Корреляционный и регрессионный анализ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание

По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, приведены данные о затратах на производство y (тыс. д. е.) и выпуск продукции x (тыс. ед.).

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии на .

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации. Сделать выводы.

3. Оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации.

4. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом.

5. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

5. Выполнить прогноз при x₀ равном 195% от среднего уровня x.

6. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Корреляционный анализ ставит задачу измерить тесноту связи между варьирующими переменными и оценить факторы, оказывающие наибольшее влияние на результативный признак.

Регрессионный анализ предназначен для выбора формы связи и типа модели для определения расчетных значений зависимой переменной (результативного признака).

Результаты корреляционно - регрессионного анализа могут быть использованы для планирования и прогнозирования уровня результативного показателя.

Фактор, включаемый в модель, должен соответствовать следующим требованиям:

­ иметь количественное выражение, между фактором и результирующим показателями должна быть логическая, причинная связь;

­ факторы не должны быть тесно связаны между собой, то есть между факторами не должна существовать мультиколлинеарность.

Одна из основных задач корреляционного анализа является определение влияния факторов на величину результативного показателя. Для решения этой задачи подбирается соответствующий тип математического уравнения, которое наилучшим образом отражает характер изучаемой связи. Это играет важную роль в корреляционном анализе, потому что от правильного выбора уравнения регрессии зависит ход решения задач и результат расчетов.

Наиболее простым уравнением, которое характеризует прямолинейную зависимость между показателями, является уравнение прямой:

Y = а + а₁х+а₂х+ ….+а_пх_п,(1)

где Y - результирующий признак;

а - свободный член уравнения регрессии;

х - факторы;

а_1,.. - коэффициенты при факторах.

Значимость коэффициентов корреляции проверяется по критерию Стьюдента:

,(2)

где - среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, которая определяется по формуле:

(3)

Если расчетное значение t выше табличного, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой. Табличное значение t находится по таблице значений критериев Стьюдента. При этом учитывается количество степеней свободы (v = n-1) и уровень доверительной вероятности (в экономических расчетах обычно 0,05 или 0,01).

Одним из этапов корреляционного анализа является расчет уравнения связи (регрессии). Решение проводится обычно шаговым способом. Сначала в расчет принимается один фактор, который оказывает наиболее значимое влияние на результативный показатель, потом второй, третий и так далее. И на каждом шаге рассчитывается уравнение связи, множественный коэффициент корреляции и детерминации, F-отношение (критерий Фишера), стандартная ошибка и другие показатели, с помощью которых оценивается надежность уравнения связи. Чем выше величина коэффициентов множественной корреляции, детерминации и критерия Фишера и чем ниже величина стандартной ошибки, тем точнее уравнение связи описывает зависимости, сложившиеся между исследуемыми показателями.

Цель данного анализа определить основные моменты построения модели и анализа полученных результатов при обработке модели в системе электронных таблиц Microsoft Excel.

Построение экономико-математической модели для проведения корреляционно-регрессионного анализа начался с подбора показателей, участвующих в модели. Корреляционный анализ предназначен для изучения тесноты связи между факторными и результативными показателями, а регрессионный анализ для нахождения корреляционной связи, оценки их точности и надежности.

В качестве:

y - затраты на производство;

х - выпуск продукции.

Исходные данные для расчета значений представлены в таблице 1, по которым сделан график на рисунке 1.

Рис.1. Расчет параметров корреляции

В результате обработки данных по предприятию были получены следующие значения, показанные в таблице 2.

Таблица 2. Матрица парных коэффициентов корреляции

Делая анализ первого столбца, оценивается степень влияния фактора на результирующий показатель y, в данном случае влияние на затраты на производство оказывает факторы х - выпуск продукции (коэффициент корреляции равен 0,9109).

Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели (формы связи), установления степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчетных значений зависимой переменной (функции регрессии).

Далее произведем выбор вида модели и оценим ее параметры.

Таким образом, линейная модель множественной регрессии будет иметь вид:

, (4)

где у - затраты на производство, тыс. руб.,

а₀ - свободный член;

а₁ - коэффициент регрессии;

х - выпуск продукции, тыс. руб.;

Одним из этапов корреляционного анализа является расчет уравнения связи (регрессии). Решение проводится обычно шаговым способом. В расчет принимается фактор, который оказывает значимое влияние на результативный показатель.

Рассчитывается уравнение связи, множественный коэффициент корреляции и детерминации, F-отношение (критерий Фишера), стандартная ошибка и другие показатели, с помощью которых оценивается надежность уравнения связи. Чем выше величина коэффициентов множественной корреляции, детерминации и критерия Фишера и чем ниже величина стандартной ошибки, тем точнее уравнение связи описывает зависимости, сложившиеся между исследуемыми показателями.

