????????? ?? http://www.allbest.ru/

4

????????? ?? http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный федеральный университет»

(ДВФУ)

ЛИЦЕЙ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Степенная функция

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Выполнил ученик 10 «А» класса

О.А. Балацкий.

Проверил учитель математики

Е.М. Павлуш

Владивосток 2018



Введение

Во время всего школьного курса мы сталкиваемся с функциями и графиками. До 10 класса - это простые функции, в 10 классе изучаются сложные функции, однако, им уделяется не так уж много внимания.

Понятие переменной величины было введено в науку французским учёным и математиком Рене Декартом (1596-1650). Он ввёл идею числовой функции числового аргумента. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Он начал геометрически изображать не только пары чисел, но и уравнения, связывающие два числа. Однако сам термин «функция» начали применять в конце XVII века Лейбниц (1646-1716) и его ученики.

Цель работы: изучить все представленные виды степенной функции и рассмотреть их использование человеком.



1. Степенная функция с целым четным показателем

Степенные функции с четным показателем можно поделить на функции с положительным и отрицательным показателем степени. От этого зависит большинство её свойств.

1.1 Какие функция называют степенными с четным натуральным показателем?

Если показатель степени равен натуральному четному числу, то такую функцию можно назвать степенной с четным натуральным показателем. Общая формула для таких функций выглядит как y = x²ⁿ, где n - любое натуральное число. Примерами таких функций могут служить y = x², y=x⁸, y=x¹³⁸.

график степенной функция отрицательный

????????? ?? http://www.allbest.ru/

4

????????? ?? http://www.allbest.ru/

График таких функций похож на параболу, которая впрочем является частным случаем подобных функций.



1.2 Свойства степенных функций с четным положительным показателем

1) Область определения: .

2) Область значений: .

3) Функция четная, так как .

4) Функция возрастает при , убывает при.

5) Функция вогнутая при .

6) Точек перегиба нет.

7) Асимптот нет.

8) Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

1.3 Какие функции называют степенными с четным отрицательным показателем?

Если показатель степени равен отрицательному четному числу, то такую функцию можно назвать степенной с четным отрицательным показателем. Общая формула для таких функций выглядит как y = х^-2n, где n - любое натуральное число. Примерами таких функций могут служить y = x^-2, y=x^-8, y=х^-138.



????????? ?? http://www.allbest.ru/

4

????????? ?? http://www.allbest.ru/

1.4 Свойства функций с отрицательным четным показателем

1) Область определения: . прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

2) Область значений: .

3) Функция четная, так как .

4) Функция возрастает при , убывает при.

5) Функция вогнутая при.

6) Точек перегиба нет.

7) Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

8) Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

2. Степенные функции с нечетным целым показателем.

2.1 Какие функции называют положительными с нечетным показателем степени?

Если показатель степени равен положительному нечетному числу, то такую функцию можно назвать положительной с нечетным целым показателем. Общая формула для таких функций выглядит как y = х^2n-1, где n - любое натуральное число. Примерами таких функций могут служить y = x³, y=x⁹, y=х¹³⁹. График таких функций похож на график кубической функции, которая впрочем является частным случаем.

2.2 Свойства функции с нечетным целым положительным показателем

1) Область определения: .

2) Область значений:.

3) Функция нечетная, так как.

4) Функция возрастает при.

5) Функция выпуклая прии вогнутая при(кроме линейной функции).

6) Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

7) Асимптот нет.

8) Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

2.3 Какие функции называют степенными с нечетным отрицательым показателем?

Если показатель степени равен отрицательному нечетному числу, то такую функцию можно назвать степенной с нечетным отрицательным показателем. Общая формула для таких функций выглядит как y = х^-2n-1, где n - любое натуральное число. Примерами таких функций могут служить y = x^-3, y=x^-9, y=х^-139.

2.4 Свойства Степенной функции с отрицательным нечетным целым показателем

1) Область определения: . прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

2) Область значений: .

3) Функция нечетная, так как .

4) Функция убывает при .

5) Функция выпуклая при и вогнутая при.

6) Точек перегиба нет.

7) Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0

8) Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).



3. Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем

Графиком функции служит «половина» уже известной нам параболы, только расположенная несколько непривычно - она повернута на 180° вокруг прямой y = x, или, другими словами, новая кривая симметрична известной относительно биссектрисы первого координатного угла.

Область определения этой функции есть множество неотрицательных чисел, область значений -- тоже множество неотрицательных чисел.

