Дифракция антиплоских гармонических SH-волн на неподвижной полосе, прикрепленной к границе упругого полупространства
Рассмотрена задача о дифракции антиплоских волн сдвига (SH-волн) на неподвижной жесткой полосе, скрепленной с поверхностью упругого полупространства. Порядок решения парных интегральных уравнений и интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.07.2018 |
| Размер файла | 3,4 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Дифракция антиплоских гармонических SH-волн на неподвижной полосе, прикрепленной к границе упругого полупространства
Казей Игорь Сергеевич / Kazei Igor Sergeevich - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, факультет фундаментальных наук, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего образования Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана», г. Москва
Аннотация: в статье рассмотрена задача о дифракции антиплоских волн сдвига (SH-волн) на неподвижной жесткой полосе, скрепленной с поверхностью упругого полупространства. При помощи интегральных преобразований задача сводится к решению парных интегральных уравнений, а затем к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Найдены выражения для напряжений на границе полупространства под полосой и сила, действующая на неподвижную полосу.
Ключевые слова: волна сдвига, жесткая полоса, упругое полупространство, преобразования Фурье, интегральные уравнения, функции Бесселя, напряжения.
Abstract: the diffraction оf antiplane shear waves (SH-wave) on a fixed rigid strip attached to the surface of an elastic half-space is considered in this article. With integral transforms the problem reduces to the solution of pair integral equations, and then to Fredholm integral equations of the second kind. Expressions for stresses on the surface of a half-space and the force acting on the stationary strip were obtained.
Keywords: shear wave, rigid strip, elastic half-space, Fourier transformation, integral equations, Bessel functions, stresses.
Одной из самых трудных задач динамики сооружений является их расчет на действие сейсмических волн. Массивная конструкция вносит возмущение в первоначальное поле перемещений, вызываемое падающей волной. Задачи, учитывающие это возмущение, называют дифракционными, а их решение уточняет характер результирующего воздействия на сооружение. При рассмотрении протяженного инженерного сооружения, один из размеров которого значительно превосходит два других (фундамент протяженного здания, трубопровод), его можно приближенно заменить полосой (или пластиной) бесконечной длины. В статье рассмотрена вспомогательная задача такого рода, когда жесткая полоса бесконечной длины прикреплена к поверхности упругого полупространства и считается неподвижной.
Постановка задачи. Введем декартову систему координат x , y , z . Упругое полупространство занимает область y і 0 , а полоса прикреплена к ней на участке -aЈxЈa поверхности плоскости y = 0 (Рис. 1).
Рис. 1
дифракция антиплоский волна полупространство
Ось zперпендикулярна плоскости рисунка. В случае антиплоской деформации отличными от нуля будут перемещение w= w(x, y,t) вдоль оси z и напряжения txz (x, y, t)=m(¶w/¶x), tyz (x, y, t)=m(¶w/¶y), где m - константа Ламе. Уравнение движения упругой среды сводится при этом к волновому уравнению относительно w:
где c =--(m/r)--- скорость волны сдвига, r - плотность упругой среды.
Пусть падающая гармоническая волна имеет вид:
где w0 - амплитуда, w - круговая частота, a=w/c - волновое число, J- угол между осью x и направлением распространения волны.
Выражение для полного волнового поля представим в форме
w=w(i)--+w(_)--+w(d), (2)
в которой для рассматриваемой стационарной задачи отраженная от поверхности свободной от напряжения, волна и добавочное поле, вызванное наличием жесткой полосы, имеют соответственно вид
Теперь подставляя (2) в (1) и отделяя переменную по времени, получим для w*(x, y) уравнение Гельмгольца
Поскольку поверхность полупространства под полосой неподвижна (w=0), а оставшаяся часть поверхности свободна от напряжений (tyz = 0), то для w*(x, y) имеет граничные условия
На концах полосы, в точках изменения типа граничных условий перемещения должны быть непрерывны, а напряжения могут обладать интегрируемой особенностью. Родственные по математической постановке задачи рассмотрены в [1, 2]. Вид падающей волны и линейность задачи позволяют разбить w*, *yz на симметричную и антисимметричную составляющие:
w*--=w€*--+w~*,--t*yz--=t€*yz--+t~yz*--,
где w€*,t€*yz - четные функции по x ; w~*,t~yz* - нечетные функции по x .
