Модель инженерной поверхности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модель инженерной поверхности

В.П. Тихомиров, М.А. Измеров

Аннотация

УДК 621.891

МОДЕЛЬ ИНЖЕНЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В.П. Тихомиров, М.А. Измеров

Представлена процедура создания моделей инженерных шероховатых поверхностей на основе фрактального представления. Модели поверхности и профиля описаны уравнением Вейерштрасса-Мандельброта.

Ключевые слова: фрактал, фрактальная размерность, моделирование, инженерные поверхности.

Содержание статьи

При расчете параметров контактного взаимодействия используют разные модели поверхности. Одной из известных моделей поверхности является модель, представляющая собой набор сферических сегментов, имеющих разную высоту и одинаковый радиус закругления верхней части [1]. Этот набор расположен на плоскости, являющейся средней плоскостью шероховатой поверхности.

Известны подходы, в которых шероховатую поверхность представляют в виде случайного поля, а профиль поверхности - в виде нестационарного случайного процесса [2].

Однако использование в модели поверхности одинакового радиуса вершин выступов приводит в ряде случаев к получению некорректных оценок параметров контактного взаимодействия [3].

Инженерные поверхности могут включать в себя макроотклонение от правильной геометрической формы, волнистость и шероховатость. Учет этих топографических особенностей приводит к необходимости создания многоуровневых моделей поверхности и усложнению расчетов при оценке параметров контактирования твердых тел. Представление инженерной поверхности в виде фрактального объекта и использование компьютерных технологий позволяют упростить решение контактных задач с учетом шероховатости без потери точности оценок параметров контактного взаимодействия [4].

На рис. 1 представлены модели фрактальных поверхностей при разных значениях фрактальной размерности.

Рис. 1. Модели фрактальных поверхностей

Фрактальная размерность поверхности имеет следующий диапазон изменения: 2<Ds<3.

Для определения фрактальной размерности поверхности возьмем сечение поверхности плоскостью, параллельной срединной плоскости поверхности (рис. 2). Считается, что все "острова" на рис. 2 самоподобны. Тогда для анализа соотношения "периметр-площадь" выделим характерный "остров". На рис. 3 представлена процедура определения фрактальной размерности клеточным методом.

Рис. 2. Сечение фрактальной поверхности

Рис. 3. Покрытие фрактального объекта сеткой с квадратными ячейками [5]

Cчитаем, что число квадратов пропорционально соответствующим параметрам (площади и периметру):

N_A A, N_P P.

Зависимость числа клеток N_A, покрывающих площадь "острова", от числа клеток N_P, в которые попала "береговая" линия "острова", построенная в логарифмических координатах при разных размерах стороны квадратной ячейки, оценивается в данном примере уравнением регрессии:

N_A= -69,14+3,303N_P.

Фрактальная размерность определяется выражением:

Рассмотрим особенности моделирования фрактальной поверхности и процедуру определения параметров модели.

Профиль инженерной поверхности может быть описан уравнением Вейерштрасса-Мандельброта:

Здесь G - фрактальный параметр шероховатости; D - фрактальная размерность профиля (D=2-H, 1<D<2); - масштабный параметр (>1), ⁿ определяет частотный спектр профиля шероховатой поверхности.

К параметрам, характеризующим профиль шероховатой поверхности, следует отнести G, D и n. По мнению А. Маджумдара [6], подходящим значением для описания профиля является величина =1,5.

Нижний предел суммирования в уравнении Вейерштрасса-Мандельброта равен:

n₁=ln(1/L)/lnг,

где L - длина выборки.

На рис. 4 представлены профили поверхностей при разной фрактальной размерности, полученные с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта.

 а)

б)

в)

Рис. 4. Профили поверхностей при фрактальной размерности: а - D=1,2; б - D=1,4; в - D=1,6

А. Маджумдар предложил связать статистические показатели поверхности с фрактальными параметрами.

Так, связь между средним квадратическим отклонением ординат профиля у и мощностью спектральной функции S(щ) имеет вид:

.

Здесь _min и _max - наименьшая и наибольшая частоты.

В расчетах обычно принимают выборочное значение (оценку) среднего квадратического отклонения, т.е.

у = Rq.

Наибольшая частота связана с разрешающей способностью инструмента измерения (радиусом щупа), а наименьшая - с длиной выборки.

Мощность спектральной функции Вейерштрасса-Мандельброта определяется выражением:

.

Учитывая, что у = Rq, после несложных преобразований запишем:

.

