Методы и приемы решения дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ (МГОУ)

Физико-математический факультет

Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики

преподавания математики

Курсовая работа

по дисциплине «Элементарная математика»

тема: «Методы и приемы решения дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр»



СОДЕРЖАНИЕ

дробный рациональный уравнение параметр

ВВЕДЕНИЕ

1. Основные понятия в теории решения дробно-рациональных уравнений

2 Сущность понятия «параметр» и «уравнение с параметром»

3. Методы решения уравнений с параметром

3.1 Аналитический метод

3.1.1 Практическое применение аналитического метода решения задач с параметром к решению дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр

3.2 Графический метод

3.2.1 Практическое применение графического метода решения задач с параметром к решению дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр

3.3 Метод замены

3.3.1 Практическое применение метода замены в решении задач с параметром к решению дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметрами являются обязательной составляющей в изучении школьного курса математики, также они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. В курсе алгебры основной школы внимание уделяется рациональным параметрическим уравнениям, и только небольшая часть этой темы отводится на изучение именно дробно-рациональных уравнений с параметром.

Данная тема актуальна, так как в последние годы одним из номеров ЕГЭ является задача с параметром, в частности дробно-рациональные уравнение, содержащие параметр, поэтому необходима отработка методов решения данных задач.

Целью данной работы является изучение методов и приемов решения дробно-рациональных уравнений с параметром.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть различные определения дробно-рациональных уравнений с параметром;

2. Выделить основные методы и приемы решения дробно-рациональных уравнений с параметром;

3. Рассмотреть примеры решения дробно-рациональных уравнений с параметром.



1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В ТЕОРИИ РЕШЕНИЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнением называют аналитическую запись задачи о нахождении тех значений аргументов функций при которых значения функций будут равны.

Уравнение, левая и правая части которого представляют собой рациональные выражения, называют рациональным уравнением.

Если обе части рационального уравнения или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, и такое уравнение можно свести к виду

где многочлены, причем дробь несократима,, то такое уравнение называется дробно-рациональным уравнением.

Решение дробно-рационального уравнения сводится к нахождению корней уравнения и проверке того, что они удовлетворяют условию , т.е. дробно-рациональное уравнение равносильно системе

Общий прием решения дробно-рациональных уравнений следующий:

1. Если уравнение имеет несколько слагаемых, то переносят их по одну сторону знака равенства, чтобы с другой стороны остался 0;

2. Приводят к общему знаменателю;

3. Находят корни числителя;

4. Исключают из его корней те, которые не принадлежат области допустимых значений, то есть те, которые обращают в нуль знаменатель дроби.



2. СУЩНОСТЬ ПОНЯТИЙ «ПАРАМЕТР» И «УРАВНЕНИЕ С ПАРАМЕТРОМ»

Параметр (от греч. parametron - отмеривающий) - величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. Данная величина может принимать любые значения. Например, в уравнении x² + y² = r² величина r задает множество окружностей с различным радиусом. При конкретном значении мы получаем одну из окружностей этого семейства.

Областью определения уравнения с параметром являются все такие системы значений и , при которыхимеет смысл.

Решением уравнения с параметром является система значений и из области определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство.

Решить уравнение с параметром- это значит, для каждого действительного значения найти все решения данного уравнения или доказать, что их нет.

Выделяют следующие виды параметризации дробно-рациональных уравнений:

1. Свободный член находится в числителе (например, );

2. Свободный член находится в знаменателе (например, );

3. Свободный член находится и в числителе, и в знаменателе (например, );

4. Наличие коэффициента при переменной в числителе или знаменателе (например, ).



3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

3.1 Аналитический метод

Аналитический метод является не только самостоятельным методом решения задач, но и обязательной составной частью всех остальных методов. Основной частью аналитического метода решения задач является метод эквивалентных или равносильных преобразований. Предлагаемый подход к решению уравнений с параметрами основан на замене одного математического высказывания другим равносильным математическим высказыванием. Задача рассматривается как некоторое логическое высказывание, область истинности которого предстоит в результате его рассмотрения. При этом исходное условие рядом равносильных преобразований или преобразований-следствий приводится к совокупности простейших логических утверждений, истинность или ложность которых считается установленной.

