О корректности обратных задачи определения пары {u, σ}, в случае простой области для уравнения переноса излучений

Размещено на http://www.allbest.ru/

О корректности обратных задачи определения пары {u, у}, в случае простой области для уравнения переноса излучений

Сариев А.Д.¹, Шаждекеева Н.К.², Шыганакова А.Т.³, Каракенова С.Г.⁴, Сариев С.Д.⁵

Аннотация

В статье изложены основные вопросы исследования локальных свойств интеграла столкновений и классического решения нестационарного уравнения переноса излучения, рассматриваемого в простой области из R₃.

В статье изучены и доказаны вопросы корректности «в целом» ряда обратных задач для нестационарного уравнения переноса, рассматриваемого в ограниченной простой области из R_3, для одновременного определения пары {u, у}. уравнение локальный интеграл

Приводится гладкость рассматриваемой области, учитывая простату области, доказаны лемма 1-4, на основе этих лемм доказано теорема 1.

Ключевые слова: уравнение переноса, локальные свойства, интеграл столкновений, односкоростное нестационарное уравнение, начальное условие, граничное условие, вопросы корректности решения, ограниченная простая область из R₃.

The article outlines the main research questions of the local properties of the collision integral and classical solutions of non-stationary radiative transfer equation, considered in the plain area of R₃.

The paper studied and proved the correctness of questions “in the large” number of inverse problems for nonstationary transport equation, considered in a limited plain area of R₃, for the simultaneous determination of the pair {u, у}.

We present the smoothness of the area under consideration, taking into account the area of the prostate, to prove the lemma 1-4, on the basis of the lemma is proved Theorem 1.

Keywords: transfer equation, local properties, the collision integral, one-speed time-dependent equation, initial condition, boundary condition, solution correctness issues, limited simple area from R3.

В настоящей статье изучаются локальные свойства интеграла столкновений односкоростного нестационарного уравнения переноса, а также классического решения нестационарного уравнения переноса излучения, рассматриваемого в простой ограниченной области из R₃.

Уравнение переноса рассмотрено при следующих предложениях [1-4]:

· все частицы имеют одинаковые по модулю скорости,

· поток частицы из вакуума на внешнюю границу отсутствует,

· индикатриса рассеяния представлена в виде где м₀-косинус угла между направлениями .

При этих предложениях уравнение переноса имеет вид

(1)

Здесь - функция распределения частиц, - функция источника, - индикатриса рассеяния, - пространственные координаты, - точки единичной сферы Щ со сферическими координатами

Будем говорить, что поверхность области G принадлежит классу если в некоторой окрестности каждой точки она представима уравнением, причем и функция непрерывна, вместе со своими производными до порядка с включительно в упомянутой окрестности. Поверхность называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа поверхностей класса [1-4].

Будем считать, что область G, в которой происходит процесс переноса, состоит из конечного числа подобластей (зон) G_j ограниченных кусочно-гладкой поверхностью, j т.е. - выпуклым. Через обозначим внешнюю поверхность области G. Граничная поверхность области содержит кроме еще поверхности раздела зон (части поверхности j) G_j.

Кроме того полагается, что множество - удовлетворяет условию «обобщенной выпуклости» см. Гермогеновой [1-4] являющаяся характеристикой дифференциального выражения и проходящая через любую точку при любом имеет конечное число точек пресечений с граничной поверхностью Здесь есть время пересечения характеристикой границы множества .

Для включения в рассмотрение областей, отдельных участки поверхности которых имеют прямолинейных образующие, последние достаточно продолжить вдоль образующих по всей области, увеличив тем самым количество зон G_j [1-4].

Для однозначной разрешимости к уравнению (1) необходимо присоединить начальное распределение частиц

(2)

и режимы на внешней границе и на границе раздела зон

(3)

(4)

- класс функции непрерывных в каждом множестве и таких, что

Заметим, что, если то при стремлении вдоль различных прямых, пределы существуют и вообще говоря различны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Классическим решением задачи (1)- (4) в области назовем функцию которая для всех

· непрерывна по ф на отрезках и непрерывно дифференцируема по ф в интервалах

· допускает существование интеграла столкновений принадлежащего

· удовлетворяет уравнению

(5)

начальному условию (2) и граничным условиям (3)-(4).

Интегрируя уравнение (5) по переменной ф от до t с учетом начального и граничных условий (2)-(4), имеем

(6)

где операторы P и R определены формулами

Действуя на уравнение (6) оператором S, для интеграла столкновений N получаем

(7)

(8)

Операторы P и R определены формулами

Умножим функцию , определенную формулой (8) на . Полученное при этом уравнение проинтегрируем по переменной м' от -1 до 1. Меняя порядок интегрирования в полученных при этом повторных интегралах приходим к уравнению

(9)

Операторы K и B определены формулами

Для изучения свойств гладкости интеграла столкновений изучим свойства функций и операторов K и B.

