Четырехкратные интегралы, представимые в виде линейных форм от значений дзета-функции Римана

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 511. 36

ЧЕТЫРЁХКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ПРЕДСТАВИМЫЕ В ВИДЕ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ ОТ ЗНАЧЕНИЙ ДЗЕТА - ФУНКЦИИ РИМАНА

В.А. Андросенко

Е.В. Квитко

Исследование групповой структуры является важным элементом получения оценки меры иррациональности значений дзета - функции Римана в целых точках. Групповые преобразования были использованы Рином и Виолой [8] для улучшения оценки меры иррациональности ж(3).

После того как в 1882 г. Линдеманн [7] доказал, что р - число трансцендентное, стало ясно, что для, , значения дзета - функции Римана являются трансцендентными числами.

После доказательства Апери [2] иррациональности ж(3) Бейкерс в 1979 г. предложил доказательство этого факта с помощью интеграла . Также Бейкерсом [3] был рассмотрен интеграл , с помощью которого может быть доказана иррациональность ж(2). Этот факт был известен ранее, но с помощью интеграла Бейкерса и иного выбора параметров была улучшена оценка иррациональности р2. Были также предприняты различные попытки обобщения интегралов Бейкерса для изучения дзета - функции Римана в целых точках. В 1990 г. О. Н. Василенко [4] рассмотрел интеграл

который при m = 2 совпадает с интегралом Бейкерса. Д. В. Васильев [5] доказал, что при m = 4 интеграл (1) представим виде линейных форм с рациональными коэффициентами.

В 1998 г. В. Н. Сорокин [9] вёл в рассмотрение интеграл вида

Интеграл (2) равен интегралу Бейкерса. Это было доказано С. Фишлером [10] и С. Злобиным [6].

Ранее [1] был рассмотрен четырёхкратный интеграл типа интеграла (1), для которого была получена групповая структура.

Рассмотрим обобщенный интеграл типа интеграла В. Н. Сорокина (2) с произвольным набором параметров, а именно интеграл вида

,

где .

Преобразования в интеграле. Лемма. Пусть в интеграле

I = A > 0, B+A > 0; a, b, с N; I = I(a,b,c).

Тогда справедливы следующие формулы:

;

;

=

.

В основе групповой структуры интеграла (3) лежат пять преобразований: g1, g2, g3, g4, g5. Рассмотрим каждое из них.

1. Преобразование g1 может быть получено применением к интегралу (3) формулы (5) леммы по переменной x = x4. Оно позволяет получить интеграл вида

,

где , т.

е..

2. Проведя в интеграле (3) преобразование по формуле (5) леммы по переменной x1, получаем g2, такое, что

,

где .

3. В интеграле (3) сделаем замену переменных:

Аналогичную замену проводили Рин и Виола [7]. В результате интеграл принимает вид

.

Сделав преобразование симметрии между интегралами (3) и (6), которое переводит переменные получаем преобразование g3:

.

4. Применяя к интегралу (3) формулу (5) по переменной x2, получаем преобразование g4: иррациональность функция интеграл массив

,

где .

5. И, наконец, применение к интегралу (3) формулы (4) леммы по переменной x = x4 даёт преобразование g5, такое, что

.

Групповая структура интеграла. Представим интеграл (3) в виде интеграла от переменных:

,

где a1 = щ1; b1 = щ2; a2 = щ3; b2 = щ4; a4 = щ5; b3 = щ6; b4 = щ7; б2 = щ8; б1 = щ9.

Введём следующие параметры:

щ10 = щ6 + щ7 - щ8, щ11 = щ1 + щ2 - щ9, щ12 = щ3 + щ2 - щ9, щ13 = щ3 + щ4 - щ9, щ14 = щ3 + щ4 - щ1, щ15 = щ7 + щ5 - щ8, щ16 = щ5 + щ4 - щ8, щ17 = щ5 + щ4 - щ6, щ18 = щ5 + щ4 + щ3 - щ8 - щ9, щ19 = щ5 + щ3 + щ4 - щ6 - щ9, щ20 = щ4 + щ3 + щ5 - щ1 - щ8, щ21 = щ3 + щ4 + щ5 - щ1 - щ6.

Рассмотрим каждое из преобразований интеграла относительно параметров щ1, щ2, щ3, … , щ21. Преобразование g1:

щ1' = щ1, щ2' = щ2, щ3' = щ3, щ4' = щ4; щ5' = щ5, щ6' = щ8, щ7' = щ6 +щ7 -щ8 = щ10, щ8' = щ6, щ9' = = щ9, щ10' = щ6 + щ7 + щ8 - щ8 - щ6 = щ7, щ11' = щ11, щ12' = щ2 + щ3 - щ9 = щ12, щ13' = щ3 +щ4 -щ9 = = щ13, щ14' = щ14, щ15' = щ15, щ16' = щ4 + щ5 - щ6 = щ17, щ17' = щ4 + щ6 - щ8 = щ16, щ18' = щ3 + щ4 + + щ5 - щ6 - щ9 = щ19, щ19' = щ5 + щ4 + щ3 - щ8 - щ9= щ18, щ20' = щ3 + щ4 + щ5 - щ1 - щ6 = щ21, щ21' = щ3 + щ5 + щ4 - щ1 - щ8 = щ20.

