Задачи с параметром в материалах ГИА и методы их решения (по материалам ЕГЭ за последние 5 лет)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Классификация задач с параметрами

2. Основные методы решения задач, содержащих параметр

2.1 Аналитический метод

2.2 Графический метод

Заключение

Литература



ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметром составляют важную часть современного математического образования. Они помогают в формировании логического мышления, отработки навыка анализа и системного подхода к решению.

Задания с параметром были введены в материалы ЕГЭ ещё с 2001 года, когда экзамен проводился в форме эксперимента. С 2009 года ЕГЭ является единственной формой выпускных экзаменов, где также содержатся задачи с параметром. Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, а также таких, как решение уравнений и неравенств.

Одной из причин введения задач данного типа в итоговую аттестацию является то, что задачи с параметром встречаются не только в математике, но и в других науках, например, многие закономерности в физике описываются уравнениями и неравенствами с параметром. Кроме этого задания помогают оценить сформированность логического мышления.

Цель работы: изучить методы решения задач с параметром из материалов ЕГЭ.

Задачи работы заключаются в получении общего представления о заданиях с параметрами в материалах ЕГЭ, классификации методов их решения, а также в разработке набора упражнений, на примерах которых реализуются эти методы.



1. Классификация задач с параметрами

Основные определения

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Рассмотрим уравнение (1), где -- переменные величины. Любая система значений переменных при которой левая и правая части уравнения (1) принимают действительные значения, называется системой допустимых значений . Пусть -- множество всех допустимых значений переменной, -- множество допустимых значений и т. д., -- множество всех допустимых значений . Если у каждого из множеств выбрать и зафиксировать по одному значению и подставить в уравнение (1), то получим уравнение с одним неизвестным. Переменные считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение -- уравнением с параметрами. Решить уравнение с параметрами -- значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Основные типы задач

Тип1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Пример 1:Для всех действительных значений параметра с решите уравнение

Решение. Исходное кубическое по уравнение является квадратным относительно . Поэтому, считая переменную параметром, перепишем это уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно , опуская промежуточные шаги по раскрытию скобок и перегруппировке:

Посколькуи, то по обратной теореме Виета.

Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

.

Первое уравнение преобразуется к виду откуда:

(1): при решений нет;

(2): при единственное решение при два решения;

(3):

(4):

Второе уравнение совокупности имеет единственное решение (5): для любого значения параметра с.

Изображаем ось параметра с и отмечаем на ней граничные значения параметра, которые фигурируют в ответах к каждому уравнению совокупности (Рисунок 1).

Рисунок 1

Ответ:

Пример 2: При каком наибольшем отрицательном значении функция имеет максимум в точке ?

Решение. Максимумы функции достигаются в точках вида

Следовательно, чтобы у исходной функции достигался максимум в точке , должно существовать такое число , что

Остаётся лишь выбрать среди чисел вида

наибольшее отрицательное. Это будет число , получающееся при , так как если , то

Ответ:

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Пример 1: Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значений параметра

Решение. Область допустимых значений уравнения: .

Запишем уравнение в виде: . Рассмотрим две функции:

Построим графики функций (Рисунок 2). График первой функции - это верхняя половина окружности . График второй функции - биссектрисы первого и второго координатных углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции Если заменить на ,то последний график функции есть множество точек удовлетворяющих исходному уравнению.

Рисунок 2

Ответ: при корней нет; при два корня; при один корень.

Пример 2:Сколько корней имеет уравнениев зависимости от параметра ?

Решение. Построим в системе координат график функции, но сначала представим ее в виде:

Прямые являются асимптотами графика функции. График функции получается из графика функции смещением на единиц по оси (Рисунок 3)

Графики функций и пересекаются в одной точке при ; значит, исходное уравнение при этих значениях параметра имеет одно решение.

При графики пересекаются в двух точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет два корня.

При графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение при этих значениях параметра имеет три решения.

Рисунок 3

Замечание: При решении уравнения особо следует обратить внимание на случай, когда так как точка не принадлежит графику функции но принадлежит графику функции

Ответ: если то одно решение;

если то два решения;

если то три решения.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Пример 1:Найти все значения параметра , при которых система имеет ровно два решения.

Решение. Преобразуем систему к следующему виду:

Поскольку параметр находится в основании логарифма, на него накладываются следующие ограничения: .Поскольку переменная стоит под знаком логарифма, на нее накладывается следующее ограничение: .