В аналитическом методе решения задач чаще всего используется прием дробления - разделение условия задачи на совокупность более простых условий.

Все равносильные преобразования уравнений выполняют на области допустимых значений (ОДЗ) заданного уравнения (то есть на общей области определения для всех функций, которые входят в запись уравнения). Поэтому, прежде чем записать ответ, нужно обязательно учесть ОДЗ заданного уравнения.

1. Дробно-рациональные уравнения с параметром, сводящиеся к линейным.

Уравнение вида

где - выражения, зависящие только от параметров, а - неизвестное, называется линейным уравнением относительно. Оно приводится к виду

и при имеет единственное решение

при каждой системе допустимых значений параметров. При - любое число, а при решения нет.

Рассмотрим методы решений дробно-рациональных уравнений с параметром, сводящихся к линейным:

a. Без «ветвлений»

Пусть нам дано дробно-рациональное уравнение

где - параметр, -некоторые числа, .

Найдем ОДЗ:

Перейдем к равносильному уравнению:.

Тогда получится, что

Ответ: при.

b. С «ветвлениями»

Пусть нам дано дробно-рациональное уравнение

где - параметр, - некоторые числа, .

Найдем ОДЗ:

Перейдем к равносильному уравнению:

Рассмотрим два случая:

1) Если то решений нет;

2)Если то. Учитывая ОДЗ, получим:

Отсюда следует:

Ответ: при и .

2. Дробно-рациональные уравнения с параметром, сводящиеся к квадратным

Уравнение вида

где - неизвестное, - выражения, зависящие только от параметров, и называется квадратным уравнением относительно . Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых - действительны.

Пусть

Квадратное уравнение

не имеет решений тогда и только тогда, когда

Квадратное уравнение имеет:

1) два различных корня тогда и только тогда, когда

2) два (может быть кратных) корня тогда и только тогда, когда

3) два положительных корня тогда и только тогда, когда

или

4) два отрицательных корня тогда и только тогда, когда

или

5) корни разных знаков тогда и только тогда, когда

6) корень, равный нулю тогда и только тогда, когда

7) два разных корня тогда и только тогда, когда

8) два разных корня тогда и только тогда, когда

9) два корня тогда и только тогда, когда

10) корни тогда и только тогда, когда

11) корни тогда и только тогда, когда

12) корни тогда и только тогда, когда

13) один корень внутри интервала, а другой вне этого интервала тогда и только тогда, когда

Рассмотрим метод решения дробно-рациональных уравнений с параметром, сводящихся к квадратным.

Пусть нам дано дробно-рациональное уравнение

где - параметр, - некоторые числа, .

Найдем ОДЗ:

Перейдем к равносильному уравнению:

Найдем дискриминант этого уравнения:

Рассмотрим ряд случаев:

1) Если то

2) Если то Решений нет;

3)Если то

Исследуем равносильное уравнение:

Если то

Подставляем в равносильное уравнение и находим корни. Исключаем тот, который не соответствует ОДЗ.

Пишем ответ.



3.1.1 Практическое применение аналитического метода решения задач с параметром к решению дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр

1. Дробно-рациональные уравнения с параметром, сводящиеся к линейным:

a. Без «ветвлений»

Пример[1, с.18]: Решите уравнение

Решение: Найдем ОДЗ:

Умножим обе части уравнения на 6:

.

Ответ: при.

Пример[1, с.19]: Решите уравнение

Решение: Найдем ОДЗ:

Умножим обе части уравнения на 12:

Ответ: при.

b. С «ветвлениями»

Пример [11]:Определить количество различных решений уравнения

с параметром b.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Из условия получаем, что число 5 является корнем исходного уравнения, если. При нет корней.

Ответ: при единственный корень, при нет корней.

Пример [7, с.81]: Решить уравнение

Решение: Найдем ОДЗ:

Перейдем к равносильному уравнению:

Рассмотрим два случая:

1) Если то решений нет;

2) Если то Учитывая ОДЗ, получим:

Отсюда следует:

Ответ: при

Пример [9, с. 23]: Решите относительно

Решение:

Найдем ОДЗ:

Умножим обе части уравнения на

Отсюда при

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений , при которых найденное значение равно

Решив это уравнение, получим, что

Решив это уравнение, получим, что

Ответ: при , .

