Математическое моделирование механических систем

Ключевые слова: инерционные параметры, механическая система, уравнения движения, математическая модель, упругие звенья.

Наиболее распространенной механической системой являются многомассовые крутильно-колебательные системы. К ним относятся системы с сосредоточенными параметрами, соединенные между собой упругими безмассовыми участками валов. Эти системы могут быть цепные, а также разветвленные с постоянными и периодически изменяемыми параметрами [I]. Анализ движения сложных механических систем, особенно многомассовых крутильных колебательных систем с сосредоточенными и распределенными массами, к которым приводятся многие расчетные схемы технологических машин и автоматических линии, связан с задачей построения общих динамических моделей систем и локальных моделей систем с нелинейными функциями положения.

При составлении динамической модели исходят из предположений, что инерционные свойства системы отображаются массами mij или моментами инерции сосредоточенными в сечениях, которые соединены безинерционными упруго- диссипативными связями сij . Движение такой многомассовой крутильной системы описывается системой уравнений вида.

Здесь - матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов, Q; - обобщенные силы.

Инерционные коэффициенты каждого диска многомассовой механической системы зависят от значений приведенных к ним моментов инерции отдельных механизмов, т.е.

.

Обобщенные координаты механической системы (1) могут выбираться различными способами. Как известно, каждый определяется методом приведения масс из условия равенства кинетических энергий для каждого положения приводимого механизма, определяемого обобщенной координатой звена приведения.

Если при решении прямой задачи динамики в первом приближении можно предполагать, что все элементы системы абсолютно жесткие, которые дают достаточную для практики информацию об изменении параметров, то решение второй задачи в задаче динамического проектирования нельзя не учитывать упругие свойства элементов, силы трения и зазоры в кинематических парах и другие нелинейные характеристики механизма.

Построение математической модели таких систем связано с экспериментально-расчетным вычислением приведенных инерционных параметров многих передаточных и исполнительных механизмов. Поэтому следует разработать новые методики и подходы моделирования и автоматизации решения задач динамического анализа и синтеза сложных механических систем. Выбор способа решения уравнения движения зависит от характера действия заданных сил и от передаточных свойств механизма. При этом размеры, массы и моменты инерции звеньев должны быть известными или должны быть определены расчетными и экспериментальными методами. Однако возникает необходимость решения и обратной задачи, когда заданы кинематические характеристики движения машины и необходимо найти оптимальные значения масс моментов инерции, а следовательно и размеров звеньев, при которых механизмы нагружаемые заданными силами, двигались бы в требуемом режиме.

Например, для механизмов высоких классов (МВК), вопрос учета упругих свойств звеньев и трения в кинематических парах стоит абсолютно остро. Поэтому даже в идеальном механизме при постоянной скорости входного звена, скорости и ускорения остальных звеньев являются переменными, что приводит к появлению значительных инерционных нагрузок, которые накладываясь с внешними нагрузками могут привести к значительным деформациям звеньев. Связь между нелинейными характеристиками движения, как системы недеформированных элементов, и его линейными упругими деформациями выступает в качестве основной задачи динамики системы с упругими элементами. В большинстве выполненных к настоящему времени исследованиях эта задача формулируются в подвижной системе отчета, следующей за движением системы, состоящей из недеформируемых элементов. Относительно такой системы отчета и измеряются упругие деформации звеньев. В зависимости от того как связаны упругие перемещения с движением системы, с жесткими элементами, исследования их динамики можно разделить на две основные категории, использующие одноэтапные и двухэтапные методы.

В одноэтапных методах изучения движения механической системы с жесткими элементами малые упругие перемещения моделируются одновременно. Эти методы приводят к системам уравнений, решение которых описывают как "жесткое", так и малые упругие перемещения одновременно.

В двухэтапных методах на первом этапе выполняют расчет системы с недеформируемыми элементами, что определяет основное номинальное движение. Эти результаты используются в качестве входных данных второго этапа вычислений, которые дают упругие перемещения.

Двухэтапные методы обладают тем преимуществом, что всегда приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Их основной недостаток необходимость проведения двух независимых расчетов в сочетании с итерационным процессом, учитывающим изменение "жесткого" движения вследствие упругих перемещений звеньев. Одноэтапные методы приводят к смешанной системе алгебро- дифференциальных уравнений, которые требуют выполнения только одного расчета.

В быстроходных машинных агрегатах используются системы с существенно упругими элементами. Процесс закручивания валов или сжатие пружин осуществляется за счет передаточных механизмов под действием движущего момента со стороны двигателя. Процесс разрядки происходит под действием потенциальных энергии закрученных валов или сжатых пружин. При этом движение таких исполнительных механизмов с упругими звеньями не зависит от вращения главного вала машинного агрегата (системы независимого движения).

Часто, приводимые к сечениям общей модели машин, передаточные или исполнительные механизмы представляют систему с одной степенью свободы с жесткими звеньями. Движение такой системы с голономными связями описывается уравнением

где - угол поворота звена приведения.

Для определения инерционных коэффициентов динамической модели машин можно воспользоваться уравнениями движения отдельных приводимых к общему валопроводу механизмов вида (2). Значения приведенных моментов сил могут быть определены известными методами для каждого приводимого механизма. Законы движения, без учета колебательных явлений, динамических ошибок входных звеньев отдельных механизмов определяются из характеристики двигателя и функции положения. Использование уравнения движения исполнительных механизмов для определения приведенного момента инерции при построении общей динамической модели сложной машины, удобно при изучении движения так называемых механизмов независимого действия. Такие механизмы, у которых основное движение осуществляется за счет моментов упругих сил закрученных валов или сжатых пружин, часто встречаются в текстильных машинах [2]. Уравнение (2) может быть рассмотрено относительно функции как линейное дифференциальное уравнение первого порядка с коэффициентами . Например, движение механизма боя станков автоматов [2], в процессе зарядки (закручивания) торсионного вала, можно описывать уравнением:

(3)

где - угол поворота упругого вала, который определятся функцией положения системы и характеристикой двигателя. Закручивание упругих валов и сжатия упругих пружин, осуществляются в течение сравнительно большего временя чем времени разрядки упругих элементов. Решив уравнение (3) при известных начальных условиях можно определить значения приведенного момента инерции механизма для каждого положения [3].

Действительно, дифференциальное уравнение первого порядка относительно приведенного момента инерции исполнительного механизма имеет вид:

(4)

Решение уравнения (4) при имеет вид:

Вычисляя отдельно интеграл:

получим:

(5)

- определяется через функции положения между главным валом машинного агрегата и входным звеном исполнительного механизма с упругим элементом.

Поскольку положение системы в процессе разрядки (раскручивания) под действием закрученного упругого вала соответствует его положению при зарядке, полученные значения приведенного момента инерции и определяют инерционные характеристики системы при моделировании ее движения в процессе разрядки.

Таким образом, использование уравнения движения исполнительных и передаточных механизмов с существенно-упругими звеньями позволяет автоматизировать построение математической модели многомассовых механических систем.