Скомбинировав оба уравнения системы, переходим к уравнению: . В зависимости от того, какие значения принимает параметр , возможны два случая:

1) Пусть В этом случае функция убывает в области допустимых значений, а функция возрастает в той же области. Вспомнив внешний вид графиков соответствующих функций, осознаем, что корень у уравнения один, при этом он меньше 1. Второе уравнение системы и вся система в целом имеют, следовательно, два решения в силу того, что дискриминант уравнения при положителен. Рассматриваемый случай нам полностью подходит.

2) Пусть теперь . В этом случае функция возрастает на области допустимых значений, и функция возрастает в этой области. Вспомнив внешний вид графиков соответствующих функций, осознаем, что пересечься в одной точке они могут только в случае касания друг друга. Однако, касание это может произойти лишь в точке, абсцисса которой больше 1. Второе уравнение системы и вся система в целом, следовательно, иметь решений не будут в силу того, что дискриминант уравнения при отрицателен.

Ответ:

Пример 2: Найдите все значения , для каждого из которых уравнение имеет единственное решение.

Сделаем замену и перенесем все слагаемые в одну часть:

Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с тоже имело один (положительный!) корень. Заметим сразу, что при всех будет положительным.

Таким образом, получаем два случая:

1)

2) Так как всегда положителен, то должен быть

Ответ:

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Пример 1: При каких значениях параметра функция определена при всех x?

Решение.

Ответ: с

Пример 2: Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке

Уравнение можно переписать в виде:

Таким образом, заметим, что является корнем уравнения при любых , так как уравнение принимает вид . Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку нужно, чтобы

Второй корень уравнения находится из то есть . Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть:

Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку нужно, чтобы

Таким образом, чтобы корень существовал и принадлежал отрезку нужно, чтобы . Заметим, что тогда при оба корня и принадлежат отрезку (то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают:

Таким образом, нам подходят и

Ответ:

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром -- задачи с одной неизвестной и одним параметром.



2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, СОДЕРЖАЩИХ ПАРАМЕТР

2.1 Аналитический метод

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1:Найдите все значения параметра , при которых уравнение:

имеет не более одного корня.

Решение. При данное уравнение квадратным не является, поэтому случай разберём отдельно.

Если , то уравнение преобразуется в, оно имеет один корень.

Если , то уравнение является квадратным, а чтобы оно имело не более одного корня необходимо, чтобы дискриминант был неположительным.

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять, удовлетворяет ли вышеуказанному условию, а для этого надо сравнить числа и ; очевидно, что .

Ответ:UU.

Пример 2:Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнениене имеет решений.

Решение. Перепишем уравнение в виде

Найдём множество значений левой части получившегося уравнения. Для этого обозначим и рассмотрим функцию при. Её производная равна . На отрезке производная обращается в ноль при положительна при и отрицательна при . Значит, при функция убывает, а при возрастает. Наименьшее значение функции на отрезке - это . Чтобы определить наибольшее значение, найдём значения на концах отрезка: , Значит, наибольшее значение равно 26, и функция .

Следовательно, данное уравнение имеет решения при т. е. при а при всех остальных решений нет.

Ответ:

Пример 3: Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет ровно одно решение.

Данное уравнение равносильно следующему (условие положительности под логарифмического выражения можно опустить, так как в новом уравнении выходит, что оно равно при всех

Делаем замену . Получаем уравнение:

Исходное уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда вышеуказанное уравнение имеет ровно одно положительное решение. Это возможно в двух случаях.

1) Вышеуказанное уравнение имеет ровно одно решение и это решение положительно. Это может быть, если откуда Тогда получаем, что (один положительный корень)

2) Вышеуказанное уравнение имеет два корня, один из которых положителен, а другой - нет. В этом случае удобно разобрать два варианта:

А) Одним из корней уравнения является. Подставляя это значение, находим, что . Тогда уравнение принимает видт. е. действительно имеет ровно один положительный корень. Значит подходит.

Б) Один из корней положителен, а второй - отрицателен. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство откуда

Ответ:

Пример 4:Найдите все значения параметра , при каждом из которых система имеет ровно одно решение.

Решение. Заметим, что если пара чисел является решением этой системы, то пара чисел также является решением (так как при замене оба уравнения системы не изменяются). Поэтому если решение единственно, то оно имеет вид . Подставляя в системуполучаем

откуда находим, что или . Все остальные значениянам не подходят (при них система не имеет решений вида, поэтому ровно одного решения быть не может).

Проверим подходят ли значения и . Для этого подставляем найденные в исходную систему.

1) При получаем систему

Заметим, что пара чиселявляется решением этой системы. Но тогда также является решением. Значит, система имеет более одного решения, поэтомуне подходит.

