Оценка нормы производных лямбда-ядер Дирихле
Оценка норм производных лямбда-ядер Дирихле DQ(лямбда,N) в Lp, когда спектр приближающих полиномов лежит в множествах типа гиперболических крестов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.06.2018 |
| Размер файла | 365,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ОЦЕНКА НОРМЫ ПРОИЗВОДНЫХ Л-ЯДЕР ДИРИХЛЕ
Шаянбаева Ш.О.
Магистрант, Казахский Национальный Университет им. Аль-Фараби
Аннотация
производная ядро дирихле гиперболический
В статье установлены оценки норм производных Л-ядер Дирихле DQ(Л,N) в Lp, когда спектр приближающих полиномов лежит в множествах типа гиперболических крестов.
Ключевые слова: многомерное ядро Дирихле с произвольным спектром, (r,б)-производная функции, гиперболические кресты.
The article describes the process of getting estimations of norms of derivatives of Dirichlet Л-kernels for DQ(Л,N) in Lp by when the spectrum lies in approximating polynomials sets the type of hyperbolic crosses.
Keywords: multi-dimensional Dirichlet kernel with an arbitrary spectrum, (r,б)-derivative of function, hyperbolic crosses.
Пусть Л(t)=Л(t1,… , td) непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]s функция такая, что Л(t) > 0 и Л(t) = 0, смотря по тому или .
Пусть даны числа r>0 и bj (j=1,…,d).
Для t=(t1,…,td), tj>0, j=1,…,d, определим функцию Л*(t) следующим образом: если tj>0, j=1,…,d, то
если ; здесь
Далее, не уменьшая, общности можем считать, что b1?…?bd.
Функция одной переменной ц(ф)?0 удовлетворяет условию (Sб), если ц(ф)/фб почти возрастает при некотором 0<б<1, т.е. найдется число C>0, не зависящее от ф1 и ф2, такое, что
Также вводится условие (S) на ц(t) как выполнение условия (Sб) для некоторого б, 0<б<1, и в этом смысле (S)=U0<б<1(Sб).
Будем говорить, что функция Л(t)= Л(t1,…,td) удовлетворяет условиям (Sб) при б=(б1,…,бd) если при каждом j=1,…,d функция Л(t) удовлетрворяет условию (Sбj) по переменной tj при фиксированных остальных.
Легко заметить, что заданная функция Л*(t) удовлетворяет условию (Sб) при r>б и ?bj?R для некоторого б>0
Введем следующие множества (N - множество целых положительных чисел, Z-множество целых чисел)
где
для некоторого l?N легко заметить что и(N)=Г(21N)\Г(N)
Также ниже мы будем пользоваться обозначениями . При положительных A и В запись B<<A будет означать B?C(б,в,…)·A, где C(б,в,…) некоторые положительные постоянные, зависящие лишь от указанных в скобках параметров, а запись означает что A<<B<<A. Вообще говоря, всюду ниже параметры б,в,… однозначно определяются по смыслу утверждений, поэтому в целях сокращения записей, их указывать не будем.
Для доказательства основного результата данной работы, нам понадобятся следующие вспомогательные результаты.
Лемма 1. (см. [1]) Сумма
по порядку равна:
1.
2.
3.
4.
Лемма 2. (см. [2]) Пусть функция типа смешанного модуля непрервности порядка l Л(t)= Л(t1,…,td) удовлетворяет условию (Sб). Тогда для 0<p<? справедлива оценка
Доказательство: применим индукцию по размерности d. При d=1 по свойству (S) имеем
Где n0 - наименьшее натуральное число, при котором Л(2-n0)<1/N. Предположим, что оценка (3) верная для размерности d-1. Докажем ее для размерности d. Положим
Тогда (к первой сумме применим предположение индукции, а ко второй сумме - свойство (Sб)).
откуда, в силу одномерного случая, получаем утверждение леммы 2.
Лемма 3. (см. [2]) Пусть Л(t) удовлетворяет условию (Sб) при 0<б<1 таком, что 0<м <б. Тогда при 0<p<? справедлива оценка
Доказательство: как и в лемме 2, применим индукцию по размерности. При d=1 имеем
Применяя к первой сумме предположение индукции, а ко второй сумме условие (Sб), получаем леммы 3.
Положим
Функция DQ(Л,N)(x) называется многомерным Л-ядром Дирихле (см., например,[3]).
Теорема 1 (см.[3]). Пусть 1<p<? , в?Rs . Тогда
где - в-производная функции DQ(Л,N)(x)
В работе нами доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть .
Тогда справедлива следующая оценка
Доказательство. Используя утверждения теоремы 1 и леммы 3, получим
Далее применяя лемму 1, в случае когда , получаем
Где E(N,p) - величина по порядку равна:
Таким образом, теорема доказана.
Литература
1. Пустовойтов Н.Н. О приближение периодических функций из классов линейными методами // Математический сборник, 2012. Том 203. №1. С.99-114.
2. Пустовойтов Н.Н. Приближение многомерных функций с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности // Математические заметки. 1999. Т 65. №1. С.107-117.
3. Сихов М.Б. Неравенства типа Бернштейна, Джексона-Никольского и оценки норм производных ядер Дирихле // Матем. заметки, 2006, Т.80, вып.1, с.95-104.
4. Сихов М.Б. О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик // Докторская диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук. Казань, 2010. 186 с.
5. Сихов М.Б. Об оценках норм производных ядра Дирихле с гармониками // Известия НАН РК. Сер. физико-математическая , 2003, №1, с.57-62
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Характеры и L-функции Дирихле, функциональное уравнение. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость; тривиальные и нетривиальные нули. Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций. Обобщенная гипотеза Римана.
реферат [573,1 K], добавлен 15.06.2011Формулировка и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии (теорема Дирихле). Определение и основные свойства характеров. Суммы характеров и соотношение ортогональности. Характеры, L-функция Дирихле. Доказательство основных лемм.
курсовая работа [214,2 K], добавлен 12.08.2009Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Описание сущности функции, которая была введена немецким математиком П.В. Дирихле как пример функции, свободной от аналитического задания значения. Характеристика и описание ряда ее свойств и области определения методами математического анализа.
курсовая работа [44,8 K], добавлен 23.11.2011Изучение численно-аналитического метода решения краевых задач математической физики на примере неоднородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Численная реализация вычислительного метода и вычислительного эксперимента, особенности их оформления.
практическая работа [332,7 K], добавлен 28.01.2014Простейшая разностная схема для задачи Дирихле: построение, аппроксимация и устойчивость. Описания метода установления. Анализ алгоритмов, реализующих метод установления: решение в виде конечного ряда Фурье, схема установления и переменных направлений.
курсовая работа [323,4 K], добавлен 25.11.2011Классификация гиперболических уравнений в общей классификации уравнений математической физики. Классификация уравнений: волновое, интегро-дифференциальные, уравнение теплопроводности. Методы решения в зависимости от видов гиперболических уравнений.
контрольная работа [249,3 K], добавлен 19.01.2009Исследование функции на непрерывность. Алгоритм вычисления производных первого и второго порядков. Порядок определения скорости и ускорения в определенный момент времени при помощи производных. Особенности исследования функции на наличие точек экстремума.
контрольная работа [362,7 K], добавлен 23.03.2014Пьер-Симон Лаплас - выдающийся французский математик, физик и астроном, один из создателей теории вероятностей. Уравнение Лапласа в двумерном пространстве. Способы трехмерного уравнения Лапласа. Особенности решения задачи Дирихле в круге методом Фурье.
курсовая работа [271,8 K], добавлен 14.06.2011Исследование задачи Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области методами спектрального анализа. Обоснование корректности постановки нелокальных начально-граничных задач различных вырождающихся дифференциальных уравнений.
курсовая работа [135,1 K], добавлен 06.05.2011Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
контрольная работа [90,0 K], добавлен 24.10.2010Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теплопроводности. Построение численных методов с помощью вариационных принципов, описание Matlab и Mathcad.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 13.03.2011Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.
контрольная работа [238,1 K], добавлен 11.08.2009Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Визначення коефіцієнтів по методу Ейлера-Фур'є та поняття ортогональних систем функцій. Інтеграл Дирихле та принцип локалізації. Випадки неперіодичної, парної і непарної функції та довільного проміжку. Приклади розкладання рівняння в тригонометричний ряд.
курсовая работа [148,6 K], добавлен 17.01.2011Главная задача спектрального анализа временных рядов. Параметрические и непараметрические методы спектрального анализа. Сущность понятия "временный ряд". График оценки спектральной плотности для окна Дирихле, при центрированном случайном процессе.
курсовая работа [332,8 K], добавлен 17.09.2009Общее определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье. Ортогональные системы функций. Интеграл Дирихле, принцип локализации. Случай непериодической функции, произвольного промежутка, четных и нечетных функций. Примеры разложения функций в ряд Фурье.
курсовая работа [296,3 K], добавлен 12.12.2010
