Адаптивная математическая модель системы управления уровнем грунтовых вод с применением аппроксимаций многомерных функций

^{Размещено на http://www.allbest.ru/}

Адаптивная математическая модель системы управления уровнем грунтовых вод с применением аппроксимаций многомерных функций

Е.Н. Графова,

Н.Д. Бобарыкин,

В.М. Смертин

Аннотация

Разработана и реализована математическая модель системы автоматизированного управления уровнем грунтовых вод, включая инструментарий мониторинга параметров польдерных систем (ПС), аппроксимации многомерных функций и на ее основе решений обратных задач путем варьирования переменных до совпадения целевого функционала с реальными характеристиками и требуемыми свойствами, т.е. ставится цель восстановить параметры моделируемых польдерных систем в зависимости от воздействия. Таким образом, постановка решения обратных задач математического моделирования связана с обращением причинно-следственной связи, т. е. отысканием неизвестных причин по известным следствиям. математический модель грунтовый управление

математическая модель системы автоматизированного управления уровнем грунтовых вод, аппроксимации многомерных функций, обратные задачи, целевой функционал

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Задача контроля и управления влажностью земель сельскохозяйственного назначения обосновывает необходимость моделирования движения структурированных неоднородных сред, характеризующихся сложными реологическими свойствами. Как правило, сведения о свойствах отдельных элементов структурированных сред и особенностях процессов взаимодействия между ними отсутствуют или же получение их затруднительно.

В работе [1] приводится инвариантная нестационарная трехмерная математическая модель польдерных систем (ИНТММ ПС), в которой каждый проводящий открытый канал сети ПС с прилегающим к нему осушаемым массивом описывается достаточно сложной системой дифференциальных нелинейных уравнений в частных производных: уравнениями Сен-Венана, уравнением Буссинеска, капиллярного переноса влаги, а также, при наличии дренажных систем, - уравнениями напорного или безнапорного движения воды в дренажных трубах, и требует большого объема компьютерных вычислений, что усложняется еще и структурой обрабатываемых данных, в частности, входных и выходных параметров математических моделей мелиоративных систем.

Поэтому в данной работе при численном решении этой проблемы предлагается заменить его на построение алгоритма обратной аппроксимации параметров ПС (рис.1).

Для этого необходимо решить обратную задачу: по данным, полученным из мониторинга (проведенного с помощью ИНТММ ПС) существующего состояния почвы, система задает требуемые показатели увлажнённости почвы (уровня воды в проводящих открытых каналах и уровня грунтовых вод (УГВ)) и рассчитывает производительность насосных станций, обеспечивающих необходимый уровень грунтовых вод для поддержания заданной влажности почвы.

Состав и структура задач, подлежащих решению при создании модели автоматизированного управления режимом увлажнения корнеобитаемого слоя почвы, приведены на рис. 1.

На первом этапе создаётся база данных параметров ПС, рассчитанных на основе ИНТММ ПС, по типу почвы и виду произрастающих на ней сельскохозяйственных структур для различных сезонов, времени суток и географических широт. На втором - аппроксимируются полученные численные пространственно-временные зависимости параметров ПС специальными функциями. Далее, исходя из вида аппроксимационных кривых и заданных оператором показателей качества системы управления плодородием земель, решается обратная задача, определяющая управляющие воздействия с целью изменения производительности насосных станций.

Таким образом, создаваемая автоматизированная система управления РУКС (режим увлажнения корнеобитаемого слоя) почв сельскохозяйственного назначения, структура которой приведена на рис.1, может быть использована при осушении заболоченных и переувлажненных земель с целенаправленным формированием заданных характеристик качества плодородия земель.

^{2. МОНИТОРИНГ ПАРАМЕТРОВ ПС НА ОСНОВЕ ИНТММ ПС}

С целью мониторинга параметров польдерных систем рассмотрим общий алгоритм расчета оптимального режима увлажнения корнеобитаемого слоя почвы. Так как задача управления оптимальным РУКС почвы U > Uор сводится к оптимальному управлению уровнем грунтовых вод УГВ Н > Нор [1], то в результате оптимизационного поиска максимально возможного потока влаги Uор определяются значения положения уровня грунтовых вод Нор и глубины корнеобитаемой зоны hkор, при которых значение потока влаги достигает своего оптимального значения Uор.