3) При получаем

Из второго уравнения системы следует, что каждая из переменных по модулю не превосходит единицы. Перепишем первое уравнение системы в виде

Заметим, что прии левая часть уравнения неотрицательна, а правая - не положительна. Действительно,тогда каккроме того, на промежутке выполняется неравенство . Значит, равенство может достигаться, только если левая и правая части обращаются в ноль, что возможно при Заметим, что эта пара чисел также удовлетворяет второму уравнению системы. Таким образом, при система имеет решение и это решение единственно.

Ответ:

Пример 5: При каких значениях система имеет хотя бы одно решение?

Решение. Если, то система имеет решения (любая пара чисел, удовлетворяющая условию является решением системы, например,

Если , то обе части уравнений отличны от нуля, поэтому имеем право разделить первое уравнение на второе. Получаем откуда

Подставляем это во второе уравнение исходной системы и преобразуем:

Для того, чтобы система имела хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение.

При уравнение не имеет решений, а при всех остальныхоно равносильно следующему:Множество значений функции в левой части уравнения - это промежуток

Поэтому уравнение имеет хотя бы одно решение при

откуда

Ответ:

2.2 Графический метод

Графический метод. Координатная плоскость (хОу)

Задачи, содержащие параметр, требуют к себе особенный подход, здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, проводить графические исследования, соответствующие данным значениям параметра. Легче всего решать уравнения с помощью графического представления зависимости переменной от параметра . На плоскости (хОу) функция задает группу кривых зависящих от параметра Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно переходить к другим кривым группы.

Параллельный перенос

Пример 1: Для каждого значения параметра определить число решений уравнения

Решение: Построим график функции (Рисунок 4)

Рисунок 4

Рассмотрим Это прямая параллельна оси ОХ.

Ответ: Еслиили то решений нет;

если , то 3 решения;

если , то 2 решения;

если , то 4 решения.

Пример 2:Для каждого значения параметра определите количество решений уравнения

Решение. Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функцийи .

Графики функций

;

;

показаны на рисунке 5.

Рисунок 5

-это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от (например, при - две точки пересечения; при - восемь точек пересечения).

Ответ: при - решений нет; при и - четыре решения; при - восемь решений; при - семь решений; при - шесть решений; при - два решения.

Пример 3: При каких значениях параметра система не имеет решений?

Решение. Первое уравнение системы задаёт на плоскости квадрат (чтобы его построить, рассмотрим. Тогда уравнение принимает вид . Получаем отрезок - часть прямой лежащую в первой четверти. Далее отражаем этот отрезок относительно оси , а затем полученное множество отражаем относительно оси )(Рисунок 6). Второе уравнение задаёт квадрат равный квадрату но с центром в точке На рисунке 6 для примера изображён этот квадрат для Система не имеет решений, если эти два квадрата не пересекаются.

Рисунок 6

Несложно видеть, что если отрезки совпадают, то центр второго квадрата находится в точке Нам подойдут те значения , при которых центр расположен “выше” и “правее”, т. е. Аналогично рассматриваем случай, когда центр квадрата находится в третьей четверти. Тогда подходят значения .

Ответ:

Графический метод. Координатная плоскость (хОс)

Вообще, задачи, содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать, решая большое количество промежуточных задач. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых задача не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения. Для того, чтобы находить эти последние значения, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным.

Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению задач с параметром. Метод состоит в следующем:

1. Из уравнения (неравенства) с переменной и параметра выразим параметр как функцию от :.

2. В координатной плоскости () строим график функции:.

3. Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси , на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции, б) пересекает график функции в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.

4. Если поставлена задача найти значения , то выражаем через для каждого из найденных промежутков значения в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость (). Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами и определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Пример 4: Найдите все значения параметра , при каждом из которых система имеет ровно одно решение.

Изобразим решения системы неравенств на плоскости .(Рисунок 7) Перепишем систему в виде

Первому неравенству удовлетворяют точки, лежащие на параболе и ниже неё, а второму - точки, лежащие на параболе и выше неё. Находим координаты вершин парабол и точек их пересечения, а затем строим график. Вершина первой параболы -второй параболы , точки пересечения - и . Видно, что система имеет ровно одно решение в случаях и

Ответ:

Рисунок 7

Пример 5: Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет а) ровно два различных корня; б) ровно три различных корня.

