Решение геометрических задач аналитическим методом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение геометрических задач аналитическим методом

Решение геометрической задачи - крайне сложный процесс. Никакие методические указания не могут исчерпать многообразия его сторон. Любое указание обязательно будет искомым, схематичным. Отсюда следует, что для решения геометрических задач нужны, кроме теории, методических указаний, и еще и догадки, изобретательность.

В первую очередь необходимо изучить текст задачи до полного понимания. Перед тем как приступить к решению задачи, ученики должны уметь ответить на такие вопросы: Что дано? В чем состоит условие задачи? Что надо найти или что надо доказать?

Решение задачи надо начинать лишь тогда, когда задача стала ясной, и надо сделать чертеж и указать на нем данные и искомые величины. Надо помнить, что неправильный или неверный чертежможет иногда направить вас на ложный путь и привести к неверным заключениям.

В данной работе рассматриваются геометрические задачи, рассчитанные на применения аналитических методов решения. Тенденции использования элементов алгебры и математического анализа при решении геометрических задач имеет большие возможности.

Рассмотрим некоторые задачи геометрии, решаемые аналитическим методами.

Пример 1

Найти углы равнобедренного треугольника, если известно, что прямая, проходящая через вершину угла при основании, делит его на два треугольника, каждый из которых также является равнобедренным.

Решение. Пусть треугольник АВС, в котором , разделен отрезком BD на два равнобедренных треугольника:ABD BCD (рис.1) Анализ задачи показывает, что возможны два случая:

а)

б)

Обозначим через х ( в радианной мере) величину угла А треугольника АВС. Тогда в случае а) имеем: угол АВD=x, углы BCD=BDC=2x (рис.1,а). Поскольку ,то угол CBD=x. Приходим к уравнению 5x=, откуда

В случае б), рассуждая аналогично, получим уравнение , откуда (рис.1,б). Выполнив проверку, убеждаемся в том, что корни уравнений удовлетворяют условию задачи.

При решении задачи, содержащей буквенные данные (параметры), следует не только найти формулу для вычисления неизвестного элемента, но и указать множества допустимых значений, при которых заданная в условии задачи фигура существует. Поясним это на следующем примере.

Пример 2. Основания равнобокой трапеции равны 6 см и4 см, а диагональ равна d см. Найти длины отрезков, на которые диагональ делится точкой пересечения диагоналей.

Решение

Пусть ABCD- данная трапеция, (рис.2). Заметив, что треугольники AOB COD подобны, обозначим через х см и составим уравнение , которое при любых значениях d имеет решение Однако задача имеет решение лишь при определенных ограничениях, налагаемых на параметр d. Чтобы показать это, проведем высоту CH трапеции. Тогда BH=1 см, AH=5 см. Трапеция ABCD существует (ее можно построить) тогда и только тогда, когда ,т.е.при

Следовательно, если , то задача решения не имеет.

Таким образом, формула при одних значениях d дает верный ответ, а при других - неверный, и если не указать условия то ею нельзя пользоваться. Для отыскания множеств допустимых значений параметров существуют различные приемы. Обычно исследуется возможность построения фигуры по данным в условии задачи элементам или используются неравенства, которым по смыслу задачи должны удовлетворять неизвестные. В частности, при решении приведенной задачи можно рассуждать и так: из треугольника АОВ следует, что ; используя формулу , получаем .

Пример 3

В треугольник с основанием с и высотой h вписан прямоугольник периметра 2p так, что две его вершины принадлежат основанию, а две другие - боковым сторонам треугольника. Вычислите стороны прямоугольника, если а) c=h, б) c<h.

Решение. Пусть вершины K и L вписанного прямоугольника KLMN принадлежит основанию AB треугольника ABC (рис.3)

Обозначим KN=x, тогда MN=p-x. Используя подобие треугольника ABC и CMN, получим

или .

а) Если c=p=h,то любое число х из промежутка удовлетворяет уравнению, а также и условию задачи: если то решений нет.

б) Если , то

При этом должно выполняться неравенство , которое имеет место тогда и только тогда, когда

Векторная алгебра может быть использована при решении содержательных геометрических задач. Примеры следующих задач - аффинные задачи, т.е. задачи, касающихся взаимного расположения двух прямых, принадлежности трех точек одной прямой, вычисления отношения отрезков параллельных прямых. Для решения таких задач необходимы лишь операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число, известные из курса геометрии. Особенностью решения многих задач является то, что все привлекаемые для решения векторы откладываются от одной и той же точки О, называемой полюсом.

Операция скалярного умножения двух векторов достаточно подробно изучается в курсе геометрии 10 класса. Посредством этой операции ( в сочетании с операциями сложения векторов и умножения вектора на число) можно вычислять длины отрезков и величины углов, находить метрические соотношения между линейными и угловыми элементами многоугольников, решать некоторые задачи, связанные с окружностью.

Вычисление длины отрезка сводится к вычислению скалярного квадрата соответствующего вектора.

Пример 4

Вычислите длину медианы CD треугольника ABC, если и угол C=120є.

Решение

Примем вершину С треугольника АВС за полюс и выразим вектор , длину которого требуется найти, через основные векторы и (длины этих векторов и угол между их направлениями известны).Так как точка D - середина отрезка AB, то (рис.4).

Вычислим скалярный квадрат вектора CD:

Подставив в это равенство числовые данные, получим:

отсюда CD = .

Пример 5

Доказать, что если биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла взаимно перпендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла перпендикулярна первым двум биссектрисам.

Решение. Пусть дан трехгранный угол ОАВС (рис. 5). На ребрах его ОА, ОВ, ОС отложим единичные векторы соответственно. Направляющие векторы биссектрис плоских углов AOB, BOC, COA соответственно равны , , .

Пусть биссектрисы плоских углов AOB и BOC взаимно перпендикулярны. Тогда ) = 0, или Используя это равенство, получаем:

) =

) =

Следовательно, две другие пары биссектрис также взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим применение метода координат.

Пример 6

Вычислить высоту треугольника пирамиды, у которой все углы при вершине прямые, а длины боковых ребер равны соответственно 1, 2 и 3.

Решение. Выберем в пространстве прямоугольную систему координат так, чтобы вершины данной пирамиды ОАСВ имели координаты О(0;0;0), А(1;0;0), В(0;2;0), С(0;0;3).

Запишем уравнение плоскости АВС как уравнение плоскости в отрезках:

или

По формуле расстояния от точки до плоскости найдем высоту пирамиды:

Для решения различных задач, касающихся треугольника, используются теоремы синусов и косинусов, а также формулы, выражающие элементы треугольника через его стороны.

Пример 7

Доказать, что для любого треугольника АВС справедливо неравенство

Решение

По теореме косинусов имеем:

или .

Отсюда получаем:

Следовательно,

Причем равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда a=b=c.

Решение геометрических задач вызывают трудности у многих учащихся. Это объясняется, прежде всего, тем, что редко какая либо задача по геометрии может быть решена с использованием определенной теоремы или формулы. Большинство задач требует применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, справедливых лишь при определенном расположении фигуры, применение различных формул. Приобрести навыки в решении задач можно, лишь решив достаточно большое их количество, ознакомившись с различными методами, приемами и подходами.

Литература

геометрический задача аналитический решение

1. Э.Г.Готман, З.Ф.Скопец,Решение геометрических задач аналитическим методом; Москва «Просвещение» 1979 г.

2. А.Н.Шыныбеков, Геометрия 9, Алматы «Атамура»2013 г.

Размещено на Allbest.ru