Проводя мониторинг для шести значений производительности насосных станций Q, м 3/с и усредняя значения уровня воды в открытых проводящих каналах h и УГВ УН по соответствующим координатам, представим результаты расчетов в виде следующей таблицы.

Таблица

Перенос влаги от поверхности грунтовых вод в слой активного влагообмена зоны аэрации определяют водно-физические свойства почвы, степень влагонасыщенности этого слоя и положения уровня грунтовых вод. Движение почвенной влаги имеет неустановившийся режим, при котором влагосодержание изменяется не только по глубине почвы, но и по времени. Авторами разработан алгоритм расчёта максимально возможного потока влаги от грунтовых вод Uор при оптимальных значениях УГВ Нор и высоты корнеобитаемого слоя hkop на основе оптимизации целевой функции [1], так, например, для многолетних трав УГВ Ноп = 2.76 м, для значения которого и будут проводиться расчеты.

3. МНОГОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Одним из факторов эффективного увлажнения корнеобитаемой зоны почвы является оптимальное положение уровня грунтовых вод, определяемых типом почвы и произрастающими на ней растениями. Обозначим УГВ H через у, при этом компоненты массива хj (j=1,…,2) описывают производительность насосной станции Q и уровень воды в проводящем открытом канале h, тогда аппроксимирующий полином запишем, как в [2]:

, (1)

где j=1,…,m; m - степень полинома; cj - неизвестные константы, требующие определения.

Для аппроксимирующего полинома (1) невязка определяется как

, (2)

где N - число вычислительных экспериментов; i - номер эксперимента,

условие минимума невязки определяется для компонент вектора ?(с) как получаем

или

, (3)

обозначим

и . (4)

Система уравнений (4) имеет вид

. (5)

Тогда задача аппроксимации сводится к решению системы линейных уравнений вида

Ф с = Щ, (6)

где Ф - квадратичная информационная матрица размера m, а Щ - вектор правых частей той же размерности.

Коэффициенты разложения членов аппроксимации с определятся из векторного уравнения (6) методом обратной матрицы Ф-1 как

с = Ф-1 Щ. (7)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Число экспериментов равно 6, m - число компонент функций - равно 3:

где х<1>- транспонированный вектор значений производительностей насосной станции; х<2> - транспонированный вектор значений понижения уровня воды в проводящем канале; у- значения УГВ в осушаемом массиве ПС. Вид заданного аппроксимационного вектора функции(х) выбран с учетом мониторинга параметров ПС (см. таблицу), уровень воды в отрытых проводящих каналах ПС имеет линейное распределение в зависимости от координаты х, а уровень грунтовых вод - квадратичное.

Таким образом, аппроксимационный полином ym представлен в следующем виде:

ym = c0 + c1x1 + c2x2 или Hi,j = c0 + c1Qi + c2hj, (8)

при этом невязка параметров ПС определится как

,

а погрешность вычислений значений приводится на рис. 2 d, где относительная погрешность

не превышает 0.15% .

Для решения обратной задачи и построения общего алгоритма, как отмечалось выше, используются идеи теории оптимизации и вариационного исчисления. В данном случае окончательно эта задача сводится к следующему: на основе полученного аппроксимационного двумерного функционала (8) путем нахождения его стационарных значений на множествах значений функций состояния, параметров моделей ПС в дискретной формулировке и заданного критерия качества УГВ Ноp = 2.76 м определить производительность насосной станции Qop, при которой невязка |Н - Нор|> min. В силу двухмерности аппроксимирующей функции (16) и проведенного мониторинга (см. таблицу) варьировались два параметра Q и h в интервалах 0.01- 0.045 м 3/с и 2.35 - 2.86 м соответственно (рис. 3).

Таким образом, рассмотренный алгоритм решения обратных задач, т. е. отыскание параметров польдерных систем по заданным критериям качества, представляется достаточно эффективным (невязка вычислений составила min = 1.124*10-6 м) и работоспособным.

Список использованных литературных источников

1. Графова, Е.Н. Математическое моделирование совершенных польдерных систем / Е.Н. Графова, Н.Д. Бобарыкин - Калининград: Изд-во ФГОУ ВПО "КГТУ", 2009. - 229 с.

2. Охорзин, В.А. Прикладная математика в системе MathCAD / В.А. Охорзин. - М.: Изд-во "Лань", 2009. - 352 с.

Размещено на Allbest.ru