Свойства квадрик, ассоциированных с вырожденными конгруэнциями

Рассматриваются вопросы дифференциальной геометрии многообразий пар фигур, которые решаются с помощью современного метода внешних форм Картана. Объектом исследования являются многообразия, образующие элементы которых - коника С и прямая L. Рассматриваются вырожденные многообразия первого рода, когда многообразие (С) двумерное, а многообразие (L) одномерное. Исследуются геометрические объекты, ассоциированные с рассматриваемой конгруэнцией, получены свойства этих объектов и самой конгруэнции.

дифференциальная геометрия, метод внешних форм, конгруэнция

геометрия дифференциальный конгруэнция

PROPERTIES OF QUADRICS, ASSOCIATE WITH THE DEGENERATED CONGRUENCES

T.P. Funtikova

The problems of a differential geometry of diversities a steam of figures are considered, which one are solved with the help of a modern method of exterior forms of the Cartan. The object of research are the diversities generator units which one a conic С and straight line L. The degenerated diversities of 1-st kind, when a diversity (С) twodimensional, and diversity (L) one-dimensional are considered. The geometrical objects, associate with a considered congruence are researched, the properties of these objects and congruence are obtained.

differential geometry, method of exterior forms, congruence

Одним из вопросов, привлекавших внимание учёных-геометров с XIX в. является вопрос построения дифференциальной геометрии многообразия фигур, образующим элементом которого является фигура, отличная от точки исходного пространства. Общий подход к решению данной проблемы удалось найти лишь с созданием тензорного исчисления и метода внешних форм Картана [1].

При этом одним из наиболее важных и общих методов исследования в геометрии стал метод подвижного репера, который является видоизменением метода координат. Картан придал методу подвижного репера современный вид и связал его с теорией групп и исчислением внешних дифференциальных форм.

Объект исследования - пары многообразий, образующими элементами которых являются точки, прямые, плоскости, алгебраические кривые и поверхности. Изучаются как взаимнооднозначные соответствия между элементами многообразий, образующих пару, так и невзаимнооднозначные соответствия [2].

В настоящей работе в трёхмерном аффинном пространстве рассмотрены конгруэнции (CL)_2,1, порождённые коникой С и прямой L, когда многообразие (С) двумерное, а многообразие (L) одномерное. Любой конике (С) соответствует единственная прямая L линейчатой поверхности (L). Рассматривается случай, когда прямая L параллельна соответствующей касательной плоскости к поверхности центров (Р) коник С в точке Р, совпадающей с плоскостью коники С. Полным прообразом прямой L на (Р) является линия Г_L.

Присоединим к любой паре фигур {C, L} конгруэнции (СL)₂₁ подвижный репер R = {A, з₁, з₂, з₃} следующим образом:

1. Точку А репера R поместим в текущую точку Р поверхности (Р), векторы з₁ и з₂ - в касательную плоскость к (Р) в точке Р.

2. Вектор з₂ направим по касательной к линии Г_L в точке Р. Конец А₂ вектора з₂ поместим на конике С.

3. Направим вектор з₁ параллельно прямой L, соответствующей С, конец А₁ вектора з₁ поместим на конике С, а конец А₃ вектора з₃ помещаем в точку пересечения соприкасающейся плоскости линии Г_L в точке А с прямой L.

Репер R является каноническим репером конгруэнции (СL)₂₁, определяемой в этом репере системой уравнений Пфаффа:

щ³ = 0, щ₁² = с щ№, щ₁³ = n щ№, щ₃² = a щ№ - щ², щ₃³ = b щ№, щ₂³ = k щ²,

щ₂№ = µ щ№, щ₃№ = p щ№+ r щ², щ₂² = m щ№ + q щ², щ₁№ = l щ№ + н щ², (1)

d л = л₁ щ№ + л₂ щ²

Конгруэнция (СL)₂₁ существует и определяется с произволом четырёх функций двух аргументов.

Найдены основные геометрические образы, ассоциированные с образующими элементами и элементами канонического репера R: фокусы и торсы прямолинейных конгруэнций (ААi) , где i= 1,2,3; уравнение асимптотических линий на поверхности (Р); характеристические точки координатных плоскостей; касательная и соприкасающаяся плоскости линии Г_L - прообраза прямой L на поверхности центров коник С.

На основании найденных геометрических образов получены следующие свойства конгруэнции (CL)₂₁:

1. Торсы прямолинейных конгруэнций (АА₁) и (АА₂) соответствуют и высекают на общей фокальной поверхности (Р) сеть линий Г_L , Г.

