Методика построения байесовой сети для анализа причин дефектов продукции и процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 658.562; 004.8

Методика построения байесовой сети для анализа причин дефектов продукции и процессов Научно-исследовательская работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (государственный контракт № П770 от 20.05.10).

В.В. Мирошников

С.В. Ешин

Аннотация

Предложена методика построения байесовой сети для анализа причин дефектов продукции и процессов. Рассмотрены особенности формального описания причинно-следственных связей с помощью теории вероятностей и теории графов. Дано краткое описание аппарата и основных задач, решаемых с помощью байесовых сетей. Представлена вероятностная модель для анализа причин дефектов электрических соединителей, в основе которой лежит байесова сеть. Приведены примеры вероятностного вывода на основе разработанной модели.

Ключевые слова: анализ корневых причин, причинность, байесовы сети, дефекты, управление качеством.

Материал поступил в редколлегию 26.05.11.

В менеджменте качества для поиска причин дефектов изделий, низкого качества, несоответствий и решения других проблем используется определенный набор инструментов: причинно-следственные диаграммы (диаграмма Исикавы), диаграммы связей, методы анализа потенциальных отказов и др. Обычно для обозначения процесса решения проблемы на основе поиска и устранения ее корневых причин, а также для обозначения широкого круга методов, подходов и инструментов выявления причин проблемы используется термин «анализ корневых причин» (root cause analysis, RCA). Анализ корневых причин (АКП) -- это структурированное исследование, целью которого является идентификация истинных причин проблемы и принятие действий, необходимых для устранения этих причин [1].

Постановка задачи. Существующие методы АКП являются преимущественно экспертными процедурами качественного анализа причин, большинство из них не позволяют в явной форме учитывать статистическую информацию о процессе. Так, цель причинно-следственных диаграмм и диаграмм связей - представление в графическом виде (дерево, сеть) цепочек причинно-следственных связей между корневыми причинами и самой проблемой. Недостатком методов анализа потенциальных отказов (FTA, FMEA, FMECA), применяемых обычно на стадии доработки конструкции технического объекта, является использование балльных экспертных оценок вероятностей отказов. Фактически методы FMEA не позволяют идентифицировать корневые причины, поскольку учитывают только причины первого уровня, непосредственно влияющие на появление дефекта, и не учитывают причины более глубоких уровней (причины причин и т.д.). Экспертный характер процесса анализа причинно-следственных связей обусловлен отсутствием математического языка для описания причинности, а также неоднозначностью самого понятия «причинно-следственная связь». Созданием этого языка занялись ученые в области статистики и искусственного интеллекта [2-7]. Результатом их деятельности стали методы формального описания причинно-следственных связей на основе теории вероятностей и теории графов, а также соответствующее алгоритмическое обеспечение.

Целью данного исследования является разработка более обоснованной с математической точки зрения методики анализа причинно-следственных связей между причинами и последствиями дефектов продукции и процессов. Методика должна объединить в единую модель информацию о причинно-следственных связях, относящихся к дефектам, экспертные суждения, а также статистическую информацию о дефектах продукции или процесса. Методика должна учитывать разработки в области формального описания причинно-следственных связей на основе теории вероятностей и теории графов [2-7], преимущества вероятностного подхода к пониманию причинности [2, с. 55-57; 3] (в том числе вероятностные определения потенциальной и истинной причин, ложной корреляции) и классификацию причин проблем, применяемую в методологии анализа корневых причин (симптомы, причины первого уровня, причины верхних уровней, корневые причины) [1]. Для создания методики, обладающей указанными свойствами, авторами предлагается использовать аппарат байесовых сетей. Применение байесовых сетей позволит также прогнозировать и диагностировать дефекты и их причины, проводить вероятностные рассуждения о причинах и последствиях дефектов в автоматизированном режиме, оценивать влияние корректирующих действий на вероятность возникновения дефектов в будущем.

Байесовы сети как средство формализованного представления причинно-следственных зависимостей.

Поиск методов математического описания причинно-следственных связей, количественного выражения этих связей, а также возможностей выявления причинности на основе данных эксперимента входил в список приоритетных задач философов еще со времен Д. Юма. Такая возможность появилась у ученых в середине 1980-х годов, когда были найдены математические связи между теорией графов и понятиями условной зависимости и независимости между случайными переменными. Одними из первых философов, предложивших понимать причинность в терминах теории вероятностей, являются Х. Меллор (Mellor) и П. Сьюпс (Suppes). Обобщенный подход к вероятностному пониманию причинности (probabilistic causation) по Меллору и Сьюпсу [8; 9] заключается в том, что А является причиной В, если наступление события А приводит к росту вероятности наступления следствия В. Позже Дж. Пиэрл (Pearl) предложил выражать причинность не на основе принципа роста вероятности следствия, а через понятие условной независимости между случайными переменными [2, с. 55-57; 3]. В дальнейшем этот подход был положен в основу причинно-следственного моделирования на базе вероятностных графовых моделей -- байесовых сетей. Предложенное Дж. Пиэрлом выражение причинности через понятие условной независимости позволяет, пользуясь статистической информацией, определять причинно-следственные связи между переменными. Установив, являются ли переменные условно независимыми в статистическом понимании, на основе вероятностного распределения или воспользовавшись статистическими тестами, можно сделать вывод о наличии или отсутствии между этими переменными отношения причинности. При этом математически строго могут быть разделены истинные причины (genuine cause) и ложные корреляции (spurious associations).