2. Дробно-рациональные уравнения с параметром, сводящиеся к квадратным

Пример[11, с. 9-10]: При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение?

Решение: При условии имеем (обратная теорема Виета). Для выполнения условия задачи необходимо рассмотреть пять случаев:

1)

2)

3)

4)

5)

Ответ: или

Пример [1, с. 178-179]: Решите уравнение

Решение: Найдем ОДЗ:

Перейдем к равносильному уравнению:

Найдем дискриминант:

Рассмотрим ряд случаев:

1)

a)

b)

2) Решений нет.

3)

Исследуем равносильное уравнение:

1) Если , то и

При уравение-следствие имеет корни

Таким образом, данное уравнение имеет только один корень

2) Если то Решений нет.

Ответ: ; .

Пример [9, с. 27]: Решите уравнение относительно

Решение: При уравнение не имеет смысла, значение должно удовлетворять условию:

Умножив обе части уравнения на , получим:

Найдем дискриминант:

Отсюда следует, что

Среди полученных корней могут быть и посторонние, а именно те, при которых обращается в 0. Чтобы выделить их, необходимо узнать, при каких значениях полученные корни (или один из них) принимают значение

при при этом

при при этом

Ответ: при при

3.2 Графический метод

Любая задача с параметрами есть задача как минимум с двумя переменными - аргументом и параметром. Следовательно, решение задачи - упорядоченный набор их значений, может рассматриваться как координаты точки некоторого евклидова пространства. В частности, непустое уравнение относительно одной переменной с одним параметром задает на плоскости некоторую линию. Уравнение относительно двух переменных и одним параметром задает некоторую поверхность в пространстве. Координатно-графический метод представляет искомые решения в виде геометрического места точек на координатной плоскости, где в качестве одной из координат выступает параметр, а в качестве другой - искомая переменная. Решение задачи в этом случае рассматривается как значение координаты, соответствующей искомой переменной, принадлежащей линии или области, задаваемой условием.

Поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему можно «выделить» свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость

Общие признаки, которые помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод:

1) в задаче фигурируют лишь один параметр и одна переменная , они конструируют некоторые аналитические выражения и т.д.

2) графики уравнений и т.д. в системе координатстроятся несложно.

Сам же процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «снимаем» нужную информацию.

3.2.1 Практическое применение графического метода решения задач с параметром к решению дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр

Пример[12]: Найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части: , что равносильно (рис.1). График данной функции нам известен - это парабола, ветви направлены вверх, корни ее легко найти: ,отсюда можно найти координаты вершины:



Рис.1

Далее необходимо рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ.

Рис. 2

Глядя на график (рис.2), выписываем ответ:

при решений нет;

при уравнение имеет единственное решение;

при уравнение имеет два решения.

Пример [12]: Найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Найдём область определения функции:

и

Значит, функция определена при .

Учитывая область определения, построим график функции стоящей в правойчасти (рис.3)

Рис.3

Далее необходимо рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ.

при и уравнение имеет единственное решение;

при решений нет.

Пример [2, с. 144-145]: Найти все значения параметра , при которых уравнение

имеет одно решение.

Решение: Без труда устанавливаем, что данное уравнение равносильно системе:

С помощью полученной системы легко построить график исходного уравнения (рис. 1). Именно наличие «проколов» в этом графике позволяет при иметь уравнению единственное решение.

Рис. 4

Ответ: .

Пример[13]: Изобразите на координатной плоскости множество точек для которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение: Найдем ОДЗ:

Перейдем к равносильному уравнению:

Рассмотрим случаи, когда уравнение имеет единственное решение:

1) но Тогда Из графика параболы нужно исключить точки, для которых то есть ; то есть и то есть

2) Квадратное уравнение имеет два корня, но один из них принадлежит области определения системы, а другой нет. Подставим «запрещенные» корни в квадратное уравнение, получим: если то если то если то

Получены уравнения трех прямых, из которых надо исключить точки их пересечения, соответствующие случаю, когда оба корня квадратного уравнения не принадлежат области определения (рис. 5).

