Решение задач с параметром, сводящихся к исследованию корней квадратного трехчлена

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

(МГОУ)

Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Элементарная математика»

тема: «Решение задач с параметром, сводящихся к исследованию корней квадратного трехчлена»



Содержание

Введение

1. Исследование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта

2. Теорема Виета

3. Расположение корней квадратного трехчлена

Заключение

Литература



Введение

Решение задач с параметром повышает уровень логического мышления учащихся, требует нестандартного подхода и творческого отношения к задаче, знаний теоретического обоснования свойств функций и умений грамотно применять для конкретного задания определённые свойства на практике, а также рассмотрение всех возможных исходов задачи.

Задачи с параметром часто сводятся к исследованию корней квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен является одной из основных функций школьного курса математики. Однако для многих учащихся данные задачи являются непосильными. Большая часть абитуриентов ВУЗов не приступает к выполнению заданий, содержащихся параметр, на выпускных или вступительных испытаниях. Поэтому решение задач с параметрами, сводящихся к исследованию корней квадратного трехчлена, - актуальная тема.

Целью данной работы является изучение различных методов и приёмов решений задач с параметрами, сводящихся к исследованию корней квадратного трехчлена.

Для достижения выявленной цели необходимо решить следующие ключевые задачи:

1. C помощью теорем определить положение квадратичной функции и её корней без вычисления самих корней;

2. Выделить основные методы и приёмы решения задач с параметром, сводящихся к исследованию корней квадратного трехчлена;

3. Разработать набор упражнений, позволяющий рассмотреть различные методы решения задач данного типа.



1. Исследование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта

Выражение вида f (x) = ax² + bx +c называется квадратным трехчленом, где а ? 0.

Число D = b² - 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если D>0, то f (x)=0 имеет два различных корня, которые находятся по формуле:

x_1,2 = .

При чётном значении коэффициента b корни ищутся по формуле:

x_1,2 = , где .

Данную формулу называют чётной формулой дискриминанта, а (также обозначается D^' и D₁ ) называют упрощённым или сокращённым.

Если D = 0, то f (x) = 0 имеет одно решение (2 совпадающих корня), которое имеет вид x = .

Если D<0, то уравнение не имеет действительных решений.

Квадратное уравнение, у которого коэффициенты b или (и) c равны 0 называется неполным квадратным уравнением. В этих случаях вычислять дискриминант не нужно.

Существует несколько теорем, связанных с неравенствами f (x) < 0,

f (x) ? 0, f (x) < 0, f (x) ? 0



где f (x) - квадратный трехчлен. Пусть для определённости f (x) = x² + px + q, то есть ветви параболы направлены вверх и коэффициент a равен 1 (в противном случае обе части неравенства можно умножить на a). [9, стр. 12]

Теорема 1. Для любого действительного значения переменной x неравенство x² + px + q > 0 выполняется, если D= p² - 4q < 0 .

Доказательство. f (x)= x² + px + q > 0, то есть парабола должна лежать выше оси абсцисс (не пересекать её). Значит, уравнение x² + px + q = 0 не должно иметь действительных корней, то есть D= p² - 4q < 0, что и требовалось доказать. [18]

Теорема 2. Для любого действительного значения переменной x неравенство x² + px + q ? 0 выполняется, если D= p² - 4q ? 0 .

Доказательство. f (x)= x² + px + q ? 0, то есть парабола должна лежать выше оси абсцисс или касаться её своей вершиной. Значит, уравнение x² + px + q = 0 либо имеет единственный корень, либо не имеет действительных корней, то есть D= p² - 4q ? 0, что и требовалось доказать.[18]

Теорема 3. Неравенство x² + px + q < 0 имеет решение, если

D= p² - 4q > 0.

Доказательство. f (x)= x² + px + q < 0, то есть часть параболы должна находиться ниже оси абсцисс. Поскольку ветви параболы направлены вверх, то она пересекает ось 0x в двух точках. Значит, уравнение x² + px + q = 0 имеет два действительных различных корня, то есть D= p² - 4q > 0, что и требовалось доказать.[18]

Теорема 4. Неравенство x² + px + q ? 0 имеет решение, если

D= p² - 4q ? 0.

