Новый подход к численному решению линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

НОВЫЙ ПОДХОД К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С.В. Трубников

АННОТАЦИЯ

Предложен новый подход к построению численных методов решения линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Рассмотрен новый эффективный численный метод решения названных краевых задач.

Ключевые слова: численный метод; линейная краевая задача; обыкновенное дифференциальное уравнение.

В 2004 г. был введен и описан новый класс кривых, названных кинематическими [2]. На их основе в 2006 г. был разработан новый подход к численному решению задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [3]. Вниманию читателей предлагается новый подход к численному решению линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, принципиально близкий к подходу, описанному ранее [3]. На его основе получен новый эффективный численный метод решения линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ниже описан этот метод и проиллюстрирована его реализация.

Рассматривается краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

линейный дифференциальный уравнение

(1)

, , (2)

где a, b (a<b), , - заданные постоянные; , , - заданные непрерывные функции, такие, что краевая задача (1, 2) имеет единственное решение, которое мы в дальнейшем будем называть точным решением и обозначать .

Для построения приближенного решения этой краевой задачи сделаем замену переменных. Зададим натуральное число и введем вещественную величину

.

Введем новую переменную ,

,

и функцию

. (3)

Преобразуем краевую задачу (1, 2), используя новые переменные t и u, и получим следующую краевую задачу:

(4)

, , (5)

Обозначим точное решение краевой задачи (4, 5). Оно связано с точным решением краевой задачи (1, 2) отношениями (3).

Ранее [2] были введены составные кинематические кривые, задаваемые векторным параметрическим уравнением вида

+ при , .

Здесь -заданные векторы, а

, , , , , .

Обозначим компоненты векторов как и , а компоненты - и . Тогда

=+ при , .

=+ при , .

Приведем некоторые существенные для дальнейшего изложения свойства составной кинематической кривой:

1. Компоненты , векторной функции на каждом

представляют собой интерполяционные многочлены Эрмита 5-го порядка с двумя трехкратными узлами интерполяции: и . Условия интерполяции для функции имеют следующий вид:

, , ,

, , .

Условия интерполяции для функции :

, , ,

, , .

2. Векторная функция и ее производные - и - непрерывны на .

3. , , , .

4. Если , , при , то , и

кинематическая кривая представляет собой график функции, которая является результатом кусочно-многочленной интерполяции многочленами Эрмита 5-го порядка:

=+при , . (6)

Введем на равномерную сетку точек . Ей соответствует равномерная сетка точек на . Шаги этих сеток равны 1 и соответственно. Будем искать непрерывное приближенное решение задачи Коши (4, 5) в виде интерполяционной функции, задаваемой формулой (6):

=+при , . (7)

Здесь (; ) - постоянные, полностью определяющие приближенное решение . График приближенного решения совпадает с кинематической кривой, задаваемой формулой

при , .

Из первого и четвертого свойств составных кинематических кривых следует, что

, , , . (8)

Соответствующее непрерывное приближенное решение задачи Коши (1, 2) получим с помощью отношения (3). Таким образом,

. (9)

Невязкой дифференциального уравнения (4) на непрерывном приближенном решении (7) назовем функцию

. (10)

Невязкой дифференциального уравнения (1) на непрерывном приближенном решении (9) назовем функцию

. (11)

Несложно показать, что

, ,

, .

Наряду с непрерывными приближенными решениями и краевых задач (4, 5) и (1, 2) можно рассматривать и сеточные приближенные решения. В самом деле, из соотношений (8) и (9) следует, что величины . Поэтому их можно интерпретировать как компоненты приближенного сеточного решения задачи (4, 5), а также и задачи (1, 2). Из равенств (8) и (9) также следует, что и можно интерпретировать как компоненты сеточных аппроксимаций первой и второй производных точного решения задачи (4, 5). А множество {(, , ) : } можно интерпретировать как обобщенное сеточное приближенное решение задачи (4, 5). С другой стороны, непрерывное приближенное решение задачи (4, 5) можно интерпретировать как результат кусочно-многочленной интерполяции обобщенного сеточного решения.

Из определений невязок (10) и (11) следует, что непрерывные приближенные решения и краевых задач (4, 5) и (1, 2) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

, (12)

. (13)

Граничные условия для этих дифференциальных уравнений выберем такие же, как и для точных решений:

, , (14)

, . (15)

Таким образом, непрерывное приближенное решение краевой задачи (4, 5) удовлетворяет краевой задаче (12, 14), а непрерывное приближенное решение краевой задачи (1, 2) удовлетворяет краевой задаче (13, 15). Введем погрешности непрерывных приближенных решений и как функции и , определенные на соответствующих отрезках интегрирования:

, ,

, .

