И.Н. Теория функций вещественной переменной. -М.: Гостехиздат, 1957.

Размещено на Allbest.ru