Доказательство. f (x)= x² + px + q ? 0, то есть часть параболы должна находиться ниже оси абсцисс или парабола должна касаться оси абсцисс своей вершиной. Значит, уравнение x² + px + q = 0 имеет два действительных различных или совпадающих корня, то есть D= p² - 4q ? 0, что и требовалось доказать.[18]

Иллюстрации к теоремам 1-4 представлены на рисунках 1-4 соответственно.

Рассмотрим несколько примеров с параметрами, в которых применяется данная теория.

Пример 1. Найдите все значения параметра p, для каждого из которых квадратное уравнение 4x² - px +1 = 0:

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет один корень (два совпадающих). [3, стр.7]

Решение. В зависимости от знака дискриминанта данного уравнение имеет различное количество решений.

Выпишем, чему равны коэффициенты a, b и c исходного уравнения: a = 4, b = -p, c = 1.

Вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = (-p)² - 4•4 = p² - 16

Далее нужно определить знаки дискриминанта. График функции

f (p) = p² - 16 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Разложим f (p) на множители и отметим её нули на координатной прямой (как показано на рисунке 5): f (p) = (p-4)(p+4)

На промежутках (-?; -4) и (4; +?) график функции f (p) выше оси x, а это значит, что D > 0 и уравнение 4x² - px +1 = 0 при p (-?; -4)(4; +?) имеет два корня. На промежутке (-4; 4) график функции f (p) ниже оси x, значит D<0 и исходное уравнение не имеет корней при p (-4; 4). В точках -4 и 4 дискриминант обнуляется, а значит при p = ± 4 уравнение 4x² - px +1 = 0 имеет один корень.

Ответ: а) (-?; -4) (4; +?); б) (-4; 4); в) ± 4 .

Пример 2. Решить уравнение (m - 2)x² - 2mx + 2m - 3 = 0 относительно x. [3, стр.7]

Решение. Старший коэффициент при x² равен m - 2. Если m = 2, то уравнение имеет вид: 0x² - 4x + 4 - 3 = 0 => -4x = -1, откуда x = 0, 25.

Рассмотрим случай, когда m ? 2. Найдём дискриминант данного уравнения по чётной формуле: D₁ = (-m) ² - (2m - 3)(m-2) = -(m - 6)(m - 1)

Отметим нули D₁ на координатной прямой и определим его знаки с помощью графика квадратичной функции, ветви которой направлены вниз, что проиллюстрировано на рисунке 6.



При m (-?; 1) (6; +?) D₁ < 0, а это значит, что исходного уравнение не имеет корней.

При m (1; 6) D₁ > 0, то есть x_1,2 = .

В точках 1 и 6 D₁ = 0 и уравнение имеет один корень:

а) m = 1, x = = -1;

б) m = 6, x = = 1,5.

Ответ: при m (-?; 1) (6; +?) - корней нет; при m (1; 6 ),

x_1,2 = ;

при m = 1, x = -1; при m = 6, x= 1,5.

Пример 3. При каких значениях параметра t уравнение

t(t + 3)x² + (2t + 6)x - 3t - 9 = 0

имеет более одного корня? [3, стр.13]

Решение. В данном уравнении коэффициент a = t(t + 3).

Если t = 0, тогда уравнение имеет вид 0x² + 6x - 9 = 0 и x = 1,5, то есть уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условиям задачи.

Если t = -3, тогда 0x = 0 и x - любое действительное число.

Рассмотрим случай, когда коэффициент a не обнуляется. Найдём упрощённый дискриминант: D₁ = (t + 3)² - (- 3t - 9)(t + 3).

Чтобы уравнение имело более одного корня, D₁ должен быть строго больше нуля:

D₁ = (t + 3)² ( 1 + 3t) > 0

Отметим нули D₁ и с помощью метода интервалов определим его знаки, как показано на рисунке 7.