Из представлений (3) и (9) следует, что

, ,

, .

Вычитая из уравнения (12) уравнение (4) и учитывая краевые условия (14), и (5), получим краевую задачу для погрешности :

, (16)

, . (17)

Вычитая из уравнения (13) уравнение (1) и учитывая краевые условия (15), и (2), получим краевую задачу для погрешности :

, (18)

, . (19)

Наряду с погрешностью непрерывного решения введем погрешности компонент обобщенного сеточного решения:

, ; (29), ;

, .

Погрешности непрерывных приближенных решений и компонент приближенного сеточного решения связаны очевидными соотношениями:

, .

Пусть на множестве функций (определенных на ), к которому принадлежат , и , введена норма . На множестве функций (определенных на ), к которому принадлежат и , введена норма .

Будем называть линейную краевую задачу (1, 2) устойчивой по правой части дифференциального уравнения, если существуют постоянные и , такие, что для любой функции , удовлетворяющей условию , краевая задача

(20)

, , (21)

имеет единственное решение и выполняется неравенство . (22)

Теорема 1. Если краевая задача (1, 2) устойчива по правой части дифференциального уравнения и , то .

Доказательство. Так как , найдется натуральное число , такое, что для всех будет выполнено неравенство . Пусть . Заметим, что краевая задача (20, 21) совпадает с задачей (18, 19), если . Положим . При выполняется неравенство . Тогда из определения устойчивости краевой задачи (1, 2) следует, что существует единственное решение задачи (20, 21), . Но задача (18, 19) совпадает с задачей (20, 21), и их единственные решения тоже совпадают: . А ввиду устойчивости краевой задачи (1, 2) по правой части дифференциального уравнения должно выполняться неравенство (22). Подставляя туда равенства и , получим

. (23)

Из неравенства (23) непосредственно следует доказываемое утверждение.

Теорема 2. Пусть на невязка удовлетворяет условию Липшица и при каждом значении на этом отрезке задана сетка точек , покрывающая , а расстояние от любой точки до ближайшего узла сетки не превышает положительной постоянной , причем при . Пусть значения неизвестных постоянных при каждом натуральном значении единственным образом определяются из условий обнуления невязки в узлах сетки:

, . (24)

Тогда .

Доказательство. Зафиксируем произвольное натуральное значение . Модуль невязки также удовлетворяет условию Липшица, а следовательно, является непрерывной и ограниченной функцией на и имеет максимум на этом отрезке. Обозначим константу Липшица для модуля невязки . Пусть - одна из точек максимума модуля невязки, а - ближайший узел сетки, в котором модуль невязки обращается в 0. Расстояние между этими точками

. (25)

Запишем условие Липшица для модуля невязки:

. (26)

Учитывая неравенство (25), а также то, что , , из условия (26) получим:

при .

Отсюда следует утверждение нашей теоремы.

Из сходимости приближенного непрерывного решения к точному непрерывному решению следует, очевидно, сходимость приближенного сеточного решения к точному сеточному решению.

При достаточной степени гладкости точного решения краевой задачи, позволяющей использовать оценку погрешности интерполяции, будет справедливо и обратное утверждение.

Исходя из приведенных соображений, можно сформулировать общий принцип постановки условий для определения неизвестных величин , которые могли бы (в определенных условиях) обеспечить сходимость непрерывного приближенного решения краевой задачи к точному решению при . В условиях теоремы 1 эти условия должны обеспечивать предельное обнуление невязки: . А в условиях теорем 1 и 2 можно использовать условия обнуления невязки в узлах сетки (24).

Аналогично формулируются принцип предельного обнуления невязки и условия обнуления невязки в узлах сетки для краевой задачи (4, 5).

На основе описанного подхода можно построить много разных численных методов решения линейных краевых задач. Рассмотрим одну из таких вычислительных схем. Непрерывные приближенные решения и полностью определяются обобщенным приближенным сеточным решением с компонентами (; ). Компоненты и будем определять точно, используя граничные условия (5) и свойства (8):

, . (27)

Для определения остальных компонент обобщенного сеточного решения сформулируем условия, аналогичные условиям (24). Потребуем, чтобы на каждом () выполнялись следующие условия:

, ; (28)

, ; (29)

, ; (30)

, . (31)

Учитывая определение невязки и свойства (8), условия (28) и (29) можно записать в виде

,

.

