Методы суммирования натуральных чисел
Использование десятичной системы счисления как один из наиболее важных факторов, от которых зависят основные свойства редукции натуральных чисел. Специфические особенности доказательства операции суммарного редуцирования любого натурального числа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.06.2018 |
| Размер файла | 17,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Если вы слегка заскучали, можно отлично развлечься, сложив в уме все натуральные числа от 1 до, например, 9876543217123456789: .
Сложили? Для более полного удовольствия просуммируем цифры, которыми записано полученное число. Готово? Не перестаем развлекаться и найдем сумму цифр нового числа. Есть? Если уж веселиться, то до конца: складываем и складываем цифры получающихся чисел. Жаль, но все удовольствия закачиваются: осталось одноразрядное натуральное число, не с чем складывать. Да и то число равно единице. Не так ли?
Если для вас это было очевидно с самого начала, можно дальше не читать.
РЕДУКЦИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.
Пусть дано некоторое достаточно большое n-разрядное натуральное число . Введем операцию редуцирования этого числа следующим образом. Найдем сумму натуральных чисел (далее будем называть их «цифрами») и получим в результате новое натуральное число , которое назовем редукцией числа А, обозначив произведенную операцию редуцирования так:. Очевидно, что . Аналогично предыдущему, сложив цифры числа А1, получим его редукцию или вторую редукцию числа А: В результате выполнения нескольких таких операций получим одноразрядное натуральное число АR ():. Назовем его конечной редукцией числа А.
Проиллюстрируем определение примером.
Пример 1. Пусть дано число А=9817263544536271894. Сложим его цифры и получим его первую редукцию А1=9+8+1+7+2+6+3+5+4+5+3+6+2+7+1+8+9+4=94, что может быть записано как 981726354453627189494. Вторая и конечная редукции этого числа соответственно равны А2=9+4=13 и АR=4.
Свойства операции редуцирования.
Следует ожидать, что свойства редукции натуральных чисел обусловлены используемой десятичной системой счисления.
Первое свойство устанавливает связь операции редуцирования с операцией сравнения (см., например, [1]) и будет использоваться в дальнейших доказательствах.
Свойство 1. Конечная редукция числа А равна наименьшему (одноразрядному) натуральному числу AR, такому, что .
Доказательство свойства 1. Известно, что если, то [1]; или в терминах редукции. Также и т.д. Окончательно свойство транзитивности операции сравнения дает , где .
Заметим, что только одно одноразрядное натуральное число сравнимо с некоторым числом А по модулю 9, потому что 1,2,…9 образуют полную систему вычетов по модулю 9. Это приводит к следствиям.
Следствие 1. Если B-одноразрядное натуральное число и, то . натуральный число редукция суммарный
Следствие 2. Если, то .
Свойство 2. Если А- некоторое натуральное число и - тоже натуральное число, то .
Доказательство свойства 2. Свойство справедливо, так как в сравнении можно добавлять или вычитать слагаемые, кратные модулю.
Отсюда получается следствие. Конечная редукция числа А равна или 9, или остатку от деления числа А на 9.
Свойство 3. Пусть А и В - два натуральных числа. Пусть В получено удалением из А (прибавлением к А) некоторых разрядов, сумма цифр которых равна 9. Тогда.
Доказательство свойства 3. Остаток от деления числа А на 9 равен разности суммы его цифр и суммы его цифр кратной 9. Добавление к числу А или удаление из числа А разрядов, сумма цифр которых равна 9, не меняет этой разности.
Пример 2. При вычислении конечной редукции АR числа А=9817263544536271894, рассмотренного в примере 1, можно удалить разряды, содержащие 9 и суммы 8+1, 7+2, 6+3, 5+4, 4+5, 3+6, 2+7, 1+8. Тогда АR=4.
Возможно, основываясь на свойстве ассоциативности операции сложения, позаимствовать одну или несколько единиц у некоторой цифры для пополнения количества девяток в других разрядах числа, упростив таким образом нахождение его конечной редукции. Так для нахождения конечной редукции числа 98345 можно взять 1 из разряда, содержащего 3, и добавить ее к разряду, содержащему 8, получив число 99245, конечная редукция которого равна 2.
Следующие свойства также вытекают из свойств соотношения сравнения.
Свойство 4. .
Свойство 5. , где число С записано всеми цифрами, содержащимися в записи чисел А и В.
Введем дополнение n-разрядного натурального числа А: , если , и , если .
Свойство 6. Если , то .
Доказательство свойства 6. Свойство очевидно, если . Для другого n-разрядного натурального числа из и получаем или .
Пример 3. . Тогда .
Можно рассмотреть редукцию разности натуральных чисел А- В, если А>B.
Свойство 7. Пусть А>B. Тогда .
Доказательство свойства 7. Пусть и . Тогда , и. Отсюда .
СУММАРНАЯ РЕДУКЦИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.
Пусть задано натуральное число А. Вычислим значение суммы . Конечную редукцию числа SA назовем суммарной редукцией числа А. Суммарную редукцию числа А обозначим АSR, а операцию её нахождения: .По определению АSR=(SA)R, где (SA)R -конечная редукция числа SA.
Свойства суммарной редукции числа.
Свойство 8. Суммарная редукция числа равна суммарной редукции конечной редукции этого числа .
Доказательство свойства 8. Имеем . Если , то , и, поскольку числа 2 и 9 взаимно простые ((2,9)=1), получаем , что доказывает свойство.