Из промежутка ( - ;+?) исключаем точку 0, поскольку случай t = 0 был рассмотрен ранее и не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Пример 4. Найдите все значения параметра q, при каждом из которых квадратное уравнение 0,5x² - 2x + 3q +1,5 = 0 имеет два различных корня, сумма кубов которых меньше 28. [14]

Решение. Данное уравнение имеет дробные коэффициенты, поэтому для удобства вычисления, умножим все уравнение на 2: x² - 4x + 6q + 3 = 0.

Вычислим дискриминант с помощью четной формулы: D₁ = 4 - 6q - 3 =

= 1 - 6q. Поскольку в условии задачи сказано, что уравнение должно иметь два различных корня, то D₁ > 0, 1 - 6q > 0 => q < .

Найдём x: x₁ = 2 + , x₂ = 2 - .

По условию задачи: x₁³ + x₂³ < 28. Разложим куб суммы на множители:

(x₁ + x₂)(x₁² - x₁x₂ + x₂²)< 28, далее выделим полный квадрат из второго множителя: (x₁ + x₂)((x₁ + x₂₎²- 3x₁x₂)< 28, затем подставляем x₁ и x₂ в неравенство: 4(16 - 18q - 9) < 28, откуда получаем q > 0.

Ответ: (0; .

Пример 5 (задача из варианта ЕГЭ). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых модуль разности корней квадратного уравнения

x² - 6x + 12 + a² - 4a = 0 принимает наибольшее значение. [16]

Решение. Поскольку в данном уравнении коэффициент b = - 6,вычислим упрощённый дискриминант: D₁ = 9 - 12 + a² - 4a ? 0, (a - 1)(3 - a ) ? 0.

Найдём значения x: x₁ = 3 + , x₂ = 3 - .

Теперь составим модуль разности корней: =

Обозначим f (a) = 2. Наибольшее значение функция f (a) будет принимать точке максимума. Вычислим производную данной функции: f'(a) = . Числитель f'(a) обнуляется при a= 2. Проверим, является ли 2 максимумом функции (рисунок 8):

Ответ: 2.

Эту задачу можно решить без применения производной. Для этого, оценим подкоренное выражение -a² + 4a - 3 = -(a - 2)² + 1 ? 1. Следовательно, наибольшее значение подкоренного выражения равно 1, значит наибольшее значение |x₁ - x₂| = .

Пример 6. Решите уравнение относительно x. [3, стр. 15]

Решение. Приведём все дроби к общему знаменателю b(x - b):

При b ? 0 и b ? x: 2x² + bx +b - 2 = 0

D = b² - 8(b - 2) = b² - 8b + 16 = (b - 4)² ? 0

При b = 4: x= = -1

При b ? 4: D > 0; x₁ = = ? b => b ? , x₂ = =-1? b

Ответ: x = -1 при b ; x = при b .

Пример 7. Найдите все значения параметра a, при которых найдётся хотя бы одно значение x, что выполняется неравенство

. [17]

Решение. Область определения параметра a: |a| > 0. Сделаем замену: = ? => x² - 2x•? + 3 - 2? < 0

По теореме 3 из данного параграфа: f (x) < 0, если D > 0:

D = ?² + 2? - 3 > 0 =>

Ответ. 0 < |a| < , |a| > 2 .



2. Теорема Виета

Значительно упрощает решение многих задач, связанных с квадратным трехчленом, теорема Виета, которая формулируется следующим образом:

Теорема Виета: если x₁ и x₂ - корни уравнения ax² + bx +c = 0, то

x₁ + x₂ = - , x₁ •x₂ = .

Доказательство. Корни уравнения ax² + bx +c = 0 с дискриминантом D равняются: x₁ = , x₂ = => x₁ + x₂ = = и , что и требовалось доказать. [1, стр.135]

Теорема, обратная к теореме Виета: если квадратное уравнение имеет корни x₁ и x₂ такие, что x₁ + x₂ = -p и x₁ •x₂ = q,то уравнение может быть записано как x² + px + q= 0.

