Обобщение некоторых уравнений динамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обобщение некоторых уравнений динамики

М.Л. Потапов, Л.А. Потапов

Аннотация

С помощью четырехвекторов и алгебры Клиффорда получены обобщенные уравнения электродинамики и гидроаэродинамики, устанавливающие иерархию и взаимосвязь основных величин, изменяющихся в пространстве и времени.

Ключевые слова: уравнения электродинамики, гидроаэродинамика, кватернион, тензор, бивектор, алгебра Клиффорда.

В последнее время в механике стали широко применяться кватернионы [1; 2], бикватернионы [3] и алгебра Клиффорда [6] для описания поворотов и перемещений в пространстве. В компьютерных системах управления положением в пространстве манипулятора робота, а также транспортного средства (корабля, самолета, спутника) применение кватернионных и бикватернионных уравнений существенно сокращает трудоемкость вычислений, что весьма важно для систем, работающих в режиме реального времени. При этом вместо уравнений в матрицах направляющих косинусов (с большим числом тригонометрических функций) можно записать уравнения в бикватернионах (где отсутствуют или минимизировано число тригонометрических функций). Например, для кинематической схемы манипулятора, состоящей из последовательно соединенных элементарных кинематических модулей, можно получить уравнение для определения конечных положений (перемещений) манипулятора робота [3] в виде произведений бикватернионов, каждый из которых определяет перемещение соответствующего звена относительно предыдущего:

Весьма перспективно применение бикватернионных уравнений в задачах оживления (анимации) объектов в компьютерных программах.

Для описания динамических процессов, изменяющихся в пространстве и времени, целесообразно применять четырехвекторы - числа Клиффорда.

Алгебра Клиффорда конструируется с помощью базиса г₀г_к (к = 1, 2, 3). При этом , , г_uг_v + г_vг_u = 0 (u,v = 0, 1, 2, 3) и u?v

г_кг₀ = у_к, г₁г₂ = -iу₃, iу₁ =у₂у_3. (1)

Для описания статических явлений в трехмерном пространстве (при отсутствии изменений во времени) используются обычно трехмерные векторы и соответствующая векторная алгебра с базисом у_к (к = 1, 2, 3). При этом у_k²=1, у_jу_к+у_ку_j = 0 при j ? к. Часто вместо обозначений у_k используют орты i, j, k.

Из всевозможных произведений четырехмерных векторов образуются элементы пространства и, называемые числами Клиффорда. Их можно представить в общем виде так:

= г₀A₀ + г₁A₁ + г₂A₂ + г₃A₃ - четырехвектор

= г₁г₀E₁ + г₂г₀E₂ + г₃г₀E₃ + г₁г₂B₄ + г₂г₃B₃ + г₂г₃B₃ = - бивектор

= г₀г₁г₂T₁ + г₀г₁г₃T₂ + г₀г₂г₃T₃ + г₁г₂г₃T₄ - тривектор

г₀г₀а = а - скаляр; = г₀г₁г₂г₃c = ic - псевдоскаляр, где i=.

При этом, учитывая условия (1), определим:

г₁г₀E₁ + г₂г₀E₂ + г₃г₀E₃ = у₁E₁ + у₂E₂ + у₃E₃ =- вектор (трехмерный)

г₀г₀а + г₁г₀E₁ + г₂г₀E₂ + г₃г₀E₃ = а+ = - кватернион

Бикватернион можно рассматривать как комплексную комбинацию двух кватернионов или как кватернион с комплексными компонентами.

В теоретической физике [4] для описания процессов, изменяющихся в пространстве и времени, вводят четырехмерные векторы в виде совокупности четырех величин - А⁰, А¹, А², А³, - которые при преобразовании четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты четырехмерного радиуса-вектора xⁱ. При этом величины Aⁱ называются контравариантными, а A_i - ковариантными компонентами 4-вектора. Компоненту 4-вектора А⁰ называют временной, а компоненты А¹, А², А³ - пространственными (по аналогии с 4-мерным радиусом-вектором). Три пространственные компоненты - А¹, А², А³ - образуют трехмерный вектор. Тогда четырехмерный вектор записывают как Aⁱ = (А⁰, ).