2. Торс щ№ = 0 прямолинейной конгруэнции (АА₁) является цилиндрической поверхностью.

3. Линии Г_L и Г образуют сопряжённую сеть линий на поверхности (Р).

4. Характеристическая точка плоскости (Аз₂з₃) совпадает с фокальной точкой луча АА_2.

5. Характеристическая точка плоскости (Аз₁з₃) принадлежит лучу L , причём если линейчатая поверхность (L) будет являться торсом, то эта точка будет точкой ребра возврата.

6. Линии Г_L являются плоскими тогда и только тогда, когда торсы прямолинейной конгруэнции (AA₃) высекают на поверхности (Р) сеть линий Г_L.

7. Если касательная плоскость к поверхности (L) в точке A₃ параллельна касательной плоскости к поверхности (Р) в точке Р, то существует аффинное расслоение от прямолинейной конгруэнции (AA₃) к конгруэнции касательных плоскостей к поверхности (Р).

8. Если торсы прямолинейной конгруэнции (AA₃) высекают на поверхности (Р) сеть линий Г_L, Г, то линейчатая поверхность (L) является торсом с точкой ребра возврата A₃, если при этом точка A₃ является сдвоенным фокусом луча AA₃, то линейчатая поверхность (L) - конус.

9. Линии Г_L являются на поверхности (Р) линиями тени.

С каждой коникой С ассоциируется единственная квадрика Q, определяемая следующим образом:

1) коника С принадлежит квадрике Q, и прямая L является касательной к квадрике Q;

2) прямая, проходящая через центр коники С с направляющим вектором з₃, является диаметром квадрики.

В репере R уравнение такой квадрики имеет вид

Ц (x№)І + (xІ)І + 2лx№xІ + (xі)І - 1=0

Фокальные точки квадрики Q определяются следующей системой уравнений:

Ф = 0 , Ф₁ = 0 , Ф₂ = 0, (2)

где

Ф₁ = - 2(x№) І (лc - m) - 2(xІ)І (лм - l) - 2x№xІ (м + c - л -1 - лl - лm) - 2x№xі (лa + n) - 2xІxі a + лp) - 2x№ - 2xІл + 2(xі)І (l + m) - 2(l + m) - 2(xі)І b,

Ф₂ = 2(x№)Іq + 2 (xІ)Ін + 2x№xІ (л2 + лн + лq) - 2x№xі (r - л) + 2xІxі(1 - лr - k) - 2x№л - 2xІ + 2(xі)І (н + q) - 2(н + q),

получаем из разложения

dФ = - 2?Ф + Ф_i щⁱ = 0.

Фокальные точки коники С, задаваемой уравнениями

F (x№)І + (xІ)І + 2лx№xІ - 1 = 0 , хі = 0,

где | л | < 1,

определяются следующей системой уравнений:

F = 0, хі = 0, = 0, (3)

где

= ( - r x¹ + x² ) F₁ + ( p x¹ + a x² ) F₂,

dxі = (- px№ - axІ) щ№ + (-rx№ + xІ) щІ,

F₁ = - 2(x№)І (лc - m) - 2(xІ)І (лм - l) - 2x№xІ(м + c - л1 - - лl - лm) - 2x№ - 2xІл - 2 ( l + m),

F₂ = 2(x№)І q + 2(xІ)Ін + 2x№xІ(л2 + лн + лq) - 2x№л - 2xІ-- 2 (н + q),

получаем из разложения

dF = -2?F + F_iщⁱ = 0

Анализируя системы (2) и (3), с помощью системы (1) получаем следующие утверждения:

1. Если точка Аi ( i = 1,2) является фокальной точкой квадрики Q, то она является фокальной точкой коники С. Таким же свойством обладают точки Аi*, симметричные точкам Аi относительно центра коники.

2. Точки А_i и Аi* не могут быть одновременно фокальными точками коники С или квадрики Q , так как условия лc+1+l = 0, лc-1+l = 0, л+н = 0, л- н = 0, при которых точки А₁ и А₁* являются одновременно фокальными точками С или Q, противоречивы. Аналогично для точек А₂, А₂*.

3. Если векторы з₁ и з₂ сопряжены относительно коники С (л = 0), то первое утверждение выполняется для любой точки коники С. Действительно, из системы (2) следует, что точка М(¹; ²; 0) коники С является фокальной точкой квадрики Q при условиях

(¹)² + ( ²)² - 1 = 0,

(¹)²m + ( ²)²l + ^{1 2} (м + c) + ¹= 0,

(¹)²q + ( ²)² н + ²+ н + q = 0.