Использование графов для представления вероятностных и причинно-следственных зависимостей является на сегодняшний день стандартом де-факто [2-7; 10]. Наибольшее применение в качестве инструмента для представления причинно-следственных зависимостей получили байесовы сети (bayesian networks, или markovian models) [3; 10; 11]. Байесова сеть (БС) состоит из двух математических объектов:

1) орграф без ориентированных циклов G с множеством вершин

V={V₁, …V_n};

2) вероятностное распределение P(v) над множеством дискретных случайных переменных

V={V₁, …V_n},

соответствующих вершинам графа G.

Интерпретация дуг в графе G двоякая: вероятностная и причинная.

1. Вероятностная интерпретация заключается в том, что граф G отражает отношения условной независимости и зависимости между случайными переменными из множества V согласно P(v). При этом каждая переменная является условно независимой от всех переменных, не являющихся ее потомками в графе G, если заданы прямые родители этой переменной в графе G. Это позволяет разложить полное совместное распределение

P(v) = P(v₁, …v_n)

в виде произведения условных распределений:

, (1)

где v_i и pa_i - некоторые значения (реализации) V_i и PA_i соответственно, PA_i -- множество вершин, являющихся прямыми родителями вершины V_i (марковские родители).

2. Причинная интерпретация рассматривает дугу в графе G как причинно-следственную связь между соответствующими переменными, соединенными этой дугой. В этом случае, согласно марковскому причинному условию [2, с. 30], также справедливо разложение (1).

Основные задачи, решаемые с помощью байесовых сетей. Основной задачей для любой системы вероятностного вывода является вычисление распределения апостериорных вероятностей для множества переменных запроса, если дано некоторое наблюдаемое событие (свидетельство). Ядром вероятностного вывода в БС является применение теоремы Байеса, в соответствии с которой

,

где H - гипотеза; e - свидетельство; P(e | H) --правдоподобие, означающее наступление свидетельства e при условии, что гипотеза H истинна; P(H | e) -- апостериорная вероятность гипотезы H; P(H) - априорная вероятность гипотезы H.

Байесовы сети обычно используются для получения ответов на следующие типы вероятностных и причинных запросов: нахождение вероятности свидетельства, определение априорных и апостериорных маргинальных вероятностей (в том числе прогнозирование, диагностирование и межпричинный вывод), вычисление наиболее вероятного объяснения наблюдаемого события, вычисление апостериорного максимума, поиск причин наблюдаемых событий, запросы с вмешательством.

Методика построения байесовой сети для анализа причин дефектов процессов и продукции.

Рассмотрим основные этапы построения байесовой сети для анализа причин дефектов процессов и продукции (рис.1).

байесовый дефект электрический соединитель

Рис.1. Основные этапы построения байесовой сети для анализа причин дефектов процессов и продукции

Этап I. Составление перечня дефектов, их причин и последствий:

1. Составление перечня дефектов процесса (продукции).

2. Определение причин дефектов:

· Определение для каждого дефекта прямых причин его появления.

· Определение причин второго уровня для прямых причин дефектов и т. д. Процесс определения причин останавливается, когда становится невозможно определить причины более высокого уровня. Обычно процедура выявления причин заключается в постановке вопроса «почему?» к каждой причине. Количество итераций ограничивается спецификой задачи (в среднем 3-8 итераций). На этом этапе могут быть применены инструменты из арсенала АКП: причинно-следственные диаграммы (диаграмма Исикавы), диаграммы связей, методы мозгового штурма и др.

3. Определение последствий и симптомов дефектов:

· Для каждого дефекта определяются симптомы (наблюдаемые прямые свидетельства дефекта) и другие возможные последствия, прямой причиной которых является дефект.

· Для каждого последствия итерационно определяются его последствия, последствия последствий и т.д. (насколько это возможно или необходимо исследователю).