Квадрат 4-вектора определяют как Аⁱ А_i =(А⁰)² - . Произведение 4-векторов образует четырехмерный тензор 2-го ранга как совокупность 16 величин А^ik. Тензор А^ik может быть симметричным и антисимметричным. Запись уравнений в матричной форме затрудняет их использование и понимание, вуалирует взаимосвязь основных величин.

В теории электромагнитного поля [4] используют четырехвекторы потенциала поля Аⁱ как совокупность скалярного и векторного магнитного потенциалов и четырехвектор плотности тока Jⁱ как совокупность объемной плотности заряда и трехмерного вектора плотности тока. Для оценки напряженности электромагнитного поля вводят антисимметричный тензор

F_ik ,

который называется тензором электромагнитного поля. Этот тензор может быть представлен как F_ik =() или F^ik =(-). Компонентами 4-тензора электромагнитного поля являются трехмерные векторы напряженностей электрического и магнитного полей.

Гораздо проще, нагляднее и понятнее представить четырехвекторы электромагнитного поля с помощью чисел Клиффорда и вместо матричных уравнений использовать обычные алгебраические уравнения, учитывающие правила (1). Тогда четырехвектор потенциала электромагнитного поля будет иметь вид

= - г₀ц + с(г₁A₁ + г₂A₂ + г₃A₃) (2)

а четырехвектор плотности электрического тока -

= - г₀сс + г₁д₁ + г₂д₂ + г₃д_3.

где ц - скалярный потенциал электрического поля; А_к - составляющие векторного магнитного потенциала; с - объемная плотность заряда; д_к - составляющие плотности электрического тока.

Введем по аналогии с известным дифференциальным оператором Гамильтона

который используется для определения пространственной производной, новый пространственно-временной дифференциальный оператор ( назовем его оператором Клиффорда)

Ў = (3)

который можно использовать для определения пространственно-временной производной в уравнениях электромагнитного поля.

Квадрат этого оператора оказывается равным известному оператору - даламбертиану:

Ў² = (4)

Это подтверждает правомерность использования чисел Клиффорда и соответствующего пространственно-временного дифференциального оператора.

Выполнив операции перемножения оператора (3) на уравнение (2), получим в традиционной форме записи

Ў = (5)

где

Учитывая известные выражения и калибровку Лоренца запишем уравнение (5) в более компактном виде:

Ў = = (6)

Уравнение (6) определяет бивектор напряженности электромагнитного поля, включающий в себя полярный вектор напряженности электрического поля и аксиальный вектор магнитной индукции. Весьма существенно, что бивектор напряженности электромагнитного поля определяется сравнительно просто: как пространственно-временная производная от кватерниона потенциала электромагнитного поля.

Многие авторы интуитивно чувствовали необходимость объединения напряженности электрического поля и магнитной индукции в одну величину. Еще в 1907 г. Л. Зильберштейн ввел комплексный вектор Н-iE, где i=. Позже Ландау [4] использовал аналогичный вектор . Однако подобные образования плохо вписывались в традиционную (трехмерную) векторную алгебру и не получили широкого распространения.

Полученный в уравнении (6) бивектор электромагнитного поля обладает более простой конструкцией по сравнению с используемым в физике тензором электромагнитного поля F_ik, имеет одинаковую размерность составляющих и строго связан с другими величинами, характеризующими электромагнитное поле. Он не введен из интуитивных соображений, а образован из четырехмерного потенциала электромагнитного поля с помощью пространственно-временного дифференциального оператора.

Используя аналогию уравнений механики и электричества [5], можно получить уравнения для гидрогазодинамики, подобные рассмотренным выше. Поскольку аналогом электрического потенциала ц является потенциал гравитационного поля ц_г, а аналогом векторного магнитного потенциала - вектор скорости , то можно определить четырехмерный потенциал гравитационно-инерциального поля следующим образом:

_ги= -г₀ц_г + с(г₁v₁ + г₂v₂ + г₃v₃) (7)

Применяя к нему пространственно-временной дифференциальный оператор, определим бивектор напряженности гравитационно-инерциального поля:

Ў А_ги = ()(- г₀ц_г + с(г₁v₁ + г₂v₂ + г₃v₃)) = = (8)

где - ускорение; -- напряженность гравитационного поля, которую чаще именуют как ускорение земного притяжения (g9,8 м/c² - изменяется в зависимости от географических координат); - можно считать равной нулю (по аналогии с калибровкой Лоренца), - определяет угловую скорость .

