Краевая задача для одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский государственный строительный университет

Краевая задача для одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии

Исаева Л.М.,

Эдилова Р.М.

Аннотация

Рассматривается одна из краевых задач для одномерных дифференциальных уравнений дробного порядка. Используя метод Фурье, в явном виде выписано решение этой задачи. Полученные результаты могут найти применение в теории течения жидкости во фрактальной среде и моделировать изменения в температуре.

Ключевые слова: уравнение дробного порядка, дробная производная, метод Фурье, коэффициенты Фурье, собственные значения и собственные функции, функция Миттаг-Леффлера.

Abstract

Considers one of boundary value problems for one-dimensional differential equations of fractional order. Using the Fourier method, explicitly written the solution to this problem. The results can find application in the theory of fluid flow in a fractal environment and to simulate changes in temperature.

Key words: the equation of fractional order, fractional derivative, Fourier method, the Fourier coefficients, eigenvalues and eigenfunctions, the Mittag-Leffler function.

Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости и газа в сильно-пористых (фрактальных) средах [1], [2], [3], приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка. Рассмотрим одну из таких краевых задач для одномерного дифференциального уравнения дробного порядка:

(1) (2) (3)

где , - дробные производные порядков б и в соответственно (0<б<2, 1<в<2).

Имеют место следующая теорема.

Теорема. Функция является решением задачи (1), (2), (3). Здесь - известная функция Миттаг-Леффлера, а g_n - соответствующие коэффициенты Фурье функции g(x) по базису [1].

Доказательство. Найдем непрерывное в замкнутой области (0?x?1, 0?t?T) решение однородного дробного дифференциального уравнения

(1)

удовлетворяющее условиям (2) и (3).

Для решения этой задачи рассмотрим, как принято в методе разделения переменных [4], сначала основную вспомогательную задачу:

найти решение уравнения (1), не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям (2) и представимое в виде

(4)

где щ(x) - функция только переменного x, p(t) - функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (4) в уравнение (1) и производя деление обеих частей равенства на щ(x)p(t), получим:

(5)

где л=const, так как левая часть равенства зависит только от t, а правая - только от x.

Из (5) следует, что

(6) (7)

Граничные условия (3) дают:

(8)

Таким образом, для определения функции щ(x) мы получили задачу о собственных значениях (двухточечную задачу Дирихле)

(9)

изученную в работах [1], [5], [6]. В этих работах было показано, что только для собственных значений л_n, являющихся нулями функции E_в,в(л), существуют собственные функции задачи (9), равные

(10)

Уравнение вида (7) рассмотрено в работах [5], [6], [7], в которых показано, что для собственных значений л_n, являющихся нулями функции E_a,1(л), существуют собственные функции вида , где g_n - неопределенные пока коэффициенты.

Возвращаясь к основной вспомогательной задаче, видим, что функции

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими нулевым граничным условиям (2).

Обратимся теперь к решению задачи (1), (2), (3). Формально составим ряд

(11)

Функция u(x,t) удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начальных условий, получаем:

(12)

В [8] было показано, что система функций вида образует базис в L₂(0;1). Так как базис не ортогональный, то вместе с системой будем рассматривать систему - биортогональную к системе [9]. Система - это система собственных функций сопряженной задачи (9) [10].

Теперь неизвестные коэффициенты можно определить с помощью системы функций :

(13)

где (g(x), z_n) - скалярное произведение функций g(x) и z.

Докажем, что для любых 0<x<1 и 0?t?T ряд (11) сходится абсолютно. Для достаточно больших по модулю нулей z_n функции E_a,в(z_n) справедлива следующая оценка [11]:

(14)

При этом [11],

(15)

Тогда, учитывая (14), (15) получаем следующие соотношения:

(16)

(17)

Теперь, согласно (16), (17), оценим (10) по модулю

Рассмотрим мажорирующий ряд , который является сходящимся рядом.

Из сходимости мажоранты следует сходимость ряда (11).

Покажем теперь, что при t?t? ?0 (t? - любое вспомогательное число) ряды производных и сходятся равномерно. Для этого достаточно показать сходимость рядов и ,так как 0<б<2, 1<в<2.

Сформулируем дополнительные требования, которым должна удовлетворять функция g(x). Предположим сначала, что g(x) ограничена, |g(x)|<M.

Тогда

,

откуда следует, учитывая что

:

Аналогично, учитывая что

:

Тем самым доказано, что при t>0 ряд (11) представляет собой функцию, дифференцируемую почленно по t и два раза по x, а значит, имеющую производные порядков б и в, так как 0<б<2, 1<в<2.

Итак, задача нахождения первой краевой задачи для одномерного уравнения с нулевыми граничными условиями и непрерывным начальным условием решена полностью.

краевой дифференциальный уравнение дробный

Литература

1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. // (Физматлит, 2003). 272 с.

2. Алероев Т.С. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка. // Сиб. электрон. матем. изв. 10, 41-55 (2013).

3. S. Aleroev, M. Kirane, Malik S. A. Determination of a source term for a time fractional diffusion equation with an integral type over-determining condition. // Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2013 (2013), No. 270, pp. 1-16. ISSN: 1072-6691. //URL: htpp://ejde.math.txstate.edu

4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Издательство МГУ, 1999. 799 с.

5. Самко С.Г., Килбасс А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. 688 c.

6. Джрбащян М.М. Краевая задача для дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля дробного порядка /// Известия АН Армянской ССР. Серия «Математика», 5:2 (1970), 71-96.

7. Алероев Т.С., Алероева Х.Т. Об одном классе несамосопряженных операторов, сопутствующих дифференциальным уравнениям дробного порядка. // Изв. ВУЗов, 2014, №10, с. 3-12.

8. Хасамбиев М.В., Алероев Т.С. Краевая задача для одномерного дробного дифференциального уравнения адвекции-диффузии. // Вестник МГСУ №6, 2014, с. 71-76.

9. Aleroev T.S., Aleroeva H.T. A problem on the zeros of the Mittag-Leffler function and the spectrum of a fractional-order differential operator /// Electron. J. Qual. Theory Diff. Equ., № 25, 18 p. (2009).

10. S. Aleroev, M. Kirane, Y.-F. Tang. Boundary-value problems for differential equations of fractional order. // Journal of Mathematical Sciences. Nov. 2013, Volume 194, Issue 5, pp. 499-512.

11. Попов А.Ю., Седлецкий А.М. Распределение корней функций Миттаг-Леффлера. // Современная математика. Фундаментальные направления, 2011, т. 40, с. 3-171.

Размещено на Allbest.ru