Нам нужны следующие леммы:

Лемма 1. I) Для любых верно неравенство

(10)

a, первые производные от x_S терпят разрыв 1-ого рода лишь на линиях

II) Для любых верно неравенство

(11)

где , причем первые производные функций терпят разрыв 1-го рода лишь на линиях .

Доказательство. Утверждение первого предложения, а также непрерывная дифференцируемость функций , кроме линии непосредственно следует из определения этих функций. Докажем неравенство (11) при S=0. Положим и оценим разность . Она отлична от нуля, лишь когда . Но тогда справедливо неравенство

а потому, в силу неравенства треугольников и очевидного неравенства

(12)

следует справедливость оценки (11) при S=0. Неравенства (11) при s=h, s=H доказываются в результате аналогичных выкладок. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть выполнены условия тогда оператор действует из .

Доказательство. Пусть . При t=0 очевидно неравенство

Поэтому пусть . Легко видеть, что

При справедливы соответственно неравенства . Следовательно, в силу условий леммы

(18)

Используя технику, применяемую В.И.Агошковым в [5], и неравенство

(19)

справедливое при , можем оценить

(20)

Из (13) в силу неравенств (14)-(18), (20) получим

Из соотношений (21), (22) и неравенства (12) видим, что функция принадлежит пространству и пространству

Лемма доказана.

Если, кроме условий леммы 2, выполнены условия согласования А, то неравенства (15) - (17) могут быть усилены. Действительно, в этом случае

И так как при верны неравенства , то

(23)

Аналогично оцениваются величины J₃; J4:

Поэтому из (13) в силу неравенств (14), (23), (24), (18), (20) имеем

(25)

Аналогично можно доказать оценку

(26)

Из соотношений (25), (26) и неравенства треугольников следует справедливость следующей леммы.

Лемма 3. Если, кроме условий выполнены условия согласования A, то оператор Bдействует из

Лемма 4. Пусть выполнены условия тогда оператор K переводит и классы функций , в причём справедливо неравенство

(27)

Доказательство. Пусть

Докажем справедливость оценки

(28)

Так как при верны неравенства и , то очевидно

(29)

Где

Для интеграла справедливо неравенство

(30)

Нетрудно также оценить

(31)

где

ограничены.

Действительно, в силу неравенства

и формулы 1.2.52.8 из [6] имеем

(32)

Следовательно, при или имеем

(33)

Нетрудно видеть, что оценка (33) верна и при

Таким образом доказали справедливость неравенства(28).

Аналогичные выкладки показывают, что справедлива оценка

а потому верно неравенство

(34)

Неравенство (4.34) имеет место и при , так как в этом случае можно воспользоваться очевидным неравенством

Аналогично доказывается, что при неравенство

(35)

Из соотношений (34) - (35) следует, что при условиях леммы оператор K переводит , а классы функций .

Остаётся доказать неравенство (27). Без ограничения общности можем полагать, что , поэтому, если то

Лемма доказана.

В силу лемм 2 - 4 и используя технику доказательства теоремы 1, нетрудно видеть, что верна.

Теорема 1. Пусть выполнены условия , тогда существует единственное классическое решение задачи (1) -(4).

Список литературы

1. Аниконов Д.С. Об обратных задачах для уравнения переноса./ Аниконов Д.С. //Всесоюзный журнал, Дифференциальные уравнения, г.Минск, Т.10, №1, 1974, С.7-17.

2. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса./ Гермогенова Т. А. -Москва, Наука, 1986. -272 с.

3. Сариев А.Д. Глобальная теорема об устойчивости решения обратных задач нестационарного уравнения переноса./ Сариев А.Д. // Республиканский журнал: Доклады АН РК, серия Физ-мат наук, №1, 2001г, С.16-21.

4. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса. / Султангазин У.М. В книге: Алма-Ата, Наука, 1979. -269 с.

5. Агошков В.И. О гладкости решений уравнения переноса и приближенных методах их построения, / Агошков В.И. В книге: Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения - Новосибирск, 1977.-Выпуск- I. - С.44-58

6. Сариев А. Д. Об областях неопределённых производных высокого порядка от интеграла столкновений нестационарного уравнения переноса./ Сариев А. Д. В книге: По проблеме вычислительной математике и методы научных исследований: 2- Республиканская конференция. Алма-Ата, 1988., С. 19-22.

Размещено на Allbest.ru