Таким образом, g1: (щ6, щ8)(щ7, щ10)(щ16, щ17)(щ18, щ19)(щ20, щ21).

Рассмотрев аналогично преобразования g2, g3, g4, g5, получаем:

g2: (щ1, щ9)(щ2, щ11)(щ13, щ14)(щ18, щ20)(щ19, щ21);

g3: (щ1, щ6)(щ2, щ7)(щ3, щ5)(щ8, щ9)(щ10, щ11)(щ12, щ15)(щ13,щ16)(щ14, щ17)(щ19, щ20);

g4: (щ2, щ12)(щ3, щ9)(щ4, щ13)(щ16, щ18)(щ17, щ19);

g5: (щ5, щ15)(щ6, щ7)(щ8, щ10)(щ16, щ17)(щ18, щ19)(щ20, щ21).

Все возможные комбинации этих преобразований образуют группу G, состоящую из 288 элементов.

Создадим массив, элементы которого - параметры щ1, щ2, щ3, … , щ21. Сохраняем этот массив. Применяем поочерёдно к этому массиву преобразования g1, g2, g3, g4, g5. Получаем 5 новых массивов, отличных от исходного. Добавляем эти 5 массивов к сохранённому.

К каждому из сохранённых массивов применяем преобразования g1, g2, g3, g4, g5 (поочерёдно). Полученные массивы сравниваем с уже имеющимися, и если рассматриваемый массив отличен от всех сохранённых, добавляем его к ним. Повторяя это действие (применение преобразований к сохранённым массивам) до тех пор, пока после применения преобразований не появится ни одного массива, отличного от уже имеющихся, получим 288 массивов (это произойдёт на 9 шаге, т. е. любой набор параметров, получаемый путём применения 9 преобразований, уже был получен ранее с помощью меньшего количества преобразований).

Данный алгоритм позволяет получить комбинацию минимального количества преобразований для каждого возможного набора параметров. При этом все остальные комбинации преобразований будут давать всё те же наборы параметров, но используя большее количество преобразований.

Функция

является инвариантной относительно всех преобразований этой группы.

Таким образом, для gG

,

.

Список литературы

1. Андросенко, В. А. Групповая структура четырёхкратного интеграла / В. А. Андросенко, В. Х. Салихов// Вестн. БГТУ. - 2006. - №4. - С. 122 - 125.

2. Apery, R. Irrationalite de (2) et (3) /R. Apery// Asterisque 61. - 1979. - P. 11 - 13.

3. Beukers, F. A note on the irrationality of (2) and (3) F. Beukers// Bull. Lond. Math. Soc. 11. - 1978. - № 33. - P. 268 - 279.

4. Василенко, О. Н. Некоторые формулы для значений дзета - функции Римана в целых точках / О.Н. Василенко//Республик. науч. - теорет. конф. «Теория чисел и её приложения», 26 - 28 сент. 1990 г.: тез. докл. - Ташкент: Ташкент. гос. пед. ин - т, 1990. - С. 27.

5. Васильев, Д. В. Некоторые формулы для значений дзета - функции Римана в целых точках / Д. В. Васильев// Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. - 1996. - №1 - С. 81 - 84.

6. Злобин, С. А. О некоторых интегральных тождествах / С. А. Злобин// Успехи математических наук. - 2002. - Т. 53. - № 3. - С. 153 - 154.

7. Lindemann, F. Uber die Zalh / F. Lindemann// Math. Annalen 20. - 1882. - P. 213 - 235.

8. Rhin, G. The group structure for (3) / G. Rhin, C. Viola// Acta Arith. 97. - 2001. - № 3. - P. 269 - 293.

9. Сорокин, В. Н. Теорема Апери / В. Н. Сорокин// Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. - 1998. - № 3. - С. 48 - 52.

10. Fischler, S. Formes lineaires en polyzetas et integrals multiples / S. Fischler// C. R. Acad. Sci. Paris Ser. 1. Math. - 2002. - V. 335. - P. 1 - 4.

Аннотация

Рассмотрены преобразования интеграла и получена его групповая структура.

Ключевые слова: четырехкратные интегралы; линейные формы; дзета-функция Римана; групповая структура.

Размещено на Allbest.ru