Интеграл Марковеккио и мера иррациональности числа
Получение оценок снизу модулей линейных форм с целыми коэффициентами от значений аналитических функций. Установление ряда оценок мер иррациональности значений действительного переменного. Разработка новой интегральной конструкции Р. Марковеккио.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.05.2018 |
| Размер файла | 41,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
УДК 511.36
ИНТЕГРАЛ МАРКОВЕККИО И МЕРА ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЛА
В.А. Андросенко
В.Х. Салихов
Одним из направлений теории диофантовых приближений является получение оценок снизу модулей линейных форм с целыми коэффициентами от значений аналитических функций.
В настоящее время установлен ряд оценок мер иррациональности значений аналитических функций. В частности, были получены оценки мер иррациональности некоторых чисел, содержащих константу .
Напомним, что показателем (мерой) иррациональности вещественного числа называется нижняя грань множества чисел , для которых начиная с некоторого положительного выполняется неравенство. аналитический функция иррациональность интегральный
.
В 1980 г. К. Алади и М. Л. Робинсон [1] с помощью полиномов Лежандра получили первую оценку снизу порядка приближения числа рациональными дробями:
.
Позднее этот результат неоднократно улучшался. Г. В. Чудновский [3] снизил эту оценку до 5, 7926…, А. К. Дубицкас [2] - до 5, 516…, М. Хата [4] - до 5, 0871…, Г. Рин [7] - до 4, 97… .
В 1993 г. М. Хата [5] получил новую оценку меры иррациональности числа :
Для этого им был рассмотрен интеграл вида
,
где ; ; ; .
В 2009 г. Р. Марковеккио [6] была получена новая оценка меры иррациональности числа ln2. В основе этой работы лежала новая интегральная конструкция. Выясняется, что подобный метод можно применить для доказательства следующего результата.
Теорема. Справедлива оценка
4, 601057… .
Для получения данной оценки рассмотрим интеграл вида
,
где - отрицательная вещественная полуось; - мнимая ось; . Причём для параметров h, j, q, k, l, m выполняются следующие условия:
все ;
, ;
; ;
и .
Компьютерный перебор параметров интеграла (1) дал те же самые оптимальные значения, что и в работе [6]:
.
Подставив эти параметры в интеграл (1), получим подынтегральную функцию вида
, где .
Пусть . Рассмотрим интеграл
.
В работе Марковеккио [6] показано, что в данной ситуации
, где .
При получим . Очевидно, что для любого .
Для получения оценки необходимо исследовать асимптотику интеграла и коэффициентов линейной формы . К полученной линейной форме применим следующую лемму (следствие 2.1 в работе [5]).
Лемма. Пусть , - иррационально, .
Тогда .
При получении асимптотики интеграла и коэффициентов линейных форм используется метод перевала (метод седловых точек). Он является одним из методов теории функции комплексного переменного.
Впервые метод перевала был предложен и применен к ряду задач известным английским физиком Питером Дебаем.
Метод перевала состоит из двух частей:
1. Топологическая часть. Деформация контура г в наиболее удобный для получения асимптотических оценок контур г*.
2. Аналитическая часть. Вычисление асимптотики интеграла по контуру г*.
Согласно выводам Р. Марковеккио, использовавшего для этой цели метод перевала,
: и ,
где и - комплексные корни уравнения
,
удовлетворяющие условиям:
1) находится вблизи точки x = 1, а вблизи точки , причем > 0;
2) выбирается таким образом, чтобы .
Соответствующие им и находятся из уравнения
.
Для параметров уравнение (2) принимает вид
.
Тогда , , =15,065…, , , = -6,745…, , , = -9,5628… .
По методу перевала в можно построить два контура - Г и Д, проходящие через точки и соответственно. Контур Д проходит через точку вокруг точки . Контур Г проходит через точку и содержит внутри себя точку и контур Д. Оба эти контура можно деформировать таким образом, чтобы для всех комплексных пар выполнялось условие .
Для линейной формы L вычислим у и ф.
Применяя процедуру сокращения простых, описанную у Р. Марковеккио, получим . Здесь , M = max {k, m, h, k + h - m, h + m - k, m + k - h}, - произведение всех простых чисел , таких, что .
Множество Щ при данных значениях параметров состоит из трёх интервалов, а именно:
.
Обозначим
где .
Тогда = 15,065… + 2,005… = 17,07…, .
Таким образом, по лемме для линейной формы имеем
1 + = 4,601057….
Список литературы
1. Alladi, K. Legendre polynomials and irrationality /K.Alladi, M. L. Robinson // J. Reine Angew. Math. - 1980. - Vol. 318. - P. 137-155.
2. Дубицкас, А. К. Приближение рациональными дробями /А. К. Дубицкас // Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика. - 1987. - №6. - С. 73-76.
3. Chudnovsky, G. V. Recurrences, Padй approximations and their applications /G. V. Chudnovsky // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. - 1992. - New York, 1984. - P. 215-238.
4. Hata, M. Legendre type polynomials and irrationality measures / M. Hata // J. Reine Angew. Math. - 1990. - № 407. - P. 99-125.
5. Hata, M. Rational approximations to р and some other numbers /M. Hata // Acta Arith. - 1993. - V.63. - №4. - P. 335-349.
