Алгоритм построения приближенного решения проблемы оптимального управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 532.546

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Ч.Дж.Джаныбеков

А.А.Уралиев

Работа является продолжением статьи, помещенной в настоящем сборнике и выполненными теми же авторами. Здесь подробно излагается алгоритм, реализующий с помощью вычислительной техники. Правильность и эффективность алгоритма и соответствующий ему программы иллюстрированы на тестовом примере.

В [1] предположили, что относительно допустимых управлений, кроме того, что p(t,x)L2(Q), не накладывается никаких ограничений. Тогда из условия (18) из [1] следует, что оптимальное управление p0(t,x) должно удовлетворять условию

при xD, 0<tT0, где постоянная >0.

Из (1) видно, что при определии функции (t,x) как решение начально-краевой задачи (10) из [1], то получим управляющую функцию p(t,x). В предложенной методике функция (t,x) находится как решение ретроспективной краевой задачи сопряженной краевой задаче для (10) из [1] с конечным условием на конце временного интервала t[0;T0] с условием

На основании изложенной идеи, приближенное решение задачи управления реализуется в следующей последовательности.

Приближенно решаем задачу (1)-(3) из [1] при p(t,x)0, т.е. построим поле напорной функции h(1)(t,x). Здесь индекс (1) над h означает номер итерации. Подставляя найденное значение h(1)(Т0,x) в (10) из [1] решаем эту же задачу, т.е. находим (t,x). Далее согласно (1) имеем р(1)(t,x). Тем самым мы закончим первую итерацию алгоритма приближенного решения проблемы. Найденное значение р(1)(t,x) подставляя в задачу (1)-(3) из [1], начнем вторую итерацию алгоритма приближенного решения. Далее продолжая процесс построим следующие последовательности решения {h(i)(t,x)}, {p(i)(t,x)}. Итерационный процесс продолжим, пока не выполняются при любых (t,x)Q одновременно следующие условия:

||h(i)(t,x)h(i-1)(t,x)||1,

||p(i)(t,x)p(i-1)(t,x)||2,

где 1 и 2 заранее заданные малые положительные числа.

Как видно из вышеизложенного, одна полная итерация состоит из трех этапов.

Приступим к подробному изложению итерационного алгоритма приближенно-разрешающего проблему управления.

Первый этап. Приближенно решаем задачу (1)-(3) из [1] при p(t,x)0. Решение исследуемой начально-краевой задачи ищем методом фрагментов (в частности, можно использовать и МКЭ). С этой целью область разбиваем на фрагменты, состоящие из вертикальных призм с треугольным основанием. Здесь выпуклая область образована из вертикального цилиндра, верхние и нижние поверхности, которого вписанными треугольными многогранниками.

Итак, изложенным способом образована сетка в области , состоящая из n узлов. Решение задачи ищем в виде

где hi(t)=h(t,xi), xi= Ni(x)=Ni(x1,x2,x3) Известно, что функция N_i(x¹,x²,x³) финитна в окрестности узла с номером i, пересекающаяся с областью ., i - номер узлов. Ni - произвольная базисная функция образованная методом фрагментов.

Используя обобщенного метода Галеркина имеем уравнения

откуда окончательно приходим к n соотношениям

Используя значение hn согласно (3) имеем систему линейных дифференциальных уравнений

Здесь

Начальные условия согласно (2) из [1] и (3) берутся в виде:

hj(t)|t=0=f0(xj), j=1, 2, …, n.

Приближенно решим задачи Коши (4), (6) следующим образом. Разбиваем отрезок времени [0;Т0] на равных промежуток, т.е. 0=t0<t1<t2<…<tm=Т0, где

Рассмотрим сначала отрезок времени [t0;t1]. Применяя схему Кранка-Никольсона к системе (4), получим алгебраическую систему

или умножая на t и группируя имеем

где

Учитывая начальное условие (6) (т.к. t0=0) из (9) вычислим qj, j=1,2,…,n. Решая систему (8) методом Гаусса, получим

hi(t1), i=1,2,…,n.

Это решение будет играть роль в качестве начальных условий для системы (4) на отрезке [t1;t2].

Продолжая описанную процедуру для следующих промежутков времени, мы решим за весь отрезка [0;T0], т.е. получим решение задачи (4), (6)

, i=1,2,…,n; k=0,1,2,…m.

Тем самым, закончили первый этап первой итерации алгоритма приближенного решения. Здесь индекс (1) над h означает номер итерации.

Второй этап. Задача (10) из [1] решается следующим образом. Берется выше описанная сетка, расположенная в области . Решение этой задачи ищется в виде. задача управление итерационный время

где i(t)=(t,xi), i - номера узлов, Ni(x) базисная функция определенная в (3).

Применяя обобщенный метод Галеркина к задаче (10) из [1], с учетом (10), приходим к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

где определяются согласно (5).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (11) решается при условии

как ретроспективная задача, и она решается в обратном направлении т.е. при значении переменной t, изменяющая с правого конца интервала [0;T0] в направлении t=0.

Как и выше рассматривается разбиение (7). Рассмотрим сначала отрезок времени [tm-1;tm]. Применяя к уравнению (11) схему Кранка-Никольсона для этой отрезок времени имеем

или умножая на t и группируя получим

где Pij определяются по формуле (9), а

Подставляя (12) в (14) находим gj. Решив систему (13) методом Гаусса, получим

i(tm-1), i=1,2,…,n.

Продолжая эту процедуру до t0 имеем приближенное решение задачи (10) из [1]

i(tk), i=1,2,…,n; k=m,m-1,…,1,0.

Третий этап. Учитывая (36) из (1) получим

, i=1,2,…,n; k=0,1,…,m1,m,

тем самым мы закончили первую итерацию. Здесь индекс (1) над р означает номер итерации.

Для второй итерации разница будет в выражении cj(t) из (5). Здесь вместо функции f(t,x) надо брать f(t,x)+p(t,x), точнее вместо f(tk,xj) надо брать f(tk,xj)+, j=1,2,…,n; k=0,1,…,m.

Итак, мы построили решение данной задачи после i-й итерации p(i)(t,x), h(i)(t,x). Далее проверяется выполнения условий (2) при любых (t,x)Q для заранее заданных чисел 1 и 2.

При выполнения условий (2) в качестве приближенного решения берется p(i)(t,x), h(i)(t,x), в противном случае, имеем решение следующей (i+1)-й итерации.

Для иллюстрации достоверности алгоритма и правильности программы приведем тестовой пример для двухмерной области.

Рассматривается промежуток времени [0;1] и двумерная область Q={(x,y)/0x1, 3y4}. На этой области рассмотрим конкретные функции (х,у)=1+х2+2у2, k(x,y)=1+х2+у2 и на границе (х,у)=1+х2. В качестве точное решение задачи (1)-(3) из [1] в рассматриваемом области при р(х,у)0 берем h(t,x,y)=(t2+1)(1+х2+у2). Ясно, что функции f(t,x,y), f0(x,y) и (t,x,y) находится при подстановке , k, и h в уравнения (1), (2) и (3) из [1] при р(х,у)0, соответственно.

Дискретизацию области осуществляем согласно рисунка.

Описанный итерационный процесс оказался быстросходящимся. Следующая таблица показывает сколько итераций понадобится для того, чтобы достичь заданную точность.

Количество итераций при различной точности решений задачи (1)-(4) из [1]

Таблица

Рис. Разбиение прямоугольника Q на элементы.

Литература

1. Джаныбеков Ч.Дж., Уралиев А.А. О приближенном решении проблем управления процессами, описываемыми параболическими уравнениями.

Размещено на Allbest.ru