Доказательство. Подставим значения p и q: x² - (x₁ + x₂)x + x₁ • x₂ = 0

Вместо x подставим x₁: x₁² - x₁ ² - x₁ • x₂ + x₁ • x₂ =0=> x₁ - корень уравнения x² + px + q= 0. Поставим x₂ вместо x: x₂² - x₂² - x₁ • x₂ + x₁ • x₂ = 0 => x₂ - корень уравнения x² + px + q= 0, что и требовалось доказать. [1, стр. 136]

Пример 1. При каких значениях параметра b корни уравнения

x² + (3b-5)x - 2 = 0 равны по модулю и противоположны по знаку? [3, стр.12]

Решение. По условию задачи корни уравнения равны по модулю и противоположны по знаку, то есть x₁ = - x₂. По теореме Виета: x₁ + x₂ = - 3b + 5, -x₂ + x₂ = 0 => -3b = - 5, откуда b = .

Ответ: .

Пример 2. При каких значениях параметра m сумма корней уравнения

x² + 2mx + 2m² + 4m + 3 = 0 является наибольшей и чему она равна? [9, стр.23]

Решение. Чтобы корни данного уравнения существовали, необходимо чтобы его дискриминант был неотрицательным. Вычислим D₁:

D₁ = m² - 2m² - 4m - 3 = -m² - 4m - 3 ? 0 => m .

Выразим сумму квадратов данного уравнения через их сумму и произведение: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂.

По теореме Виета: x₁ + x₂ = -2m, x₁x₂ = 2m² + 4m + 3.

Подставим сумму и произведение корней в сумму квадратов:

(-2m)² - 2(2m² + 4m + 3) = -8m - 6.

Наибольшее значение суммы квадратов корней данного уравнения будет приниматься при m = -3: -8•(-3) - 6 = 18.

Ответ: при m = -3 сумма квадратов уравнения равна 18.

Пример 3. Найдите все значения параметра с, при которых корни уравнения x² + (2c -1)x + c² + 2 = 0 такие, что x₁ = 2x₂ .

Решение. С помощью дискриминанта найдём все допустимые значения параметра с, при которых данное уравнение имеет два различных корня:

D = (2c - 1)² - 4(c² + 2) = -4c - 7 > 0 => c <- .

По теореме Виета:

Подставим x₁ = 2x₂: => =>

c² + 8c + 16 = 0, (c+4)² = 0 => c = -4 (что удовлетворяет условию D > 0).

Ответ: -4.

Пример 4. При каких значениях параметра k система

имеет решение? [9, стр.22]

Решение. По обратной теореме Виета из первых двух уравнений системы следует, что 2x и y - корни квадратного уравнения z² + (1 - k)z + k² - 3k + 1 = 0

Чтобы у этого уравнения существовали действительные корни, необходимо чтобы D ? 0: D = (1 - k) ² - 4(k² - 3k +1) ? 0 => k .

Заметим, что 4 = (2x + y)² - 4xy, тогда третье неравенство системы имеет вид: (k - 1)² - 2(k² - 3k + 1) ? -k² + 5k - 4 => k ? 3.

Из области определения подходит только k = 3.

Ответ: 3.

Пример 5. При каких значениях параметра p уравнение

4^x + (p² + 5) • 2^x - p² + 9 = 0 не имеет решений? [9, стр.23]

Решение. Сделаем замену: 2^x = a > 0. Получаем: a² + (p² + 5)a - p² + 9= 0.

По теореме Виета: a₁ + a₂ = -p² - 5 < 0 при любом p, a₁•a₂ = - p² + 9.

Если p , то есть - p² + 9 ? 0, то либо корней нет, либо они оба неположительные. В обоих случаях исходное уравнение не имеет решений.

Если p , то D = (p² + 5)² + 4(p² - 9), что больше нуля при любом значении p из данного промежутка. И по теореме Виета a₁•a₂ = - p² + 9 < 0, значит один из данных корней положительный, а другой отрицательный. При обратной замене 2^x = a положительный корень даст решение x = log₂ a.

Ответ: [-3; 3].