6. Marcovecchio, R. The Rhin - Viola method for log2 /R. Marcoveccio // Acta Arith. - 2009. - V. 139.2. - P. 147-184.
7. Rhin, G. Approximants de Padй et mesures effectives d'irrationalitй /G. Rhin // Progr. In Math. Birkhдuser. - 1987. - V. 71. - P. 155-164.
Аннотация
С помощью интегральной конструкции Р. Марковеккио получена оценка меры иррациональности числа , улучшающая результат М. Хата.
Ключевые слова: интеграл Марковеккио, мера иррациональности, линейная форма, комплексный интеграл, метод перевала.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Особенности применения степенных рядов для вычислений с различной степенью точности значений функций и определенных интегралов. Рассмотрение примеров решения ряда задач этим математическим методом с условием принятия значений допустимой погрешности.
презентация [68,4 K], добавлен 18.09.2013Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц. Нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений. Метод нахождения характеристического многочлена, предложенный А.М. Данилевским. Получение формы Жордано: form.exe.
курсовая работа [53,4 K], добавлен 29.08.2010Обоснование оценок прямых и косвенных измерений и их погрешностей. Введение доверительного интервала в асимптотическом приближении бесконечно большого числа экспериментов. Вычисление коэффициента корреляции для оценки зависимости случайных величин.
реферат [151,5 K], добавлен 19.08.2015Сущность метода деления многочлена на линейный двучлен. Особенности вычисления значений аналитической, логарифмической и показательной функций. Сущность теоремы Безу. Расположение вычислений по схеме Горнера. Вычисление значений синуса и косинуса.
презентация [142,0 K], добавлен 18.04.2013Полнота и замкнутость системы булевых функций. Алгоритм построения таблицы истинности двойственной функции. Класс L линейных функций, сущность полинома Жегалкина. Распознавание монотонной функции по вектору ее значений. Доказательство теоремы Поста.
учебное пособие [1,3 M], добавлен 20.08.2014Основные сведения, необходимые при решении задач на собственные значения. Итерационные методы. Определение собственных значений методами преобразований подобия. Определение собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы.
реферат [42,9 K], добавлен 19.05.2006Нахождение области определения, области значений функции, построение ее графиков с помощью преобразований кривых. График линейной функции с областью значений - все положительные действительные числа. Исследование функции на непрерывность. Расчет предела.
контрольная работа [922,4 K], добавлен 13.12.2012Поиск оптимальных значений некоторых параметров в процессе решения задачи оптимизации. Сравнение двух альтернативных решений с помощью целевой функции. Теорема Вейерштрасса. Численные методы поиска экстремальных значений функций. Погрешность решения.
презентация [80,6 K], добавлен 18.04.2013Проблема несоизмеримых, первый кризис в основании математики, его следствия и попытки преодоления. Зарождение и развитие понятия числа. Становление теории предела, создание теории действительного числа. Великие метематики: Вейерштрасс, Кантор, Дедекинд.
реферат [65,2 K], добавлен 26.11.2009Задачи нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов. Математическое обоснование метода итераций. Алгоритм метода Леверрье-Фаддеева, численное решение оценки собственных значений матриц. Листинг программы на языке "Pascal".
курсовая работа [221,8 K], добавлен 05.11.2014Общая теоретическая часть. Графический метод. Функциональный метод. Метод функциональной подстановки. для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на пло
контрольная работа [54,3 K], добавлен 26.11.2004Знакомство с уравнениями и их параметрами. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, определение множества допустимых значений неизвестного. Понятие модуля числа, решение линейных уравнений с модулем и квадратных уравнений с параметром.
контрольная работа [122,1 K], добавлен 09.03.2011Закон больших чисел. Нахождение точечных оценок. Построение неизвестной дисперсии погрешности измерений. Выборочная функция распределения. Теорема Ляпунова и распределение Стьюдента. Вычисление доверительных интервалов. Построение интервальных оценок.
курсовая работа [4,3 M], добавлен 18.12.2011Определение и примеры симметрических многочленов от трех и нескольких переменных. Решение систем уравнений с тремя неизвестными. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Разложение на множители. Основная теорема об антисимметрических многочленах.
курсовая работа [303,5 K], добавлен 12.04.2012Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Асимптотическое решение трансцендентных уравнений действительного переменного. Асимптотическое решение интегралов. Асимптотическое вычисление суммы ряда. Приложения символа "О". Основные определения, примеры.
дипломная работа [151,2 K], добавлен 13.06.2007Определение плоскости комплексного переменного, последовательностей комплексных чисел и пределов последовательностей. Дифференцирование функций, условия Коши, интеграл от функции. Числовые и степенные ряды, разложение функций, операционные исчисления.
курсовая работа [188,4 K], добавлен 17.11.2010Доказательство теоремы о выявлении алгебраической замкнутости поля С (то есть существования корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами) согласно с принципами лемм Даламбера и о достижении точной нижней грани значений.
реферат [137,7 K], добавлен 01.03.2010Обобщенная функция, заданная на прямой, - всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Комплекснозначная функция действительного переменного, называемая оригиналом. Характеристика функции Грина. Линейное неоднородное уравнение.
реферат [134,4 K], добавлен 23.01.2011Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013