Результаты регрессионного анализа позволяют определить уравнение регрессии, а также точность и качество построенной модели. Оценку параметров регрессии осуществим при помощи инструмента «Регрессия».

Рис.2. Расчет параметров регрессии

Результаты представлены на рисунке 3.

Рис.3. Лист Excel с результатами расчета коэффициентов регрессии

В столбце коэффициенты содержатся коэффициенты уравнения регрессии а₀, а_1. Значит а₀ = 38,843; а₁= 3,8581.

Анализируя остатки, можно сделать ряд практических выводов. Значения остатков имеют как положительные, так и отрицательные отклонения от расчетного уровня затрат.

Рис.4. Вывод остатка

Рис.5. Сравнение расчетных данных с исходными

Таким образом, уравнение регрессии зависимости затрат предприятия от объема выпуска, полученное с помощью EXCEL, имеет вид:

Уравнение регрессии:

У=38,843+3,8581х(5)

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

(6)

0,594/10=0,0594 или 5,94%

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Качество модели оценивается стандартным для математических моделей образом: по адекватности и точности на основе анализа остатков регрессии (е). Расчетные значения получаются путем подстановки в модель фактических значений всех включенных факторов. Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод оценки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа, остатки должны вести себя как независимые (в действительности почти независимые), одинаково распределенные случайные величины. В классических методах регрессионного анализа предполагается также нормальный закон распределения остатков.

Экономический интерес представляют значения периодов: 2; 3; 7; 8; 9, поскольку их значения отличаются наибольшими отклонениями от расчетной величины. В итоге положительные отклонения значения затрат производства уравновешиваются отрицательными отклонениями, то есть, Уe_i равно 0.

Рис.6. График остатков

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина-Уотсона ( табл. 2).

Таблица 2. Критерий Дарбина - Уотсона

Рассчитаем значение d- критерия по формуле (6):

, (6)

где d - критерий Дарбина-Уотсона;

е (t) - остаток последовательности уровня ряда;

е (t-1) - предыдущий остаток последовательности уровня ряда;

е (y) - остаточная последовательность ряда y;

n - число периодов.

(Значение знаменателя (²=467). Значение числителя

(=1084) (см. табл. 18). d = 2,3207.

Так как расчетное значение больше d₂, то модель адекватна.

Далее необходимо вычислить для модели коэффициент детерминации (коэффициент множественной корреляции, возведенный в квадрат), который показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, то есть определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

Так как коэффициент корреляции R² равно 0,8297, то, следовательно, около 82,97% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Множественный R - множественный коэффициент корреляции, который показывает степень совместного влияния всех факторов включаемых в модель на результирующий показатель.

R-квадрат - коэффициент детерминации, показывает долю построенной модели в реальном процессе. Считается, что точность модели хороша, если значение коэффициента детерминации R-квадрат 0,7.

По рисунку 3 видно, что R = 0,9109 - это значение свидетельствует о существенной связи между показателями, включенными в модель и результирующим показателем. R-квадрат = 0,8297 0,7, что свидетельствует о том, что качество построенной модели можно признать хорошим.

Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера. Расчетное значение F равно 38,98554.

Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95; двух факторах и степенях свободы 10 - 2 - 1 равно 7 составляет 3,346 (найдено с помощью функции FРАСПОБР).

Поскольку F_pac больше F_табл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Оценим статистическую значимость коэффициента уравнения регрессии.

Значимость коэффициента уравнения регрессии оценивается по показателю t - статистики Стьюдента. Расчетные значения t - статистики необходимо сравнить с их табличными значениями ( табл.3).

Значимость коэффициента уравнения регрессии а₁ оценим с использованием t-критерия Стьюдента.

Таблица 3. Итоговые значения регрессионного анализа

Значимость коэффициента уравнения регрессии а₁ оценим с использованием t-критерия Стьюдента.

Табличное значение t-критерия при уровне значимости 5 % и степенях свободы (10-2-1=7) составляет 2,364 (найдено с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР). прогноз корреляция коэффициент регрессия

Так как абсолютное значение t_а.рас больше t_табл, то коэффициент а₁ существенен (значим), поэтому делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Так как параметры уравнения регрессии значимы, уравнение значимо, показатели тесноты значимы, ошибка аппроксимации равна 0,5%, коэффициент детерминации 0,8297, то можно сделать заключение, что построенная регрессионная модель планирования затрат предприятия может быть использована для анализа и прогноза.

Расчет прогнозных значений выпуска продукции:

Среднее значение х = 15,1 тыс.ед.

15,1 * 1,95 = 29,445 тыс.ед.

У=38,843+3,8581х

У = 38,843+3,8581*29,445 = 152 тыс. ед.

Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Стандартная ошибка оценки равна

S = 18,51

Индивидуальные значения затрат у₀ принадлежат промежутку

Выполненный прогноз затрат производства является точным, так как в доверительный интервал не входит 0.

Размещено на Allbest.ru