Пример 6. Решите уравнение относительно x. [7, стр.24]

Решение. Поскольку в левой части уравнения корень чётной степени, правая часть должна быть неотрицательной, то есть x ? 0. Возведём уравнение в квадрат: => ? 0 . Возведём вновь полученное уравнение в квадрат: b +x = b² - 2b • x² + x⁴ , b² - (2x² +1)•b + x⁴ - x = 0 - квадратное уравнение относительно b.

D = (2x² + 1)² - 4(x⁴ - x) = (2x +1)² => = 2x + 1

(модуль можно опустить, поскольку x ? 0).

=> b₁ = x² + x + 1; b₂ = x² - x

Разложим уравнение на множители (b - x - x² -1)•(b - x² + x) = 0 и получим два квадратных уравнения относительно x:

1) x² + x + 1 -b =0:

Из условия x ? 0 и первого уравнения системы следует, что b - x² > 0 => достаточно только условия x ? 0 .

По теореме Виета: x₁ + x₂ = -1 => уравнение может иметь только один неотрицательный корень при b ? 1; D = 1 - 4 + 4b = 4b - 3

< 0 при b ? 1

? 0 при b ? 1 => .

2) x² - x - b = 0: => b = x = 0

Ответ: при b ? 1: x = ; при b = 0: x = 0 .



3. Расположение корней квадратного трехчлена

Расположение корней квадратного трехчлена можно исследовать без нахождения самих корней. Для этого существует несколько теорем.

Теорема 1. Корни квадратного трехчлена f (x) = ax² + bx +c x₁ и x₂ (возможно, совпадающие) меньше числа A тогда и только тогда, когда (рис.9)

Доказательство:

Необходимость. Существуют корни x₁ и x₂ (возможно, совпадающие) такие, что x₁ < A и x₂ < A => (x₁ - A)• (x₂ - A) > 0, x₁•x₂ - (x₁ + x₂)•A + A² > 0 и x₁ + x₂ < 2A => A > 0,5(x₁ + x₂). По теореме Виета:

x₁ + x₂ = , x₁• x₂ =

;

A >- => ,

что и требовалось доказать.

Достаточность. . Докажем методом от противного.

Пусть x₁ ? A и x₂ ? A => x₁ + x₂ = ? 2A => x_в ? A (противоречие с первым неравенством системы).

Пусть x₁ ? A ? x₂ => (x₁ - A)(x₂ - A) ? 0 , x₁•x₂ - (x₁ + x₂)•A + A² ? 0 (противоречие со вторым неравенством системы) => x₁ < A и x₂ < A, что и требовалось доказать. [7, стр.5]

Теорема 2. Число A расположено строго между корнями квадратного трехчлена f (x) = ax² + bx +c тогда и только тогда, когда a•f(A)< 0 (рис.10)

Доказательство:

Необходимость. Существуют корни x₁ и x₂ такие, что x₁ < A < x₂ =>

(x₁ - A)• (x₂ - A) < 0, x₁•x₂ - (x₁ + x₂)•A + A² < 0. По теореме Виета:

x₁ + x₂ = , x₁• x₂ = ,

что и требовалось доказать.

Достаточность. a•f(A) < 0. Докажем методом от противного.

Пусть x₁ ? A и x₂ ? A или x₁ ? A и x₂ ? A => (x₁ - A)(x₂ - A) ? 0,

x₁•x₂ - (x₁ + x₂)•A + A² ? 0 =>

(противоречие) => x₁ < A < x₂ , что и требовалось доказать. [7, стр. 5]

Теорема 3. Корни квадратного трехчлена f (x) = ax² + bx +c x₁ и x₂ (возможно, совпадающие) больше числа A тогда и только тогда, когда (рис.11)

Доказательство:

Необходимость. Существуют корни x₁ и x₂ (возможно, совпадающие) такие, что x₁ > A и x₂ > A => (x₁ - A)• (x₂ - A) > 0, x₁•x₂ - (x₁ + x₂)•A + A² > 0

и x₁ + x₂ > 2A => A < 0,5(x₁ + x₂). По теореме Виета

x₁ + x₂ = , x₁• x₂ =

;

A < - =>

что и требовалось доказать.

Достаточность. . Докажем методом от противного.