Отсюда мы получим выражения для компонент через компоненты и :

, , (32)

, . (33)

Подставляя в выражение для невязки (10) представление для приближенного решения (7) и выражения (32) и (33), получим

=+ при , , (34)

где

при , . (35)

Подставляя в условия (30) и (31) выражения для невязки (34), (35) и выражения для компонент и приближенного сеточного решения (32) и (33), получим линейную систему вида

, , (36)

, . (37)

Здесь

, ,

, ,

, ,

, ,

,

.

Добавляя к уравнениям (36), (37) выражения (27), мы получим линейную систему относительно компонент обобщенного приближенного сеточного решения () и (). Число уравнений совпадает с числом неизвестных. Для решения системы предлагается эффективный прямой метод. Рассмотрим его.

Обозначим

, , .

Несложно показать, что

, .

Таким образом, при любом значении () система двух уравнений (36, 37) будет иметь единственное решение как относительно , , так и относительно , при достаточно маленьких значениях (при достаточно больших значениях ). Поэтому для решения системы (27, 36, 37) мы будем строить прямой численный метод, аналогичный методу прогонки [1].

Запишем уравнения (36, 37) при и, подставив в первое уравнение выражение (27), получим

, (38)

. (39)

Здесь

, , , .

Решим систему (38, 39) относительно , и подставим это решение в уравнения (36, 37) при . В результате получим систему линейных уравнений такого же вида:

, (40)

. (41)

Решим систему (40, 41) относительно , и подставим это решение в уравнения (36, 37) при . В результате опять получим систему линейных уравнений такого же вида. Продолжая этот процесс, после -й подстановки мы получим систему вида

,

.

Решив систему относительно , , получим

, (42)

. (43)

Здесь

.

Подставим выражения (42, 43) в систему

,

,

которая получается из уравнений (36, 37) формальной заменой на . В результате получается следующая система:

, . (44)

Здесь

, , (45)

, , (46)

, , (47)

, . (48)

Выполняя описанные подстановки по формулам (44 -48) при , мы в конце получим систему вида

, .

Подставив в нее второе выражение (27), получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, и :

, . (49)

Если определитель матрицы коэффициентов этой системы

,

то система (49) будет иметь единственное решение:

, .

Затем, по формулам (42, 43) получаем остальные неизвестные.

Непрерывное приближенное решение получается на основе приближенного сеточного решения по формулам (7) и (9).

Погрешности непрерывных решений и являются решениями краевых задач (18, 19) и (16, 17) соответственно. Для их получения необходимо решить эти задачи. Но задача (18, 19) совпадает с задачей (1, 2), если положить , . Поэтому для определения мы будем использовать описанный численный метод, но количество отрезков разбиения необходимо выбирать отличным от . Оценка погрешности представляется аналогично приближенному решению. Вначале вводится функция, аналогичная :

=+при , .

Компоненты определяются аналогично тому, как определялись компоненты . А в качестве приближенной оценки погрешности приближенного решения выберем

.

При расчетах значение необходимо выбирать большим или равным . Это связано с тем, что невязка имеет приближенно синусоидальный график (рис. 1) и расстояние между нулями этой функции равно .

Описанный метод был реализован в виде программы на языке Visual Basic. Приведем в качестве иллюстрации возможностей метода некоторые численные результаты. Рассматривалась следующая модельная краевая задача:

,

, .

Существует единственное решение этой задачи:

Рис. Графики погрешности и невязки :

а - погрешность при ; б - невязка при ; в - погрешность при ; г - невязка при

, .

Предложенная в статье вычислительная схема решения первой краевой задачи путем элементарной модификации может применяться для решения второй и третьей краевых задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.: Наука, 1987. - 600с.

2. Трубников, С.В. Кинематические кривые / С.В. Трубников // Вестн. БГУ. Естественные и точные науки. - 2004. - № 4. - С.122-128.

3. Трубников, С. В. О новом подходе к построению численных методов решения одномерных задач Коши на основе эрмитовой кусочно-многочленной интерполяции / С.В. Трубников // Вестн. БГУ. Естественные и точные науки. - 2004. - № 4. - С. 199-217.

Размещено на Allbest.ru

...