Бивектор гравитационно-инерциального поля

_ги (9)

содержит в себе аксиальный вектор угловой скорости и сумму полярных векторов линейных ускорений.

Применим даламбертиан (4) к потенциалу электромагнитного поля:

Ў²А=()(- г₀ц + с(г₁A₁ + г₂A₂ + г₃A₃))=

=.

Учитывая известные уравнения

получим

Ў²/ (10)

где - четырехвектор плотности электрического тока, включающий в себя объемную плотность заряда и составляющие плотности электрического тока.

Уравнение для четырехвектора плотности электрического тока может быть получено иначе, путем умножения пространственно-временного дифференциального оператора на четырехвектор напряженности электромагнитного поля:

()()=д/

При этом учтены известные уравнения Максвелла:

; ; ;

Таким образом, получаем уравнение, устанавливающее взаимосвязь четырехвекторов напряженности электромагнитного поля, плотности тока и потенциала:

()() = д/=()() (11)

Из уравнения (11) видно, что кватернион плотности тока можно определить либо через бивектор электромагнитного поля, либо через четырехвектор потенциала этого поля. Можно отметить при этом определенную иерархию величин. Применяя пространственно-временной дифференциальный оператор к четырехвектору потенциала, мы определили бивектор напряженности, а затем, применяя этот же оператор к образовавшейся величине, т.е. к бивектору напряженности, нашли четырехвектор плотности тока (величину второго уровня). Этот четырехвектор плотности электрического тока можно определить также, применяя непосредственно даламбертиан к четырехвектору потенциала электромагнитного поля.

В гидроаэродинамике уравнения, аналогичные уравнениям (10) и (11), могут быть получены либо путем применения операторов (3) и (4) к уравнениям (7) и (9), либо путем использования аналогии уравнений механики и электричества [4].

Есть возможность продолжить процесс установления взаимных связей других физических величин с рассмотренными. Выполнив операцию умножения бивектора напряженности электромагнитного поля на сопряженный ему бивектор, можно получить четырехвектор энергии-импульса, который гораздо проще для понимания и использования, чем известный тензор энергии-импульса T_ik , записываемый в матричной форме. Применяя пространственно-временной дифференциальный оператор к четырехвектору энергии-импульса, можно получить четырехвектор силы и т.д.

Уравнения (6 - 10) позволяют заменить матричные уравнения, применяемые в теоретической физике, на более простые, использующие алгебру Клиффорда. Если в матричных уравнениях в состав матриц часто вводят разнородные величины с различными размерностями, то в полученных уравнениях соблюдены размерности всех слагаемых с помощью соответствующих коэффициентов. Кроме того, полученные зависимости обобщают систему уравнений электродинамики и гидроаэродинамики, устанавливают взаимосвязи и иерархию основных величин. Подобно тому как в механике путь, скорость и ускорение связаны между собой через производную по времени, в электродинамике четырехвекторы потенциала (6), напряженности электромагнитного поля (8) и плотности тока (10) связаны между собой с помощью пространственно-временного дифференциального оператора (5). В гидроаэродинамике такая связь имеется для идеальной жидкости или газа между потенциалом гравитационно-инерциального поля (7), напряженностью гравитационно-инерциального поля (9) и плотностью потока жидкости или газа.

Полученные зависимости не только упрощают формы записи уравнений динамики, но и выявляют их взаимосвязь, определенную иерархию. Они позволяют яснее понять процессы, происходящие в пространстве и времени, и способствуют построению более стройной системы знаний.

алгебра клиффорд уравнение гидроаэродинамика

Список литературы

1. Hamilton, W. Elements of Quaternions/ W.Hamilton. - New York, 1969. - 460 p.

2. Бранец, В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела/ В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский . - М. Наука, 1973. - 320 с.

3. Челноков, Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения/ Ю.Н. Челноков. - М.: Физматлит, 2006. - 511 с.

4. Ландау, Л.Д. Теория поля/ Л.Д. Ландау, Е.И. Лифшиц. - М.: Наука, 1973. - 504 с.

5. Потапов, М.Л. Аналогия уравнений механики и электричества/М.Л. Потапов, Л.А. Потапов // Вестн. БГТУ. - 2009. - № 3. - С.159 - 164.

6. Казанова, Г. Векторная алгебра/ Г. Казанова . - М.: Мир, 1979. - 119 с.

Размещено на Allbest.ru