Пусть x₁ ? A и x₂ ? A => x₁ + x₂ = ? 2A => x_в ? A (противоречие с первым неравенством системы).

Пусть x₁ ? A ? x₂ => (x₁ - A)(x₂ - A) ? 0 , x₁•x₂ - (x₁ + x₂)•A + A² ? 0 (противоречие со вторым неравенством системы) => x₁ > A и x₂ > A, что и требовалось доказать. [7, стр.6]

Из данных теорем можно сформулировать следующие следствия:

1) Корни квадратного трехчлена f (x) = ax² + bx +c x₁ и x₂ (возможно, совпадающие) принадлежат интервалу от A до B тогда и только тогда, когда (рис.12)

2) Отрезок от A до B принадлежит промежутку между корнями квадратного трехчлена f (x) = ax² + bx +c тогда и только тогда, когда

(рис. 13)



3) Квадратный трехчлен f (x) = ax² + bx +c имеет два различных корня и только один из них принадлежит интервалу (A; B) тогда и только тогда, когда f(A)•f(B) < 0 (рис. 14)

Пример 1. Найдите все значения параметра t, при которых квадратное уравнение x² + x + t = 0 имеет два различных корня и оба корня больше t.

Решение. К данному уравнению применима теорема 3. Однако уже ясно, что a = 1 > 0 (рисунок 15) .В конкретной задаче корни уравнения различны, а это значит, что к системе добавляется условие D > 0

=>=> t (-?; -2)

Ответ: (-?; -2).

Пример 2. Найдите все значения параметра m, при которых корни уравнения 2x² - (m³ - 8a - 1)x + m² - 4 = 0 разных знаков.

Решение. Корни исходного уравнения x₁ и x₂ по условию задачи должны быть разных знаков. Это означает, что 0 находится строго между ними (рисунок 16) Тогда по теореме 2: 2f(0) < 0 => (m - 2)(m + 2) < 0 => m (-2; 2).

Ответ: (-2; 2).

Пример 3. При каких значениях параметра k корни квадратного уравнения x² - kx + 2 = 0 принадлежат отрезку [0; 3]?

Решение. В конкретной задаче не сказано, что корни должны быть различны, а это значит, что D ? 0. В отличие от теоремы 4 в данной задаче корни принадлежат отрезку, а не интервалу, то есть неравенства будут нестрогими.

=> => k

Ответ:

Пример 4. При каких значениях параметра b корни уравнения x²- 12x+b=0 существуют и хотя бы один из этих корней меньше либо равен двум? [9, стр.29]

Решение. Графическая интерпретация задачи проиллюстрирована на рисунке 17.



D₁ = 36 - b, меньший из корней уравнения равен: x₁ = 6 - ? 2 => ? 4, поскольку обе части неравенства положительны, возведём все неравенство в квадрат: 36 - b ? 16 => b ? 20 .

Ответ: b ? 20 .

Пример 5. Найдите все значения параметра q, при которых один корень уравнения qx⁴ - (q - 3)x² + 3q =0 меньше - 2, а три остальные больше - 1. [6, стр.16]

Решение. Сделаем замену: x² = z; qz² - (q-3)z + 3q = 0. Переформулируем условие задачи: найдите все значения параметра q, при которых один корень уравнения qz² - (q-3)z + 3q = 0 больше 4, а другой меньше 1, но не меньше 0.

Полученное уравнение должно иметь два различных действительных корня => D > 0 и q ? 0, значит, его можно разделить на q: z² - z + 3 = 0.

По теореме 3 и второму следствию из данного параграфа: f (1)< 0, f(4) <0, f(0) > 0. Заметим, что f(0) = 3 => задача сводится к решению системы:

=> 0 < q < 0,8

Ответ: 0 < q < 0,8 .

Пример 6. При каких значениях параметра a число 3 находится между корнями уравнения ? [6, стр.18]

Решение. Из области определения логарифма следует: a > 0. Заменим на b ? 0, x² - 2bx + 3b = 0.

По теореме 3 из данного параграфа:

f(3) < 0 => 9 - 6b +3b < 0 9-3b<0 => b > 3 > 3

=>

Ответ: a .