Это точки

Рис. 5

Ответ:

3.3 Метод замены

Метод замены заключается в формулировке исходного условия задачи в терминах новых переменных, существенно упрощающих процесс решения.

Пусть дано дробно-рациональное уравнение

где - параметр, - некоторые числа,

Если то ; если то ; если то решений нет.

Пусть Тогда:

Перейдем к «старой» переменной:

Рассмотрим два этих случая:

1) :

a. Если то

b. Если то

2) :

a. Если то

b. Если то

Пишем ответ.

3.3.1 Практическое применение метода замены в решении задач с параметром к решению дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр

Пример [10]: В зависимости от параметра решить уравнение

Решение: Рассмотрим ряд случаев:

1) Если то

2) Если то

3) Если то решений нет.

Возведем до полного квадрата:

Вводим замену . Тогда будем иметь уравнение:

Найдем его дискриминант:

Находим корни:

Возвращаемся к «старой» переменной:

Рассмотрим уравнение :

1) При ;

2) При решений нет;

3) При ;

4) При , решений нет.

Проверим, при каких значениях будет выполняться :

Значит, нет таких значений при которых

Рассмотрим уравнение

Исследуем уравнение

1) При

2) При решений нет;

3) При

4) При решений нет.

Проверим, при каких значениях будет выполняться

Значит, нет таких , при которых

Проверим, сколько корней имеет уравнение при :

Проверим, сколько корней имеет уравнение при

Ответ: при ; при при при решений нет; при

Пример[11]

Исследовать количество различных решений уравнения

в зависимости от значений параметра а.

Решение. Так как основания для показательных выражений положительны, то решим систему неравенств

Пусть , где , тогда имеем

Исходное уравнение примет следующий вид:

= 1

(*)

Исследуем полученное уравнение, учитывая ограничения ,

Если , то уравнение (*) выполняется.

Пусть , тогда в силу монотонности показательной функции получаем и

Следовательно,

Аналогично при получаем неравенство . Отсюда получаем ответ.

Ответ: если , то один корень; если , то нет корней.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследовательской работы были изучены методы и приемы решения дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр. На разных типах задач были рассмотрены аналитический, графический методы, а также метод замены переменной. И к каждому из них были приведен примеры, для лучшего понимания их сущности.

При решении задач с параметрами приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи. Поэтому эта тема должна изучаться не только на дополнительных, элективных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру школьников.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беляева, Э.С. Математика. Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч.1 [Текст]: учебное пособие/ Э.С. Беляева, А.С. Потапов, С.А. Титаренко. -М.: Дрофа, 2009. -480 с.

2. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]/ П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. -3-е изд., доп. и перераб. -М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005. -328 с.

3. Нелин, Е.П. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни/ Е.П. Нелин, В.А. Лазарев. М.: Илекса, 2011. -480 с.: ил.

4. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 8 класс[Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. -10-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2010. -384 с.: ил.

5. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 9 класс[Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. -7-е изд., испр. и доп. -М.: Мнемозина, 2008. -447 с.: ил.

6. Мирошин, В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика[Текст]/ В.В. Мирошин. -М.: Издательство «Экзамен», 2009. -286 с.

7. Прокофьев, А.А. Задачи с параметрами [Текст]. - М.: МИЭТ, 2004. 258 с.

8. Фалилеева, М.В. Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром [Текст]:Учебное пособие. - Казань: Казан. ун-т, 2014. - 111 с.

9. Ястребинецкий, Г.А. Задачи с параметрами [Текст]. М.: Просвещение, 1986. -127 с.

10. Ермакова, Т.П. Урок-семинар по теме "Решение алгебраических уравнений высших степеней методом замены переменной". 11-й класс [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn-p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/502911/

11. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математика ЕГЭ 2011. Типовые задания С5. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://alexlarin.net/ege/2011/c52011.pdf

12. Образовательный портал InternetUrok. Графический метод в задачах с параметром. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://interneturok.ru/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/graficheskiy-metod-v-zadachah-s-parametrom-prodolzhenie-resheniya-zadach

13. Практикум абитуриента. Дробно-рациональные уравнения с параметром [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://studydoc.ru/doc/2046707/drobno--racional._nye-uravneniya-s-parametrom

Размещено на Allbest.ru

...