Этап II. Построение графа байесовой сети:

4. На основе списка дефектов, их причин, последствий и симптомов строится граф G байесовой сети (граф причинно-следственных связей) по следующим правилам: каждой вершине графа V_i соответствует дефект, причина, симптом или последствие, полученные в п.1-3; вершины V_i и V_j соединяются дугой, если V_i является прямой причиной V_j.

5. Граф G проверяется на связность и отсутствие направленных циклов и, при необходимости, корректируется.

6. Каждой вершине V в графе G ставится в соответствие дискретная случайная переменная V. Для каждой переменной V определяется множество принимаемых значений. При этом возможны следующие типы переменных (в зависимости от множества принимаемых значений): булева переменная (принимает два значения: ИСТИНА или ЛОЖЬ); многозначная переменная (принимает значения, в том числе свыше двух, из некоторого множества взаимоисключающих событий); числовая переменная (принимает в качестве значений последовательность целых или вещественных чисел); интервальная переменная (в качестве значений принимает непересекающиеся числовые интервалы).

7. Каждая переменная V проверяется на наличие следующего свойства (при необходимости корректируется множество ее значений либо структура сети): множество значений переменной V представляет собой группу взаимоисключающих друг друга событий.

8. Граф G проверяется на связность и отсутствие направленных циклов, при необходимости корректируются направления дуг в графе.

Этап III. Определение априорных условных и маргинальных вероятностей:

9. Для каждой переменной V, не имеющей родителей в графе G, определяется вероятностное распределение над множеством ее значений (таблица безусловных вероятностей) на основе статистической информации об этой переменной (например, вероятностное распределение уже известно либо имеется информация о частотах выпадения тех или иных значений переменной V), а в случае отсутствия такой информации -- на основе мнения эксперта (задаются субъективные вероятности -- степени доверия). Если имеется статистическая информация о частотах выпадения тех или иных значений переменной V, то расчет вероятностей может быть проведен на основе частотной трактовки вероятности по следующей формуле:

,

где v -- одно из значений переменной V; N_v -- количество исходов, при которых наблюдалось событие {V = v}; N -- общее количество исходов.

10. Для каждой переменной V, которая имеет родителей (множество переменных PA_V) в графе G, определяется таблица условных вероятностей над множеством ее значений на основе статистической информации об этой переменной, а в случае отсутствия такой информации -- на основе мнения эксперта. Если имеется статистическая информация о частотах выпадения тех или иных значений переменной V и переменных из множества PA_V, то расчет вероятностей может быть проведен на основе частотной трактовки вероятности по следующей формуле:

,

где v -- одно из значений переменной V; pa -- одна из возможных конфигураций множества PA_V; N_v,pa -- количество исходов, при которых наблюдалось совместное наступление событий

{V = v} и {PA_V = pa}

(PA_V имеет конфигурацию pa); N_pa --количество исходов, при которых наблюдалось событие {PA_V = pa}.

Анализ причин дефектов на основе байесовых сетей.

Автоматизированный анализ причинно-следственных связей между дефектами, их причинами и последствиями может быть проведен на основе получения ответов на элементарные вероятностные и причинные запросы к байесовой сети. В табл. 1 приведена классификация и возможные примеры таких запросов в контексте задачи анализа причин дефектов процессов и продукции (формулы даны по материалам [2; 10]).

Таблица 1. Примеры запросов к байесовой сети в контексте задачи анализа причин дефектов

Обозначения в формулах табл.1: P(·) -- функция полного совместного распределения над множеством всех случайных переменных сети

V={V₁, V₂, …};

S₁, S₂, S₃ -- множества случайных переменных, такие, что

S₁ = V \ E, S₂ = V \ {X_i}, S₃ = V \ (XE);

s₁, s₂, s₃ -- возможные конфигурации (реализации) соответствующих множеств S₁, S₂, S₃; E -- множество переменных свидетельства (наблюдаемые переменные, получившие означивание); e -- возможная конфигурация E; X_i-- случайная переменная сети; x_i -- возможное значение переменной X_i; -- множество случайных переменных запроса; x -- возможная конфигурация X;

 = V \ E

-- множество всех переменных, кроме переменных свидетельства; -- возможная конфигурация ;

-- множество переменных поиска;

z -- возможная конфигурация Z; и Y -- непересекающиеся множества случайных переменных; -- множество переменных вмешательства; , y -- соответствующие конфигурации и Y; do(·) -- оператор воздействия (вмешательства) (action operator); M* -- байесова сеть, полученная на основе исходной байесовой сети M, в которой удалены все дуги, входящие в вершины множества ; P_M*(·) -- функция полного совместного распределения для сети M*, полученная на основе исходного распределения P(·) сети M по следующему правилу:

Формулы в табл. 1 даны для справки и редко применяются в системах вероятностного вывода напрямую, поскольку требуют серьезных вычислительных затрат на проведение суммирования полного совместного распределения P(v) даже в небольших по размерам сетях. Чаще всего для ответа на приведенные запросы применяются более быстрые точные и приближенные алгоритмы вероятностного вывода (алгоритмы кластеризации, распространения сообщений между вершинами, символьные вычисления, формирование выборок с исключением, метод оценки выборок с учетом правдоподобия, алгоритм МСМС и др.).