Пример 7. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет решение. [6, стр.14]

Решение. Заменим на z и переформулируем условие задачи: найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение z² +az + 1- a² = 0 имеет хотя бы одно решение на отрезке [-1; 1]?

Рассмотрим граничные значения z: z = -1 => a = 1 или a = -2; z =1 =>

a = -1 или a = 2. Возможно ещё два случая:

1) только один корень принадлежит интервалу от -1 до 1=> по третьему следствию из данного параграфа: f(-1)•f(1) < 0, то есть

(1 - a + 1 - a²)• (1 + a + 1 - a²) < 0 (a + 1 )(a + 2) ( a - 1)(a - 2) < 0 => a ;

2) оба корня уравнения принадлежат интервалу от -1 до 1=> по первому следствию из данного параграфа:

=>



Объединяя все возможные случаи, получаем:

Ответ:



Заключение

В данной курсовой работе были изучены теоремы о положении квадратичной функции и её корней, теорема Виета и обратная к ней теорема, а также было рассмотрено применение данных теорем к задачам с параметрами, сводящихся к исследованию корней квадратного трехчлена.

Многие задачи с параметрами можно свести к исследованию корней квадратного трехчлена. Вычисление корней квадратного уравнения может вызвать технические трудности при решении задач с параметрами. Рассмотренные в данной работе теоремы позволяют решить эти задачи без прямого вычисления при помощи необходимых и достаточных условий.

Необходимо выделить особое внимание решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию корней квадратного трехчлена, поскольку с их помощью можно проверить теоретические знания основных разделов школьной математики и умение применить эти знания на практике, уровень математического и логического мышления, способность находить нестандартные решения и творчески подходить к заданию. Задачи с параметром, в том числе задачи, рассмотренные в данной работе, носят исследовательский характер и требуют уверенного владения теоретическим материалом. Они являются будущей моделью научной работы учащегося.

теорема квадратичный корень трехчлен



Литература

1. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2013. - 287 с.

2. Амелькин В.В., Рябцевич В.А. Задачи с параметрами. - Минск: Издательство «Асар», 2004. - 464 с.

3. Зевина Е.П. Решение квадратных уравнений с параметрами: методическое пособие. - Оренбург, 2015. - 28 с.

4. Крамор В. С. Задачи с параметром и методы их решения / В. С. Крамор. - М. : ООО «Издательство Оникс» : ООО «Издательство Мир и Образование», 2007. - 416 с.

5. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы: Учебное пособие. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: АРКТИ, 2005. - 96 с.

6. Магомедов И.М. Квадратные уравнения с параметрами: методическое пособие. - Мегион, 2013 - 22 с.

7. Маринин А.И. Исследование квадратного трехчлена: учебное пособие. - Н.Новгород, 2009. - 33 с.

8. Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. - М. : МИЭТ, 2004. - 258 с.

9. Садовничий Ю.В. ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. Задание 18. Задачи с параметром / Ю. В. Садовничий. - М.: Издательство «Экзамен», 2017. - 126 с.

10. Яковлев И.В. Параметры и квадратный трехчлен. - М., 2017. - 14 с.

11. Ястрибинский Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметр : пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1972 - 126 с.

12. Дрофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. - Львов: журнал «Квантор», 1991

13. Безрукова О.Л. Задачи с параметрами, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/528319/

14. Будников А.А. Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://abudnikov.ru/ege/chast-2.2/zadachi-s-parametrami/kvadratnyie-uravneniya-s-parametrom.html

15. Городецкий С.Е. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://phystech.academy/course/1222/2-kvadratnye-uravneniya-i-neravenstva-s-parametrom

16. Гущин Д.Д. Задачи с параметром [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/problem?id=513278

17. Задачи на расположение корней квадратного трехчлена [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/504b6cb5-27bf-416c-ab23-cbe398559496/block2.htm

18. Решение квадратных неравенств [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://uclg.ru/education/matematika/9_klass/neravenstva/lecture_lec_reshenie_kvadratnyih_neravenstv.html

Размещено на Allbest.ru

...