Свойство 9. Суммарная редукция любого натурального числа равняется одному из следующих четырех значений: 1,3,6,9.
Доказательство свойства 9. Непосредственным подсчетом убеждаемся, что , , , , , , , , . Из свойства 8 следует, что суммарная редукция любого натурального числа также примет одно из этих четырех значений.
Вернемся к примеру, рассмотренному во введении. Суммарная редукция числа А=9876543217123456789 равна суммарной редукции его конечной редукции, т.е. суммарной редукции числа 7, которая равна 1.
Рассказывают, что один учитель математики хотел немного передохнуть, задав для этого ученикам суммировать числа от одного до 20: 1+2+…+20. Но ему не пришлось отдыхать просто потому, что одним из его учеников был мальчик Карл Гаусс, который быстро решил задачу, обнаружив свойства суммы членов арифметической прогрессии.
Если ваш ученик только осваивает арифметику, задайте ему просуммировать цифры какого-либо натурального числа (например, 45218903491865468257890234), а потом цифры получающихся чисел до появления одноразрядного натурального числа. Для проверки ответа вам не потребуется калькулятор, а лишь только десяток-другой секунд времени.
Список литературы
1. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика: введение в теорию чисел/ Г. Дэвенпорт. - М.: Наука, 1965. - 175 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Сумма n первых чисел натурального ряда. Вычисление площади параболического сегмента. Доказательство формулы Штерна. Выражение суммы k-х степеней натуральных чисел через детерминант и с помощью бернуллиевых чисел. Сумма степеней и нечетных чисел.
курсовая работа [8,2 M], добавлен 14.09.2015Понятие системы счисления. История развития систем счисления. Понятие натурального числа, порядковые отношения. Особенности десятичной системы счисления. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.
курсовая работа [46,8 K], добавлен 29.04.2017Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006Числа натурального ряда, их закономерное периодическое изменение: сведение бесконечного к конечному путем выявления периодичности. Обоснование метода поиска простых чисел с помощью "решета" Баяндина. Закон динамического сохранения относительных величин.
книга [359,0 K], добавлен 28.03.2012Важная роль простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании. Необходимость закономерности распределения ПЧ в ряду натуральных чисел. Цель: найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом закономерность среди
доклад [217,0 K], добавлен 21.01.2009Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника и наука вообще. История цифр. Числа и счисление. Способы запоминания чисел.
реферат [42,5 K], добавлен 13.04.2008Изучение основных определений и теорем, связанных с полукольцом натуральных чисел, описание его нулевого, главного и двухпорожденного идеалов. Исследование проблемы нахождения констант Фробениуса для аддитивной полугруппы, порожденной линейной формой.
курсовая работа [370,2 K], добавлен 12.06.2010Сведения о семье Якоба Бернулли, его тайное увлечение математикой в юности и последующий вклад в развитие теории вероятности. Составление ученым таблицы фигурных чисел и выведение формул для сумм степеней натуральных чисел. Расчет значений чисел Бернулли.
презентация [422,7 K], добавлен 02.06.2013Два варианта доказательства теоремы. Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству, что и доказывает теорему.
статья [74,0 K], добавлен 14.04.2007Характеристика истории изучения значения простых чисел в математике путем описания способов их нахождения. Вклад Пьетро Катальди в развитие теории простых чисел. Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел. Дружественность натуральных чисел.
контрольная работа [27,8 K], добавлен 24.12.2010Система счисления, применяемая в современной математике, используемые в ЭВМ. Запись чисел с помощью римских цифр. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления. Перевод дробных и смешанных двоичных чисел. Арифметика в позиционных системах счисления.
реферат [75,2 K], добавлен 09.07.2009Математика как одна из самых древних и консервативных наук. Понятие числа, построение их множеств, особенности натуральных чисел, представление иррациональных чисел. Смысл категории "пространство", последствия применения некорректных методов познания.
статья [32,3 K], добавлен 28.07.2010Расширенный алгоритм Евклида, его использование для нахождения наибольшего общего делителя натуральных чисел посредством остатков от деления. Математическая проблема календаря. Евклидовы кольца - аналоги чисел Фибоначчи в кольце многочленов, их свойства.
реферат [571,1 K], добавлен 25.09.2009Первоначальные элементы математики. Свойства натуральных чисел. Понятие теории чисел. Общие свойства сравнений и алгебраических уравнений. Арифметические действия со сравнениями. Основные законы арифметики. Проверка результатов арифметических действий.
курсовая работа [200,4 K], добавлен 15.05.2015Математика Древнего и Средневекового Китая. Правило двух ложных положений. Системы линейных уравнений со многими неизвестными. Начальные этапы развития тригонометрии. Создание позиционной десятичной нумерации. Арифметика натуральных чисел и дробей.
дипломная работа [593,1 K], добавлен 22.12.2012Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Этапы развития натуральных чисел. Сущность метода "решето Эратосфена" и проблемы Гольдбаха. Свойства, законы и закономерности фигурных, многоугольных, совершенных, дружественных, компанейских цифр. Мистические представления о значениях 666 и 1001.
реферат [169,9 K], добавлен 18.01.2011Поиски и доказательства простоты чисел Мерсенна. Окончание простых чисел Мерсенна на цифру 1 и 7. Вопрос сужения диапазона поиска. Эффективный алгоритм Миллера-Рабина. Разделение алгоритмов на вероятностные и детерминированные. Числа джойнт ряда.
статья [127,5 K], добавлен 28.03.2012Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011
