Исследование устойчивости метода типа Розенброка 3 порядка
Анализ устойчивости метода типа Розенброка 3 порядка для систем дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью. Коэффициенты, при которых численная схема является устойчивой. Использование результатов расчетов на реакции диметилкарбоната.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.06.2018 |
| Размер файла | 2,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Исследование устойчивости метода типа Розенброка 3 порядка
Шишкова Юлия Васильевна, магистрант
Башкирский государственный университет (г. Уфа)
Исследована устойчивость метода типа Розенброка 3 порядка для систем дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью. Получены коэффициенты, при которых численная схема является L- устойчивой. Приведены результаты расчетов на реакции диметилкарбоната со спиртами в присутствии октакарбонилдикобальта.
Ключевые слова: жесткие системы, метод Розенброка, устойчивость.
Задача Коши для жесткой системы ОДУ имеет вид
??? = ??(??), ??(??0) = ??0, ??0 ? ?? ? ????, (1)
где ?? и ?? - N-мерные вещественные вектор функции, ?? - независимая переменная. Метод типа Розенброка 3 порядка, приведенный в [1] для системы вида (1) имеет вид розенброк дифференциальный уравнение
????+1 = ????+ ??1??1 + ??2??2 + ??3??3,
??????1 = ???(????), (2)
??????2 = ???(????+ ??21??1),
??????3 = ???(????+ ?т31??1 + ??32??2),
где ? - шаг интегрирования; ????= ?? ? ????????; ?? - единичная матрица; ????? = ????(????)/???? - матрица Якоби системы (1); ??, ????, ?????? - коэффициенты, определяющиеся из условий порядка и устойчивости схемы (2).
Е. А. Новиков в своей статье [1] исследует устойчивость численной формулы (2) с помощью тестового линейного уравнения
??? = ????, ??(0) = ??0, ?? ? 0, (3)
и находит значения параметров схемы, при которых схема (2) является L-устойчивой.
Однако в задачах химической кинетики часто возникают уравнения, правая часть которых является квадратичной (как, на пример, в [2]).
Подставляя вместо тестового уравнения (3) уравнение ??? = ????2, находим другие условия, которые дают несколько иные значения коэффициентов L-устойчивого методы (2). В частности, вместо кубического уравнения для определения параметра ??
3 ? 3??2 + 3 ?? ?= 0,
?? 2
получаем уравнение 7-й степени
?8 4(48??3 ? 42??2 + 12?? ? 1) = 0.
?? 3
Для метода (2) написана программа со значениями коэффициентов, полученными Новиковым, а также со значениями найденными нами.
Рис. 1
Рис. 2
Программа протестирована на реакции диметилкарбоната со спиртами в присутствии октакарбонилдикобальта, приведенной в статье [2].
На рис. 1-3 представлены результаты численных расчетов с коэффициентами Новикова, на рис. 4-6 - результаты расчетов с нашими коэффициентами.
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Таким образом, параметры схемы, используемые Новиковы, и полученные нами дают сопоставимые результаты.
Литература
1. Новиков Е.А. Метод типа Розенброка третьего порядка с внутренней L-устойчивостью // Информатика и системы управления. - 2015. - № 1 (43). - С. 54-62.
2. Ефимов А.М., Коледина К.Ф., Коледин С.Н. Определение оптимальных условий проведения каталитической реакции взаимодействия спиртов с диметилкарбонатом // Современная математика и ее приложения, Материалы Международной научно-практической конференции (18-20 мая 2017 г.).- Уфа, 2017. - Часть I, С. 318-323.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основные формулы, используемые в исследовании. Определение стохастической устойчивости и структура соответствующих уравнений. Применение второго метода Ляпунова. Скалярные уравнения n-го порядка. Анализ устойчивости по вероятности движений спутника.
курсовая работа [235,6 K], добавлен 21.02.2016Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011История возникновения дифференциальных исчислений. Изучение особенностей дифференциального уравнения I порядка. Описание соотношения, связывающего функцию и ее производные. Рассмотрение метода изоклин. Построение интегральных кривых методом изоклин.
курсовая работа [458,4 K], добавлен 17.02.2016Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Квадратурные формулы. Теоретические основы метода сеток для решения задачи Коши. Погрешность аппроксимации, устойчивость, основная теорема метода сеток. Схема предиктор-корректор 2-го порядка.
реферат [47,4 K], добавлен 07.12.2013Системы дифференциальных уравнений первого порядка. Положение равновесия системы. Численный расчет линеаризованной системы уравнений. Определение асимптотической устойчивости состояния равновесия системы в соответствии с первым методом Ляпунова.
курсовая работа [3,0 M], добавлен 15.05.2012Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.
курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010Рассмотрение теории дифференциальных уравнений. Выделение классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Установление достаточности найденных условий путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве.
курсовая работа [137,0 K], добавлен 01.06.2015Особенности применения функций Ляпунова для исследования устойчивости различных дифференциальных уравнений и систем. Алгоритм и листинг программы определения устойчивости матрицы на основе использования метода Раусса-Гурвица в среде моделирования Matlab.
реферат [403,7 K], добавлен 23.10.2014Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Поиск оптимального решения. Простейший способ исключения ограничений. Многомерные методы оптимизации, основанные на вычислении целевой функции. Метод покоординатного спуска. Модифицированный метод Хука-Дживса. Исследование на минимум функции Розенброка.
курсовая работа [697,6 K], добавлен 21.11.2012Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010
