Априорные оценки решения в метрике С0 (S) уравнения типа Монжа-Ампера на сфере как двумерном многообразии в пространстве постоянной кривизны

Размещено на http://www.allbest.ru/

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ В МЕТРИКЕ С0 (S) УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА-АМПЕРА НА СФЕРЕ КАК ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Филимонова А.П.¹, Юрьева Т.А.²

¹Кандидат физико-математических наук, доцент,

²Кандидат педагогических наук, Амурский государственный университет

Аннотация

монжа ампер трехмерный пространство

В статье приводится решение задачи о нахождении достаточных условий однозначной разрешимости дифференциального уравнения Монжа-Ампера на сфере как двумерном многообразии в пространствах постоянной кривизны, в частности в трехмерном пространстве Лобачевского. Рассматриваемая задача связанна с восстановлением поверхностей, гомеоморфных сфере, с заданной функцией гауссовой кривизны. В ходе доказательства теоремы получены априорные оценки решения уравнения типа Монжа-Ампера в метрике С⁰ (). Приведены следствия для частных видов уравнений Монжа-Ампера в трехмерном пространстве Лобачевского и в трехмерном евклидовом пространстве.

Ключевые слова: уравнение Монжа-Ампера, двумерное многообразие, априорные оценки, гауссова кривизна.

The article provides a solution to the problem of finding sufficient conditions for the unique solvability of a differential equation of the Monge-Ampere equation on the sphere as a two-dimensional manifold in spaces of constant curvature, in particular three-dimensional Lobachevskii space. This problem is connected with the restoration of the surfaces, homeomorphic to a sphere with a predetermined function of the Gaussian curvature. In the course of the proof, a priori estimates of solutions of equations of the Monge-Ampere equation in the metric С⁰ (). Results investigation for particular types of Monge-Ampere equations in three-dimensional Lobachevskii space, in three-dimensional Euclidean space.

Keywords: Monge-Ampere equation, two-dimensional manifold, a priori estimates, the Gaussian curvature.

Рассмотрим следующую геометрическую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве постоянной отрицательной кривизны (гиперболическом пространстве Лобачевского) Н³ фиксирована некоторая точка О. Пусть, далее, - сфера единичного радиуса с центром в этой точке О. Будем рассматривать класс регулярных выпуклых гомеоморфных сфере поверхностей, звездных относительно точки О. Произвольная поверхность F этого класса можно задать аналитически уравнением: F: с=с(u, v), где с, u, v - сферические координаты в пространстве Н³.

Рассмотрим сферу как двумерное многообразие и выберем атлас так, чтобы в локальных координатах u, v каждой карты выполнялось неравенство: .

Пусть в Н³\{0} определена некоторая функция K_int(u, v, с)= K_int. Тогда задача о восстановлении поверхности F: с=с(u, v) в гиперболическом трехмерном пространстве Н³, гауссова (внутренняя) кривизна которой в каждой точке равна значению функции K_int в той же точке, сводится к нахождению достаточных условий однозначной разрешимости дифференциального уравнения типа Монжа-Ампера, которое на сфере как двумерном многообразии имеет следующий вид [2]:

(1)

Здесь с_ij (i, j{1, 2}) - вторые ковариантные производные функции с=с(u, v) относительно метрики единичной сферы .

В работе [2] показано, что уравнение (1) является отрицательно эллиптичным уравнением Монжа-Ампера при условии, что функция K_int(u, v, с)>-1 (K_ext(u, v, с)>0). Это означает, что если с=с(u, v) есть решение уравнения , то квадратичная форма

отрицательно определена.

В [2] также доказана теорема о расположении поверхности F: с=с(u, v) (с=с(u, v) - решение уравнения (1)) при некоторых ограничениях на функцию K_int(u, v, с).

Теорема 1. Пусть в трехмерном гиперболическом пространстве Н³ фиксированы две концентрические сферы с центром в точке О и радиусами с₁ и с₂ (с₁<с₂) соответственно.

Пусть функция K_int(u, v, с), определенная в (R⁺- множество положительных действительных чисел), удовлетворяет следующим условиям:

1) K_int(u, v, с)>-1;

2)

внутри сферы вне сферы .

Тогда любое решение с=с(u, v) дифференциального уравнения (1) задает поверхность F: с=с(u, v), лежащую между сферами .

Аналитически результат теоремы означает, что при наложении условий теоремы 1 на функцию K_int=K_int(u, v, с) имеем априорные оценки решения дифференциального уравнения (1) в метрике С⁰(): .

Рассмотрим теперь обобщенное дифференциальное уравнение типа Монжа-Ампера на сфере как двумерном многообразии [3]:

(2)

В уравнении (2) с_ij (i, j{1, 2}) - вторые ковариантные производные функции с(u, v) относительно метрики единичной сферы , , а (локальные географические координаты).

В работе [3] показано, что при наложении ограничений на входящие в (2) функции: ц(с)>0, ц₁(u, v)>0, ц₂(u, v)>0, f(с)>0, , (А, В, С коэффициенты при -с₁₁, 2с₁₂, -с₂₂), уравнение (2) отрицательно эллиптично.

Квадратичная форма для уравнения (2) имеет следующий вид:

Докажем аналог теоремы 1 для обобщенного дифференциального уравнения (2), тем самым получим априорные оценки решения уравнения (2) в метрике С⁰().

Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

Тогда имеют место априорные оценки решения с=с(u,v) обобщенного дифференциального уравнения (2) в метрике ⁰(): .

Доказательство. Пусть является решением дифференциального уравнения (2). Функция p=p(u,v) достигает на единичной сфере минимального значения в некоторой точке (u₀,v₀) в силу того, что сфера является компактным многообразием. В точке минимума (u₀,v₀) выполняются условия: . В экстремальных точках вторые ковариантные производные относительно метрики сферы равны соответственно . Тогда d²p в точке (u₀,v₀) имеет вид: . Квадратичная форма в точке минимума принимает вид:

в силу отрицательной эллиптичности дифференциального уравнения (2).

Рассмотрим выражение

В точке (u₀,v₀) минимума функции с=с(u,v) данное выражение преобразуется:

.

Это выражение не является положительным в силу того, что , вследствие, а

Таким образом,

Из полученного неравенства имеем:

В силу определенности формы d²p в точке , отсюда следует, что

Дифференциальное уравнение (2) в точке минимума функции с=с(u,v) переходит в равенство:

Из этого равенства и полученного выше неравенства в точке (u,v) минимума функции с=с(u,v) следует справедливость следующего неравенства:

следовательно,

(3)

Предположим, что . Тогда по условию теоремы 2 , а это противоречит полученному выше неравенству (3). Следовательно, . Оценка в метрике С⁰() снизу для решения дифференциального уравнения (2) получена .

Получим априорную оценку в метрике С⁰ () решения с(u,v) дифференциального уравнения (2) сверху.

Рассмотрим следующую квадратичную форму:

.

Ее дискриминант равен

так как на функции были наложены условия:

_.

Далее, коэффициент при в силу тех же условий. Тогда

Пусть, далее, (u₁,v₁) является точкой сферы, в которой функция с(u,v) достигает максимального значения. Это возможно в силу компактности сферы как двумерного многообразия. Тогда в этой точке

Рассмотрим выражение:

.

В точке (u₁,v₁) максимума функции с(u,v) приведенное выше выражение примет вид:

Так как ц(с)>0, ц₁(u, v)>0, ц₂(u, v)>0, а в точке максимума , то имеем следующее неравенство:

.

Дифференциальное уравнение (2) в точке (u₁,v₁) максимума функции p=с(u,v) преобразуется в неравенство:

В точке , следовательно, силу определенности формы d²p. Тогда

.

Из последнего неравенства и полученного из уравнения (2) равенства имеем:

Это означает, что

.

Таким образом, функция в точке (u₁,v₁) максимума функции с=с(u,v) удовлетворяет неравенству: (4).

Допустим, что . Тогда по условию теоремы 2 имеет место неравенство: , что противоречит полученному неравенству (4). Следовательно, . Это означает, что . Оценка сверху в метрике С⁰() решения дифференциального уравнения (2) получена.

Таким образом, в целом имеем . Теорема доказана.

Следствие 1. Результат теоремы 2 совпадает с результатом теоремы 1 в случае рассмотрения уравнения (1) на в трехмерном пространстве Лобачевского Н³.

Уравнение (1) есть частный случай уравнения (2). В самом деле, здесь

Тогда

Второе условие теоремы 1:

,

где внутри сферы , равносильно условию .

Аналогично, условие:

равносильно условию , что совпадает с условиями теоремы 2.

Следствие 2. Геометрическая задача восстановления замкнутой выпуклой гомеоморфной сфере поверхности F в трехмерном евклидовом пространстве Е³. Рассматривается класс регулярных выпуклых гомеоморфных поверхностей, звездных относительно точки О. Произвольная поверхность F этого класса задается уравнением: F: с=с(u, v), с, u, v - сферические координаты в Е³. Рассмотрим как двумерное многообразие и выберем атлас так, чтобы в локальных координатах u, v каждой карты выполнялось неравенство: . Пусть в Е³\{0} определена функция K(u, v, с) . Тогда функция с=с(u, v), задающая поверхность Fданного класса, в каждой точке которой гауссова кривизна равна значению функции K(u, v, с) в этой же точке, удовлетворяет следующему отрицательно эллиптичному уравнению типа Монжа-Ампера на [1]:

(5)

Уравнение (5) есть частный случай уравнения (2). Здесь ,

Тогда

то есть поверхность F при данных условиях расположена между сферами и в Е³ с радиусами с₁ и с₂ соответственно. Результат следствия 2 совпадает с результатом работы [1].

Литература

1. Верещагин Б.М. Восстановление замкнутой выпуклой поверхности по данной функции гауссовой кривизны // Вопросы глобальной геометрии: Сб. научн. трудов. - ЛГПИ им. Л. И. Герцена. - Л., 1979. - С. 7-12.

2. Филимонова А.П. Оценки в метрике С² и единственность выпуклой гомеоморфной сфере поверхности с заданной гауссовой кривизной в Н³ // Вопросы глобальной геометрии: Сб. научн. трудов. - ЛГПИ им. Л. И. Герцена. - Л., 1979. - С. 64-68.

3. Филимонова А.П., Юрьева Т.А. Единственность решения уравнения Монжа-Ампера некоторого класса на сфере как двумерном многообразии // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. - т № 6-5 (48). - С. 107-110.

Размещено на Allbest.ru