Задачи с параметром в материалах Государственной итоговой аттестации и методы их решения. (По материалам ЕГЭ за последние 5 лет)

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Элементарная математика»

тема: «Задачи с параметром в материалах Государственной итоговой аттестации и методы их решения. (По материалам ЕГЭ за последние 5 лет)»



Содержание

Введение

1. Определение понятия «параметр» и «задача с параметром

2. Типы задач с параметром, встречающиеся в материалах Государственной итоговой аттестации

3. Сравнительный анализ задач с параметром демоверсии ЕГЭ по математике ФИПИ с вариантами досрочного и основного этапа ЕГЭ

4. Основные методы решения задач с параметром

4.1 Аналитический метод

4.2 Графический метод

5. Подбор задач с параметром

5.1 Задачи с параметром, решаемые с помощью аналитического метода

5.2 Задачи с параметром, решаемые с помощью графического метода

Заключение

Список литературы



Введение

Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным заданиям и располагаются в вариантах Единого государственного экзамена по математике на последних позициях. Данные задачи позволяют проверить владение формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, определить навыки математической исследовательской деятельности, уровень логического мышления учащегося. Решение задач с параметрами требует от выпускников глубокого понимания изученного материала школьной программы и уверенного владения им. Как показывают результаты ЕГЭ, немногие учащиеся справляются с подобными видами задач. Связано это с тем, что школьная учебная программа не предусматривает обучение решению задач с параметрами, за исключением профильных классов, школ и лицеев, либо ему уделяется мало внимания. Затронутая тема является актуальной, потому что в последние годы задачи с параметрами постоянно содержатся в заданиях ЕГЭ по математике, а умение решать данные задачи во многом является залогом достижения высокого экзаменационного балла.

Целью данной работы является изучение задач с параметрами в материалах государственной итоговой аттестации и методов их решения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести теоретический анализ литературы по данной теме;

2. Дать определение параметра, рассмотреть типы задач с параметром; выделить основные методы их решения;

3. Подобрать серию задач с параметром, решаемых с помощью основных методов.



1. Определение понятия «параметр» и «задача с параметром»

В Толковом словаре математических терминов дано следующее определение параметра: «Параметр - величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но которое в другой задаче меняет свои значения». [9, стр.296]

В книге В. С. Высоцкого сказано, что «если в уравнении (неравенстве) коэффициенты при неизвестных величинах зависят от некоторой переменной или нескольких переменных, то эта переменная или переменные называются параметрами». [2, стр.7]

В пособии В. И. Голубева параметр определяется, как «независимая переменная, значение которой в данной задаче считается фиксированным». [3, стр.5]

Некоторые составители книг рассматривают параметр, как «управляющую» переменную.

Параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе её решения, «управляющая» решением задачи.

Задача, условие которой содержит или в ходе решения которой появляется хотя бы одна независимая переменная, удовлетворяющая определению понятия «параметр», называется задачей с параметрами. [10, стр.84]

Независимость переменной, обозначенной термином «параметр», легко просматривается в большинстве соответствующих задач. [10, стр.81]

Например, если поставлена задача «решить уравнение x² + 1 = p относительно переменной xс параметром p», то независимость переменной pсостоит хоты бы в том, что она не обязана принимать значения не меньше 1, в силу равенства величине, принимающей такие значения.

«Управляемость» решением задачи данной переменной заключается в том, мы должны ей каждый раз «подчиняться», каждый раз указывая ответ в зависимости от значений этой переменной. [10, стр.82]

Например, в приведённом выше уравнении ответ записывается следующим образом:

1) Если p1, то уравнение решений не имеет.

2) Если p= 1, то уравнению удовлетворяет единственное значение переменной x= 0.

3) Если p1, то уравнение удовлетворяют два значения переменной x=и x=

В подавляющем большинстве задач некоторая переменная, входящая в условие, явно «назначается» параметром. Но есть задачи, в которых параметр появляется по ходу составления математической модели или по ходу решения задачи.

Пример. Решите уравнение = .

Путь к решению состоит в параметризации условия задачи. Обозначив и записав параметризованное условие в виде, можно двигаться далее, выясняя, например, при каких значениях параметра данное уравнение имеет решение. [10, стр.83]

Одним из понятий, которое опирается на определение параметра является понятие «допустимого значения параметра».

Допустимым значением параметра называется такое его значение, при котором область определения данной задачи есть непустое множество. [3, стр.5]

Например, для уравнения множество допустимых значений параметра есть вся числовая ось, как и для уравнения .А для уравнения множество допустимых значений параметра есть луч .