Пример применения предложенной методики для анализа причин дефектов электрических соединителей.

На основе предложенной методики была разработана вероятностная модель для анализа причин дефектов электрических соединителей СНП334 [12]. Табл.2 представляет собой фрагмент таблиц условных вероятностей для построенной байесовой сети.

Таблица 2. Таблица условных вероятностей для вершины «Растрескивание»

На рис.2 представлен граф байесовой сети для анализа причин дефектов электрических соединителей СНП334.

В табл.3 приведены результаты вероятностного вывода, полученные на основе разработанной вероятностной модели.

С помощью созданной байесовой сети были получены ответы (табл.3) на следующие вероятностные запросы:

· диагностика дефекта «Нарушение изоляции» с постепенным уточнением информации:

А₁ = {Нарушение изоляции = Да}; А₂ = {Нарушение изоляции = Да; Образование льда = Да};

· диагностика дефекта «Механическое повреждение» с постепенным уточнением информации:

Б₁ = {Механическое повреждение = Да};

Б₂ = {Механическое повреждение = Да; Температура = Норма; Низкое давление = Нет; Влажность = Норма};

Б₃ = {Механическое повреждение = Да; Температура = Норма; Низкое давление = Нет; Влажность = Норма; Неквалифицированный персонал = Нет};

· прогнозирование брака при условии события «Некачественный материал»:

В = {Некачественный материал = Да}.

Предложенная методика анализа причин дефектов процессов и продукции на основе применения байесовых сетей обладает следующими преимуществами:

· методика позволяет в определенной степени избавиться от субъективности инструментов и методов анализа корневых причин, традиционно применяемых в менеджменте качества;

· разработанная модель для анализа причин дефектов может быть использована для поддержки принятия решений по устранению причин дефектов;

Таблица 3. Результаты вероятностного вывода

Рис.2. Граф байесовой сети для анализа причин дефектов электрических соединителей

· в организации появляется возможность аккумулировать знания о причинах дефектов процессов и продукции, поскольку байесова сеть представляет собой структуру для хранения знаний в условиях неопределенности;

· у аналитика появляется возможность извлекать причинно-следственные зависимости из статистической информации о дефектах процессов и продукции, воспользовавшись соответствующими алгоритмами структурного и параметрического обучения байесовых сетей.

Список литературы

1. Andersen, B. Root cause analysis: simplified tools and techniques / B. Andersen, T. Fagerhaug. - American Society for Quality, Quality Press, 2006. - 240 p.

2. Pearl, J. Causality: Models, Reasoning and Inference / J. Pearl. - Cambridge University Press, 2009. -- 464 p.

3. Pearl, J. Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems / J. Pearl. - San Francisco: Morgan Kaufmann, 1988. - 520 р.

4. Heckerman, D. Decision-theoretic foundations for causal reasoning / D. Heckerman, R. Shachter // Journal of Arti?cial Intelligence Research, 1995. - №3. - Р. 405-430.

5. Lauritzen, S. Graphical models for causal inference / S. Lauritzen, D. Cox, O. Barndorff-Nielsen, C. Kluppelberg // Complex Stochastic Systems. - London; Boca Raton: Chapman and Hall, CRC Press, 2000. - Р. 67-112.

6. Spirtes, P. Causation, Prediction and Search / P. Spirtes, C. Glymour, R. Scheines. - New York: Springer-Verlag, 1993. - 565 p.

7. Dawid, A. In?uence diagrams for causal modeling and inference / A. Dawid // International Statistical Review. - 2002. - № 70. - P. 161-189.

8. Mellor, D.H. The Facts of Causation / D.H. Mellor. - Routledge, 1995. - 251 p.

9. Suppes, P. A Probabilistic Theory of Causality / P. Suppes. - Amsterdam: North Holland Pub. Co, 1970. - 130 p.

10. Darwiche, A. Modeling and Reasoning with Bayesian Networks / A. Darwiche. - Cambridge University Press, 2009. - 526 p.

11. Подвесовский, А.Г. Применение байесовых сетей в задачах анализа и прогнозирования спроса / А.Г. Подвесовский, С.В. Ешин // Вестн. БГТУ. - 2011. - №1(29). - С. 61-70.

12. Электрические соединители: каталог / ФГУП «Карачевский завод «Электродеталь». -- Карачев, 2008. - 353 с.

Размещено на Allbest.ru