Тригономерическое отображение действительных чисел. Элементарное доказательство последней (великой) теоремы П. Ферма
Рассмотрение тригонометрического отображения действительных чисел. На основании этого получение элементарного доказательства последней (великой) теоремы П. Ферма. Вывод тригонометрических выражений. Исследование геометрической интерпретации функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.06.2018 |
| Размер файла | 564,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Тригономерическое отображение действительных чисел. Элементарное доказательство последней (великой) теоремы П. Ферма
Соколов Г.М.
Аннотация
Рассмотрено тригонометрическое отображение действительных чисел. На основании этого получено элементарное доказательств последней (великой) теоремы П. Ферма.
Ключевые слова: действительные, числа, теорема, Ферма.
Sокоlоv G.М.
Professor doctor of Technical Sciences, Volga State University of Technology
TRIGONOMETRICAL REPRESENTATION OF REAL NUMBERS ELEMENTARY LAST (GREAT) P. FERMAT'S THEOREM PROOF
Abstract
Trigonometrical representation of real numbers has been considered. On the grounds of that the elementary last (Great) P. Fermat's theorem proof has been achieved.
Keywords: real, numbers, theorem, Ferma.
Теорема. Если a, b, c - положительные целые числа, то an+bn?cn при где n - целое положительное число.
Напишем выражение
Откуда
Смысл доказательства теоремы состоит в том, что следует установить, при каких целочисленных значениях n в выражении (1) совмещаются одновременно целые числа a, b, c.
Рассмотрим один из трех равнозначных случаев. Установим, при каких целочисленных значениях n в выражении (1) при целых a, b число c является целым. (В двух других при целых a, c в отношении целостной совместимости аналогично исследуется число b или при целых b, cисследуется a).
Справедливы неравенства
Следовательно, числа a,b,c выражают стороны треугольника (рис.1-а).
Рис. 1. Числа a, b, c как стороны треугольника
В векторной форме (рис. 1-б)
В дальнейшем вектор считаем постоянным и
По теореме косинусов
откуда с учетом (1?)
При n=1; 2 угол ц не зависит от a, b
При n=1 равенство (1) имеет вид
При n=2 в соответствии с теоремой Пифагора имеем
В обоих случаях годограф вектора является прямой, совпадающей с вектором (прямые 1 (AK) и 2 (AG) на рис. 3).
В остальных случаях (n?1; 2) при постоянных n он является криволинейным.
Рис. 2. К выводу тригонометрических выражений
Рассмотрим случай b=a. В равнобедренном треугольнике OAB (рис. 2) OB=c, OA=AB=a, б=ц/2Обозначим m=n.
На основании (1?) c=21/ma. Отсюда
Угол б в радианах при a=1 численно равен половине дуги окружности
При известных б и sin б можно определить все остальные тригонометрические функции.
Таким образом, тригонометрические функции и их углы являются функциями одной переменной m, выражающей действительные числа.
Напишем выражение
что повторяет случаи (4?), поэтому n=m=1; 2.
Заметим, что при m=const (cosц=const) годограф вектора является прямой, совпадающей с линией вектора (это прямые AB рис. 1, 2 ).
На основании (4) теорема косинусов имеет вид
Число c в (8) при целых a,b является целым только тогда, когда подкоренное выражение является полным квадратом суммы, что может быть только при n=m=1; 2
В случае n=m=1
тригонометрический теорема ферма геометрический
В остальном (при n?1;2, m?1;2) это условие не выполняется.
Таким образом, теорема доказана.
Установим диапазон изменения m для кривой с постоянным n.
Ясно, что верхний предел m=n при b=a.
Нижний предел находим из условия b>0. Рассмотрим , где на основании (4) . И числитель, и знаменатель при b>0 стремятся к нулю, если n>1. Первая реализация правила Лопиталя приводит к результату
Пример. Рассмотрим случай n=3. На рис. 3 .
При 0<b?a число m изменяется в пределах 2<m?3 (кривая 3 (AD). Поэтому при целых значениях a,b число c целым быть не может.
Рис. 3. Геометрическая интерпретация функции
Кривая AD (n=3) построена по формулам (10), где ,
К примеру, для точки B (b=0,75a) по (10) имеем , а из (8) находится m=2,9393.
Теореме Ферма (?>n?2) соответствует область AGL (затемнена).
Результаты расчета приведены в таблице.
Таблица
Содержащиеся в таблице численные значения иллюстративно дополняют выполненное доказательство теоремы.
Литература
1. Соколов Г. М. Общая последняя теорема П. Ферма (элементарное доказательство). Издание четвертое, переработанное. Йошкар-Ола, 2006. 36 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1
статья [12,9 K], добавлен 07.07.2005Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
статья [35,2 K], добавлен 21.05.2009Попытка доказательства частного случая великой теоремы Ферма. Преобразования уравнения xn+yn=zn, позволяющие получить квадратное уравнение. Показано, что вышеназванное равенство для трех действительных разных целых положительных чисел не выполняется.
монография [59,3 K], добавлен 27.12.2012Доказательство великой теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений и методов замены переменных. Теорема о единственности разложения на простые множители целых составных чисел.
статья [29,4 K], добавлен 21.05.2009Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма.
статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009Биография немецкого математика А. Гурвица. Основные положения теоремы Ферма. Обзор систем "чисел", которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя "мнимых единиц". Приложение теоремы Гурвица: теоремы Фробениуса и Лагранжа.
курсовая работа [220,5 K], добавлен 25.05.2010Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма.
реферат [29,1 K], добавлен 19.11.2010Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
творческая работа [27,7 K], добавлен 17.10.2009Выполнение доказательства теорем Пифагора, Ферма и гипотезы Биля методом параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Уравнение теоремы Ферма как частный вариант уравнения гипотезы Биля, а уравнение теоремы Ферма – теоремы Пифагора.
творческая работа [64,8 K], добавлен 20.05.2009Использование теоретико-числового и алгебраического метода доказательства, с наглядной геометрической верификацией, который был изобретен П. Ферма. Верификация метода бесконечных (неопределенных) спусков, который применяется для доказательства теоремы.
научная работа [796,8 K], добавлен 11.01.2008Исследование доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y.
статья [20,8 K], добавлен 29.08.2004Проблема универсального генератора простых чисел. Попытки создания формул для нахождения простых чисел. Сущность теоремы сравнений. Доказательство "Малой теоремы Ферма". "Золотая теорема" о квадратичном законе взаимности. Генераторы простых чисел Эйлера.
реферат [22,8 K], добавлен 22.03.2016Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора.
доклад [26,6 K], добавлен 17.10.2009Основные понятия и результаты, связанные с теорией диофантовых уравнений, теорией эллиптических кривых и abc-гипотезой. Метод бесконечного спуска и доказательство теоремы Ферма для n=4. Анализ выводов К. Рибета Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы.
дипломная работа [351,4 K], добавлен 26.05.2012Два варианта доказательства теоремы. Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству, что и доказывает теорему.
статья [74,0 K], добавлен 14.04.2007Предлагается к обсуждению официальным лицам из института им. В.А. Стеклова и любителям математики из Интернета компактный, практически на 2-х страницах способ элементарного доказательства теоремы Ферма в общем виде.
реферат [16,2 K], добавлен 05.07.2006Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
творческая работа [23,8 K], добавлен 17.10.2009Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.
статья [26,6 K], добавлен 28.05.2009