Другими словами: значение параметра считается допустимым, если найдётся хотя бы один набор значений других переменных, входящих в условие данной задачи, при подстановке которого совместно с заданным значением параметра в аналитическое выражение, задающее условие, оно (выражение) имеет смысл.



2. Типы задач с параметром, встречающиеся в материалах Государственной итоговой аттестации

По формулировке любую задачу с параметром можно отнести к одному из двух следующих типов:

1) Найти все значения параметра, для каждого из которых выполняются те или иные условия (уравнение, неравенство или система имеют определённое число решений; решение принадлежит определённому множеству или удовлетворяет определённым ограничениям и т. п.; сами решения находить при этом, как правило, не требуется). [13]

Пример 1. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4;19).

Пример 2. Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение на отрезке [0;].

2) Найти все значения параметра, при каждом из которых задача имеет хотя бы одно решение, и указать эти решения для каждого такого значения параметра (кратко: «при каждом значении параметра решить уравнение (неравенство, систему)». [13]

Пример 1. При каждом значении параметра решить неравенство

Пример 2. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система неравенствимеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждого значения .



3. Сравнительный анализ задач с параметром демоверсий ЕГЭ по математике ФИПИ с вариантами досрочного и основного этапа ЕГЭ

Задача с параметром в демоверсии Федерального института педагогических измерений 2017 года выглядит следующим образом:

Найдите все положительные значения , при каждом из которых система

имеет единственное решение. [16]

Такая же задача представлена в демоверсиях ФИПИ 2016 и 2015 годов.

В демоверсии ФИПИ как 2014 года, так и 2013 года задача с параметром представлена так:

Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции f (x) = 2ax + больше 1. [16]

В вариантах досрочного периода ЕГЭ по математике встречались следующие задачи с параметром:

В 2017 году - Найдите все значения параметра , при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [15]

В 2016 году - Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения. [15]

В 2015 году - Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравненийимеет единственное решение. [15]

В 2014 году - Найдите все значения , при которых уравнение

2 = имеет единственное решение. [15]

В 2013 году - Найдите все значения , для каждого из которых уравнение

имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1;1). [15]

Варианты основного этапа ЕГЭ по математике содержали следующие задачи с параметром:

В 2017 году - Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке . [15]

В 2016 году - Найдите все значения , при каждом из которых уравнение = имеет ровно три различных значения. [15]

В 2015 году - Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений



имеет более двух решений. [15]

В 2014 году - Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно два решения. [15]

В 2013 году - Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

= имеет единственный корень. [15]

Рассмотрев и сравнив вышеизложенные задачи с параметром из вариантов демоверсий ФИПИ, досрочного и основного этапа ЕГЭ за последние пять лет можно сделать выводы о том, что задачи с параметром демоверсий ФИПИ во всех случаях совпадают с задачами досрочного и основного этапа ЕГЭ и относятся к первому типу, описанному нами выше.

Поскольку были рассмотрены единичные варианты основного этапа ЕГЭ, не исключено, что в них встречались также и задачи с параметром второго типа.

Это позволяет сделать вывод о том, что для успешного выполнения задач с параметром на ЕГЭ, учащиеся должны уметь решать данные задачи различных типов и видов, а не бездумно запоминать типовые.



4. Основные методы решения задач с параметром

Традиционно для решения задач с параметрами используются аналитический и графический методы. [5]

4.1 Аналитический метод

Аналитический метод является не только самостоятельным методом решения задач, но и обязательной составной частью всех остальных методов. Основной частью аналитического метода решения задач является метод эквивалентных или равносильных преобразований. Предлагаемый подход к решению уравнений и неравенств с параметрами, их систем или совокупностей основан на замене одного математического высказывания другим равносильным математическим высказыванием. Задача рассматривается как некоторое логическое высказывание, область истинности которого предстоит установить в результате его рассмотрения. При этом исходное условие рядом равносильных преобразований или преобразований следствий приводится к совокупности простейших логических утверждений, истинность или ложность которых считается установленной.

В аналитическом методе решения задач чаще всего используется приём дробления - разделение условия задачи на совокупность более простых условий. Так, условие задачи, содержащие выражения, стоящие под знаками модуля, обычно разделяют на совокупность более простых условий, не содержащих модуль. [10, стр.61]

Рассмотрим решение задачи с параметром из типовых экзаменационных вариантов по математике аналитическим способом:

Пример. При каждом значении параметра решить неравенство



.

Решение. Данное неравенство является линейным относительно переменной x.