Правила вычисления значений функции по значению переменной довольно сложны, для этой функции составлены специальные таблицы. Впрочем, можно использовать для поиска ее значений таблицы квадратов чисел.

3.1 Показатель больше ноля и меньше единицы

3.1.1 Примеры

Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a, причем .

При других значениях показателя степени a, графики функциибудут иметь схожий вид.

3.1.2 Свойства

1) Область определения: .

2) Область значений: .

3) Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

4) Функция возрастает при .

5) Функция выпуклая при .

6) Точек перегиба нет.

7) Асимптот нет.

8) Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

3.2 Показатель больше единицы

3.2.1 Примеры

Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем.

Приведем графики степенных функций, c степенями равными 5/4, 4/3, 7/3, 3p соответственно.



3.2.2 Свойства

1) Область определения: .

2) Область значений:.

3) Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

4) Функция возрастает при .

5) Функция вогнутая при , если; при, если.

6) Точек перегиба нет.

7) Асимптот нет.

8) Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

3.3 Показатель больше -1 и меньше 0

3.3.1 Примеры

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций cо степенями равными -5/6, -2/3, -1/7, -1/8^1/2 соответственно.

3.3.2 Свойства

1) Область определения: х=0 является вертикальной асимптотой.

2) Область значений: .

3) Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

4) Функция убывает при .

5) Функция вогнутая при .

6) Точек перегиба нет.

7) Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

8) Функция проходит через точку (1;1).

3.4 Показатель меньше -1

3.4.1 Примеры

Приведем примеры графиков степенных функций при соответственно.

3.4.2 Свойства

1) Область определения: х=0 является вертикальной асимптотой.

2) Область значений: .

3) Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

4) Функция убывает при .

5) Функция вогнутая при .

6) Точек перегиба нет.

7) Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

8) Функция проходит через точку (1;1).

3.5 Обобщение степенной функции

Степенная функция - функция вида , где - заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида .

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба есть степенная функция от (длины его ребра): ; период колебаний математического маятника пропорционален длине маятника в степени , а именно . Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление и объем связаны формулой (для воздуха, например, ). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.

При любом показателе степени показательная функция определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если - натуральное число , то функция определена на всей числовой оси, обращается в нуль при , четная при четном и нечетная при нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента . На рис. 1 и 2 приведены графики типичныхс тепенных функций с целым положительным показателем:(кубическая парабола) и (парабола четвертой степени). При степенная функция является линейной функцией, при - квадратичной функцией .



4. Применение степенной функции

4.1 Применение функции с целым четным показателем

Квадратичную функцию используют в самых разных областях человеческой физики, таких как например баллистика или оптика, расчет потенциальной энергии.

Очень интересно свойство параболы «провернутой» вокруг своей оси. Если после этого отсечь у её верхнею часть параллельно оси х, то мы получим фигуру, которая способна фокусировать свой свет в определенной точке -- параболоид.



4.2 Применение функции с нечетным целым показателем

Во времена второй мировой войны Гиперболы применялись для определения местоположения. На двух радиостанция одновременно испускалось два радиосигнала, человек определяющий своё местоположение расчитывал время между приходом каждого из этих дух сигналов, после чего строил на карте две гиперболы. Местом их пересечения и было его дислокация.

4.3 Применение степенной функции с различными показателями

Возможно применение некоторых графиков степенных функций для визуализации зависимости температуры от размера звезд:





Заключение

Рассмотрев многие виды степенных функций мы лучше запомнили их свойства и значение в нашей жизни.

Проследив за сферами применения степенной функции, мы можем заметить что они практически не встречаются в животном мире. Большинство из них человек или использует благодаря выведению из математических формул, исследованию далекого космоса или невидимого глазу спектра.



Список источников

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Степенная_функция

2. http://www.algebraclass.ru/kubicheskaya-funkciya/

3. http://fizmat.by/math/function/quadratic_function

4. http://www.yaklass.ru/p/algebra/9-klass/chislovye-funktcii-9132/stepennaia-funktciia-s-naturalnym-pokazatelem-12044/re-c7626d3e-e29a-41e9-970f-1a5540f90427

5. https://studfiles.net/preview/3557145/page:5/

6. https://infourok.ru/matematicheskie-funkcii-v-zhizni-1534920.html

7. http://sernam.ru/book_e_math.php?id=129

Размещено на Allbest.ru

...