В этом случае для значений (¹; ²; 0) справедлива также система (3).

4. Точки А₃ и А₃* тогда и только тогда являются фокальными точками квадрики Q, когда касательная плоскость к поверхности (L) в точке А₃ параллельна плоскости коники С.

Из уравнений (2) точки А₃, А₃* являются фокальными точками квадрики Q при условии b=0. При этом же условии касательная плоскость к поверхности (L) в точке (А₃) параллельна плоскости коники С. Справедливо и обратное утверждение.

Представляет интерес исследование расслояемых конгруэнций (CL)₂₁.

Расслояемыми конгруэнциями (CL)₂₁ назовём вырожденные конгруэнции (CL)_21, для которых существует аффинное расслоение от конгруэнции касательных к линиям Г_L к конгруэнции плоскостей ( П₁₃ ), проходящих через точку А и прямую L .

Будем говорить, что существует одностороннее аффинное расслоение от конгруэнции (L) к семейству плоскостей П₁₃, если: 1) задано отображение Ш, ставящее в соответствие каждой прямой L конгруэнции (L) единственный пучок в = Ш(б) семейства плоскостей П₁₃ , причём прямая L не инцидентна плоскости пучка в; 2) к конгруэнции (L) можно присоединить однопараметрическое семейство (У) поверхностей так, чтобы касательные плоскости к каждой поверхности семейства У в точках пересечения с прямой L конгруэнции (L) содержались в соответствующем пучке семейства П₁₃ [3] .

Найдём условия такого расслоения.

Рассмотрим произвольную точку M = A + t з₂ на касательной к линии Г_L, тогда:

dМ = dA + t dз₂+ dt з₂= щ¹з₁+ щ²з₂ +t (щ¹₂з₁+ щ²₂з₂+ щ³₂з₃) + dt з₂=

e ₁(щ¹ + t щ¹₂) + з ₂(щ²+ t щ²₂ + dt) + t щ³₂з ₃ = бз ₁+ вз ₃

при любом t , т. е.

щ²+ t щ²₂ + dt = 0, или dt= - t щ²₂ - щ².

Дифференцируя это уравнение внешним образом, получаем:

d²t = - dt^ щ²₂ - tDщ²₂ - Dщ² = 0,

0 = (t щ²₂ + щ²) ^ щ²₂ - tDщ²₂ - Dщ²,

0 = щ² ^ щ²₂ - t (щ¹₂^ щ²₁ + щ³₂^ щ²₃ ) - щ¹ ^ щ²₁ - щ² ^ щ²₂ ,

щ¹^ щ²₁ + t (щ¹₂^ щ²₁ + щ³₂^ щ²₃ ) = 0.

Это равенство выполнимо при любом t только в том случае, если одновременно выполняются условия

щ¹^ щ²₁ = 0 и щ¹₂^ щ²₁ + щ³₂^ щ²₃ = 0.

Применяя к этим условиям систему (1), получаем условие расслоения в виде ka = 0.

Так как многообразие касательных к линиям Г_L должно быть двумерным, то k ? 0.Таким образом, условие расслоения имеет вид a = 0.

Учитывая это условие в системе (1), получаем b + гc= 0.

В этом случае конгруэнции (СL)₂₁ существуют и определяются с произволом трёх функций двух аргументов.

ВЫВОДЫ

Расслояемые конгруэнции (CL)₂₁ обладают следующими свойствами:

1. Касательная плоскость к линейчатой поверхности (L) в точке А₃ проходит через центр коники С.

2. Характеристическая точка плоскости П₁₃ принадлежит соприкасающейся плоскости линии Г_L.

3. Семейство плоскостей П₂₃, соответствующих линии Г, огибается торсом с образующей, проходящей через фокусы лучей АА₂ и АА₃ .

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Фиников, С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С.П. Фиников. - М.-Л. , 1948. - 458 с.

2. Малаховский, В.С. О вырожденных конгруэнциях пар фигур в трёхмерном проективном пространстве / В.С. Малаховский // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: сб тр. - Калининград , 1973. - Вып. 3. - С. 12-19.

3. Малаховский, В.С. Расслояемые пары конгруэнций фигур / В.С. Малаховский: тр. геометрического семинара. - М., 1971. - С. 46-55.

4. Фунтикова, Т.П. Частный случай вырожденных конгруэнций, образованных коникой и прямой / Т.П. Фунтикова // Инновации в науке и образовании - 2007: труды Междунар. науч. конф. - Калининград: Изд-во КГТУ, 2007. - Ч. 1. - С. 418-420.

Размещено на Allbest.ru