Раскроем скобки , перегруппируем слагаемые и приведём его к стандартному виду: (). Корнями квадратного трёхчлена в левой части полученного неравенства являются числа и , поэтому, разложив этот трёхчлен на линейные множители, придём к неравенству (.

Коэффициент при переменной в левой части неравенства в зависимости от значений параметра может быть равен нулю, положителен или отрицателен.

Рассмотрим все возможные случаи.

Если , неравенство принимает вид 0 и выполняется при любом значении переменной x.

Если , неравенство принимает вид 0 и не выполняется ни при каких значениях x.

Если ()(), т.е. , то, разделив обе части неравенства на положительное число ( и сократив дробь в правой части, получим , т.е. .

Если ( т.е. , то, разделив обе части неравенства на отрицательное число (и сократив дробь в правой части, получим, т.е. .

Ответ: при ; () при ; ( при ; нет решений при .



4.2 Графический метод

Любая задача с параметрами есть задача как минимум с двумя переменными - аргументом и параметром. Следовательно, решение задачи - упорядоченный набор их значений, может рассматриваться как координаты точки некоторого евклидова пространства. [10, стр.62]

Учитывая роль параметра в задаче, выделяют два основных графических приема: первый - построение графического образа на координатной плоскости Oxy, второй - на координатной плоскости Oxa.

Первый прием заключается в том, что исходное уравнение (или неравенство) преобразуют к виду На плоскости Oxy строится график функции . Функция задает определенное семейство кривых, зависящих от параметра . Кривые этого семейства получаются из кривой с помощью некоторого элементарного преобразования (параллельного переноса вдоль осей, растяжения, наложения модуля или в случае линейной зависимости между x и - поворота относительно некоторой точки). Построив графический образ уравнения можно установить, сколько точек пересечения имеют графики функций и , - это определяет количество корней уравнения , а, следовательно, и исходного уравнения в зависимости от значения параметра. Так же для неравенства можно выяснить, что представляет собой множество его решений.[11, стр.55]

Используя второй прием, исходное уравнение (или неравенство) преобразуют к виду (или ). На плоскости Oxa строят график функции , а далее, пересекая полученный график прямыми, параллельными оси , получают необходимую информацию.

Подобные приемы используют и в случае систем:

уравнений

неравенств

уравнения и неравенства

Для этого строят графический образ системы и интерпретируют его в зависимости от значения параметра и условий задачи. [11, стр.56]

Рассмотренный метод лучше всего работает, если условие задачи содержит вопрос о количестве корней в зависимости от значений параметра или определения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.

Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждого значения .

Решение. Приведём данную систему к виду

и построим в системе координат Oxa графики функций (прямая, проходящая через точки (4;0) и (3;12)), (парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (2; -16), пересекающая ось абсцисс в точках (0;0) и (4;0)), (прямая, проходящая через точки (0;0) и (3;12)). Множество всех точек (x;a) плоскости Oxa, удовлетворяющих данной системе, покажем штриховкой. Для записи ответа будем рассматривать различные положения считывающей прямой.

При или считывающая прямая не имеет с заштрихованной областью ни одной общей точки.

При считывающая прямая имеет с заштрихованной областью единственную общую точку - вершину параболы (т.е. решением данной системы является , при эта прямая имеет с заштрихованной областью также единственную общую точку - точку пересечения прямых и (т.е. решением данной системы является ).

При считывающая прямая пересекает заштрихованную область по отрезку, концы которого лежат на параболе В этом случае левый конец отрезка является меньшим корнем уравнения (этот корень равен ), а правый - большим корнем этого уравнения (он равен ).

При считывающая прямая пересекает заштрихованную область по отрезку, левый конец которого лежит на прямой (и, значит, ), а правый - на прямой (и, значит, ).

Рис.1

Ответ: решений нет при ; при ; при ; при ; при .



5. Подбор задач с параметром

5.1 Задачи с параметром, решаемые с помощью аналитического метода

Пример. Найти все значения параметра , для каждого из которых больший корень уравнения в пять раз больше, чем его меньший корень.

Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное с переменной x. Из условия задачи следует, что это уравнение должно иметь два различных корня, что возможно в том и только в том случае, если дискриминант D уравнения положителен. Тогда:

Пусть и - соответственно меньший и больший корни уравнения.

Поскольку и ,

то и .

По условию , отсюда следует,

что

Ответ:

Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых неравенство имеет единственный корень.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть . Неравенство примет вид . Поскольку при любом действительном значении переменной, задачу можно переформулировать так: найти все значения параметра , при каждом из которых неравенство имеет единственный положительный корень. Если это неравенство имеет корни , то их сумма равна , поскольку .

(здесь график), откуда .