Решение. Изобразим множество решений этого уравнения на плоскости . Оно равносильно совокупности двух уравнений:

1) - это угол с ветвями вверх и вершиной в точке

2) - это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (Рисунок 8)

Рисунок 8

Находим точки пересечения двух графиков. Правая ветвь угла задаётся уравнением Решая уравнение находим, что или . Подходит только значение (т. к. для правой ветви Тогда . Аналогично находим координаты второй точки пересечения -

Возвращаемся к исходной задаче. Уравнение имеет ровно два решения при тех , при которых горизонтальная прямая пересекает множество решений уравнения в двух точках. По графику видим, что это выполняется при Ровно три решения будут в случае трёх точек пересечения, что возможно только при .

Ответ: а) б)

Пример 6: (решение тремя способами) Для всех действительных значений параметра решите уравнение

Решение. Уравнение равносильно системе:

1 способ (аналитический): Корни квадратного уравнения:

Выясним, при каких значениях они лежат в области решений нет;

Ответ: при решений нет; при

2 способ (графический в плоскости xOy): Преобразуем исходное уравнение

Построим графики функций. Решением уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков функций. Количество решений - количество точек пересечения (Рисунок 9)



Рисунок 9

Ответ: при решений нет; при

3 способ (графический в плоскости xOс): Исходное уравнение равносильно системе:

Решение системы - это точки параболы, для которых, как видно из рисунка 10, решение существует при , причем каждому значению соответствует одно решение.



Рисунок 10

Ответ: при решений нет; при



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

задача параметр аналитический графический

Подводя итоги можно сделать вывод о том, какой из методов решения наиболее удобный.

Исходя из примеров, приведенных в работе, наглядным способом решения является графический. Этот способ позволяет упростить анализ задач, а в некоторых случаях является единственным путем к решению задачи. Также данный метод решения задействует весь набор знаний, связанных с исследованием функции. В то время как аналитический способ решения задач с параметром является наиболее трудным, который требует больше знаний высокого уровня.

Методы решения, приведённые в работе, используются также для всех типов уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств и т.д. Это говорит о том, что база знаний, которая требуются для решения задач с параметром, должна быть изучена в полном объёме, а в процессе решения параметрических уравнений, неравенств и их систем объём знаний будет только увеличиваться и прогрессировать.

Задачи с параметрами являются достаточно сложным типом задач в связи с тем, что нет единого алгоритма их решения. При этом, как уже было отмечено, решение задач такого типа способствует развитию логического и нестандартного мышления.



Литература

1. Голубев, В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике/ В. И. Голубев -М.: Просвещение, 2007. - 252 с.

2. Денищева, Л. О. Единый Государственный экзамен по математике / Л. О.Денищева, Ю. А. Глазков и др. - М.: Интеллект-Центр, 2009. - 272 с.

3. Козко,А. И. Задачи с параметром и другие сложные задачи/ А. И.Козко, В. Г. Чирский- М.: МЦНМО, 2007. - 296 с.

4. Крамор,В. С. Примеры с параметрами и их решения / В. С. Крамор - М.: АРКТИ, 2001. - 48 с.

5. Крамор, В. С. Задачи с параметрами и методы их решения/ В. С. Крамор - М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. - 416 с.

6. Кулабухова,С. Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013 / С. Ю.Кулабухова, Ф. Ф. Лысенко - Ростов-на-Дону: Легион, 2012. - 400 с.

7. Локоть, В. В. Задачи с параметрами / В. В. Локоть- М.: АРКТИ, 2005. - 96 с.

8. Мирошин, В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика/ В. В. Мирошин- М.: Экзамен, 2009. - 286 с.

9. Прокофьев, А. А. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач с параметрами / А.А. Прокофьев, А.Г. Корянов - М.: Легион, 2015. - 336 c.

10. Просветов, Г. И. Задачи с параметрами и методы их решения / Г.И. Просветов - М.: Альфа-пресс, 2010. - 420 c.

11. Рязановский, А.Р. Готовимся к ЕГЭ: Математика - решение задач повышенной сложности / А.Р. Рязановский, В.В. Мирошин- М.: Интеллект-Центр, 2007. - 480 c.

12. Субханкулова, С. А. Задачи с параметрами/ С. А. Субханкулова - М.: ИЛЕКСА, 2010. - 208 с.

13. Шахмейстер, А. Х. Задачи с параметрами на экзаменах / А. Х. Шахмейстер -М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2009. - 248 с.

14. Решение задач с параметром// ЕГЭ по математике URL:http://4ege.ru/matematika/(дата обращения: 15.04.18).

15. Задачи с параметром // ЕГЭ по математике URL: https://academyege.ru/(дата обращения: 17.04.18).

16. Задачи с параметром из ЕГЭ // ЕГЭ по математике URL: https://yourtutor.info/(дата обращения: 19.04.18).

Размещено на Allbest.ru

...