3.Симметричные составляющие w€*,t€*yz . Граничные условия для симметричной составляющей w€* при y = 0 имеет вид
С помощью косинус-преобразования Фурье решение уравнения Гельмгольца для w*можно представить следующим образом:
Выбор ветвей подробно обсужден в [3]. Используя интегральное представление (5) в граничных условиях (3), (4), получим парные интегральные уравнения для неизвестной функции A(s):
где j(t) - неизвестная вспомогательная функция, непрерывная на промежутке [0; a]; J0 (s) - функция Бесселя первого рода.
Подставляя A(s) из (7) в (6) получим, что второе уравнение удовлетворяется тождественно, а первое после ряда преобразований приводится к интегральному уравнению типа Абеля для j(t):
Константу С определяем из соотношения, полученного с помощью граничного условия (3) при x= 0 и формул (5), (7). С учетом определения Ф1(x) и Ф2 (x)--имеем
4. Антисимметричные составляющие w~*,t~yz*.Граничные условия для антисимметричной составляющей w~* при y = 0 имеет вид
Рис.2
Рис. 3
Литература
1. Loeber J. F., Sih G. C. Diffraction of antiplane shear waves by a finite crack. // J. Acoust. Soc. Amer. 1968. Vol. 44, No 1. P. 90-98.
2. Sih G. C.Singular solution near a rigid ribbon exited by plane waves. // J. Franklin. Inst. 1968. Vol. 286, No 2, 152-157.
3. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 280 c.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Обоснование итерационных методов решения уравнений в свертках, уравнений Винера-Хопфа, с парными ядрами, сингулярных интегральных, интегральных с одним и двумя ядрами. Рассмотрение алгоритмов решения. Анализ учебных программ по данной дисциплине.
дипломная работа [2,2 M], добавлен 27.06.2014Основные элементы теорий однородных и краевых задач Римана, Гильберта, Нетера. Использование различных способов регуляризации полных особых интегральных уравнений. Некоторые основные свойства особых союзных операторов. Уравнения Фредгольма и Пуанкаре.
курсовая работа [565,3 K], добавлен 17.02.2014Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Основные виды линейных интегральных уравнений. Метод последовательных приближений, моментов, наименьших квадратов и коллокации. Решение интегральное уравнение методом конечных сумм и методом моментов. Ненулевые решения однородной линейной системы.
контрольная работа [288,4 K], добавлен 23.10.2013Изучение методов решения уравнений математической физики, которые используются для расчётов распространения тепла, концентрации, волн. Решение уравнения теплопроводности интегро-интерполяционным методом (методом баланса), который применим во всех случаях.
курсовая работа [269,2 K], добавлен 15.11.2010Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Понятие Диофантовых уравнений, их сущность и особенности, методика и этапы решения. Великая теорема Ферма и порядок ее доказательства. Алгоритм решения иррациональных уравнений. Метод поиска Пифагоровых троек. особенности решения уравнения Каталана.
учебное пособие [330,2 K], добавлен 23.04.2009Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.
реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009Выведение формулы решения квадратного уравнения в истории математики. Сравнительный анализ технологий различных способов решения уравнений второй степени, примеры их применения. Краткая теория решения квадратных уравнений, составление задачника.
реферат [7,5 M], добавлен 18.12.2012Понятие волнового уравнения, описывающего различные виды колебаний. Рассмотрение явной разностной схемы "крест" для решения данной задачи. Нахождение решений на нулевом и первом слоях с помощью начальных условий. Виды и решения интегральных уравнений.
презентация [240,6 K], добавлен 18.04.2013Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Ознакомление с основными свойствами линейных дифференциальных уравнений первого, второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрение методов решения однородных и неоднородных уравнений и применения их при решении физических задач.
дипломная работа [181,3 K], добавлен 18.09.2011Классификация гиперболических уравнений в общей классификации уравнений математической физики. Классификация уравнений: волновое, интегро-дифференциальные, уравнение теплопроводности. Методы решения в зависимости от видов гиперболических уравнений.
контрольная работа [249,3 K], добавлен 19.01.2009Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009Изучение способов решения нелинейных уравнений: метод деления отрезка пополам, комбинированный метод хорд и касательных. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений. Особенности математической обработки результатов опыта, полином Лагранжа.
курсовая работа [181,1 K], добавлен 13.04.2010Теоретические аспекты обучения решению уравнений в 8 классе. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры. Методика изучения квадратных уравнений. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений.
курсовая работа [134,3 K], добавлен 01.07.2008