Ответ:.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения

, если числа a, b, c, d, p, q таковы, что

Решение. Выражение есть квадрат расстояния между точками (a;b;c) и (-d; -p; q). Первая точка лежит на сфере с центром в начале координат и , а вторая точка лежит на сфере с тем же центром и .

Наибольшее расстояние:

Наименьшее расстояние:

Отсюда следует, что искомые значения равны 196 и 16.

Ответ: 196; 16.

Пример. Найдите все значения параметра , для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Решение. Заметим, что левая часть уравнения определена при любом действительном значении переменной, поскольку дискриминант квадратного трёхчлена в знаменателе дроби отрицателен и, следовательно, не обращается в нуль. Рассмотрим данное уравнение как уравнение второй степени с переменной x, приведя его к стандартному виду. Выполним необходимые преобразования:

() (

(

При уравнение принимает вид 0 и не имеет корней.

При уравнение является квадратным и имеет хотя бы один корень в том и только в том случае, если его дискриминант D неотрицателен (или, что тоже, если ). Поскольку

Тогда , получаем неравенство

, из которого с учётом условия находим, что

Ответ:.

Пример. Найти наименьшее значение параметра , для которого существует хотя бы одна пара таких чисел что .

Решение. Рассмотрим данное неравенство как квадратное с переменной , переписав его в виде:

.

Так как коэффициент при второй степени переменной положителен, то квадратный трехчлен в левой части неравенства может принимать неположительные значения тогда, когда .

=

.

Рассмотрим как квадратный трехчлен относительно . Так как коэффициент при второй степени этого трехчлена отрицателен, принимать неотрицательные значения он может в том случае, если

.

Значит, ; , и наименьшим возможным значением параметра является .

Ответ. .

Пример. При каких значениях параметра уравнение 

Имеет ровно три различных корня? Найдите все возможные значения .

Решение. Для начала составим систему:

Возведём правую часть уравнения нашей системы в квадрат:

Тогда уравнение системы примет вид:

Поэтому преобразуем данное уравнение:

Сделаем группировку слагаемых:



Следовательно, получим два уравнения: и .

Решением первого уравнения является:

Решением второго уравнения является;

и

и .

По условию задачи нам требуется три различных корня уравнения, поэтому, чтобы они не совпали, исключим:

Теперь найдём при каких эти три корня будут решением неравенства нашей системы:

При



При

При

Ответ:

Пример. Найти все значение параметра , при котором уравнение

имеет один корень на отрезке .

Решение. Сначала решаем данное уравнение:

Отсюда получаем два уравнения: и .

Из первого уравнения следует, что .

Теперь решим второе уравнение:

Теперь составим систему условий, которые обязательно должны выполняться:

Получаем:

Если - единственный корень; .

Если , то является решением, но тогда на промежутке будет два корня: .

В результате получаем, что является решением, когда:

1)

2)

3) .

Следовательно, если , то данное уравнение будет иметь одно решение на отрезке [0;].

Ответ:

Пример. Найдите все значения параметра , при которых уравнение



имеет ровно два корня.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:

Выделим полный квадрат в левой части уравнения:

Составим систему:

Следовательно, ,

тогда

Так как , тогда

, тогда

Сделаем замену:

Если у нас получится два положительных корня, то всего у нас будет четыре корня, следовательно, мы не рассматриваем этот вариант. Тогда:

1)

Тогда получаем, что .

Если , то .

2)

Тогда получаем, что .

Если , то .

Ответ:, .

Пример. Найдите все значения , при которых система

Решение. Рассмотрим второе уравнения данной системы:



Тогда система примет вид:

Сделаем замену:

и .

Получим, что:

Так как перестановка переменных в уравнении данной системы не влияет на решение этой системы, то если корнем является

то и , , , , , , тоже являются корнями.

Необходимым условием для существования системы с четырьмя решениями является:

1) , тогда эти восемь корней попарно совпадут, в результате чего мы получим четыре корня, а именно: ,

и .

Если , то , откуда .

Если , то , откуда .

Отсюда - необходимое условие для существования четырёх решений.

Значит, найдя нужные , сделаем проверку, подставив в систему корень (0; 1) и :

Также, если мы подставим другие корни (0; -1), (-1; 0), (1; 0), то увидим, что .

2) , тогда эти восемь корней попарно совпадут, в результате чего мы получим четыре корня, а именно: ,

тогда

и .

Если , то , откуда .

Если , то , откуда .

Отсюда - необходимое условие для существования четырёх решений. Значит, найдя нужные , сделаем проверку, подставив в систему корень (0; 1) и :



Также, если мы подставим другие корни (0; -1), (1; 0), (-1; 0), то увидим, что .