Проинтегрировав, получим:

.

Отсюда фрактальный параметр шероховатости будет равен:

.

Параметр G изменяется в пределах от 9,9·10^-16 до 1,2·10^-2 мкм. Так, при =1,5, Rq=1,5 мкм, D=1,1, _max=1/8 мкм и _min=1/400 мкм G=6,27·10^-7 мкм.

Изменяя Rq при неизменяемых значениях D и , получим следующие значения параметра G:

Отмечается существенная разница в оценке параметров шероховатости при использовании фрактального и статистического методов [7]. В табл. 1 приведены некоторые формулы для определения параметров шероховатости.

Таблица 1. Сравнительная оценка параметров шероховатости

В табл. 2 приведены средние значения некоторых параметров шероховатости [8]: Rq - среднее квадратическое отклонение ординат профиля; Ra - среднее арифметическое отклонение; Rmax - наибольшая высота неровностей; n(0), m, s - соответственно число нулей, максимумов, перегибов на единицу длины.

Таблица 2. Средние значения параметров шероховатости

Фрактальная модель поверхности имеет вид:

где с_z - сомножитель; q - параметр пространственно-частотного масштабирования (q>1); D - фрактальная размерность (2<D<3); N,M - число гармоник; K - основное пространственное волновое число; и_nm - случайная фаза, распределенная равномерно в интервале [-р, +р].

Сомножитель c_z определяется из соотношения [9]:

Данная функция содержит в себе как случайную структуру, так и детерминированную составляющую, отражая особенности некоторых инженерных поверхностей. Функция Z(x,y) является анизотропной в двух направлениях, если N и M не очень велики. Поверхности, полученные с помощью этой функции без учета и_nm и при N=M=5, приведены на рис. 5.

а) б)

Рис. 5. Модели поверхностей при N=M=5, q=2,7: а - D=2,5; б - D=2,2

На рис. 6 представлена модель поверхности с учетом случайной фазы, распределенной равномерно в интервале [-р, +р], при следующих данных: c_z=0,2; N=M=10; D=2,2; q=2,7.

Рис. 6. Модель поверхности при N=M= 10; q=2,7; D=2,2

При исследовании контакта двух фрактальных поверхностей, имеющих свои фрактальные размерности, целесообразной представляется замена такого контакта на контакт гладкой поверхности с приведенной фрактальной. Подобная процедура может оказаться эффективной при замене контактного взаимодействия двух шероховатых поверхностей на контакт гладкой поверхности с шероховатой, имеющей эффективную шероховатость.

Таким образом, в работе предложена модель инженерной поверхности, основанная на фрактальных представлениях об объектах, имеющих дробную размерность.

инженерная шероховатая поверхность фрактальное

Список литературы

1. Greenwood, J.A. Contact of nominally flat surfaces/J.A. Greenwood, J.B.P. Williamson// Proc. R. Soc. Series A. - 1966. - V.295. - №1422. - P.300-319.

2. Sayles, R.S. Surface topography as a nonstationary random process/ R.S. Sayles, T.R. Thomas//Nature. - 1978. -V.271. -P.431-434.

3. Тихомиров, В.П. Двухмерная модель неровностей поверхности твердых тел/В.П. Тихомиров, О.А. Горленко//Трение и износ. - 1986. -Т.7. - №3. -С. 527-531.

4. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы: [пер. с англ.]/Б. Мандельброт. - М.: Ин-т компьютер. исслед., 2002. - 656 с.

5. Addison, P.S. Fractals and chaos: an illustrated course/P.S. Addison. -London: Inst. of Phys. Publish., 1997. -256 p.

6. Маджумдар, А. Фрактальная модель упругопластического контакта шероховатых поверхностей/А. Маджумдар, Б. Бхушан// Современное машиностроение. ? 1991. ? №6.? С. 11-23.

7. Pavelescu, D. On the roughness fractal character, the tribological parameters and the error factors/D. Pavelescu, A. Tudor//Proceedings of the Romanian Academy. Ser. A. - 2004. - Vol. 5. - №2.

8. Рудзит, Я.А. Микрогеометрия и контактное взаимодействие поверхностей/ Я.А. Рудзит. - Рига: Зинатне, 1975. -210 с.

9. Потапов, А.А. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью/А.А. Потапов, А.В. Лактюнькин//Нелинейный мир. - 2008. -Т.6. - №1. -С. 3-36.

Размещено на Allbest.ru