3)

Пусть , тогда эти восемь корней попарно совпадут, в результате чего мы получим четыре корня, а именно: (q; q), (-q; q), (q; -q), (-q; -q).

Тогда

и .

Если , то , , , .

Если , то , , , .

Отсюда - необходимое условие для существования четырёх решений.

Значит, найдя нужные , cделаем проверку, подставив в систему корень (q; q) и .

Также, если мы подставим другие корни (-q; q), (q; -q), (-q; -q), то увидим, что .

Ответ:, .

Пример. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет решение, причем любой его корень находится в промежутке [1; 2].

Решение. Рассмотрим правую часть данного уравнения как , а затем вынесем минус перед знаком логарифма:

1) При график возрастает, график возрастает.

График возрастает.

График - постоянная функция и, следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение. Значит, это решение должно находиться в промежутке

==

а)

и

б)

, так как

, так как

в) покажем на координатной прямой решение системы:

рис.2

.

2) При

График убывает.

График - постоянная функция и, следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение. Значит, это решение должно находиться в промежутке

а)

, так как

, так как

б)

и

в) покажем на координатной прямой решение системы:

рис.3

Ответ:

5.2 Задачи с параметром, решаемые с помощью графического метода

Пример. Найти наименьшее значение функции



Решение. Выделим полные квадраты в подкоренных выражениях:

и

.

Получим . Как первое, так и второе слагаемое правой части этого равенства представляет собой расстояние от точки A(x;0) оси абсцисс до некоторой точки с фиксированными координатами, не зависящими от переменной x. Следовательно, решение задачи состоит в нахождении такой точки A оси абсцисс, сумма расстояний от которой до двух данных точек минимальна. Если данные точки B и C находятся по разные стороны от оси абсцисс, то искомая точка есть точка пересечения прямой BC с осью абсцисс, так как для любой другой точки оси абсцисс сумма расстояний от неё до точек B и C будет больше в силу неравенства треугольника: AB + AC = BC, (см. рис.4). Абсциссы точек B и C - это -3 и 5, а квадраты их ординат 16 и 4. Выберем знаки ординат точек B и C так, чтобы эти точки лежали по разные стороны от оси абсцисс: B(-3;-4) и C(5;2). Найдём уравнение прямой BC:



Тогда абсцисса точки A равна

А искомый минимум равен



Рис.4

Ответ: 10.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Рассмотрим на координатной плоскости Oxy точки A(0;15), B(8;0), C(0;12), D(16;0). Решить систему - означает найти все точки M(x;y), для каждой из которых MA+MB=17, MC+MD=20. Но AB=,CD=(см. рис.5). Следовательно, MA+MB=AB (т.е. точка M принадлежит отрезку AB), MC+MD=CD(т.е. точка M принадлежит отрезку CD). Поэтому точку M можно найти как точку пересечения отрезков AB и CD, координаты двух точек каждой из которых известны, находятся без труда:



- уравнение прямой AB;

- уравнение прямой CD.

Для вычисления абсциссы точки M осталось решить уравнение

, откуда

.

Ордината точки M находится подстановкой полученной абсциссы в уравнение любой из прямых AB или CD:



Рис.5

Ответ:).

Пример. Найти все значения параметра, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

Решение. Первое уравнение системы представляет собой уравнение окружности с центром C(0;6) и радиусом 6. Левая часть второго уравнения равна сумме расстояний от точки M(x;y) координатной плоскости Oxy до точек A(0;18) и B(;0) этой плоскости. Длина отрезка AB равна .

MA+MB=AB, следовательно, точка M(x; y) принадлежит отрезку AB. Решение данной задачи заключается в нахождении всех значений параметра , при каждом из которых существует единственная точка M(x;y) координатной плоскости Oxy, принадлежащая как окружности с центром C(0;6) и радиусом 6, так и отрезку с концами A(0;18) и B(;0). Отсюда следует, что необходимо найти такое положение точки B(;0) на оси абсцисс, при котором прямая AB касается окружности в точке M(x;y). Отрезок CM является радиусом, проведённым в точку касания, т.е. Но , значит угол . Поэтому OB=OAtg= (где точка O - начало координат). Таким образом, .

Рис.6

Ответ:.

Пример. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система неравенств

имеет хоты бы одно решение на отрезке [3;4].

Решение. Выразим через :



а затем построим графики так, чтобы выполнялось:

и

Рис.7

Ответ:.

Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение (x; y; z):

Решение. При любом действительном значении z первое уравнение данной системы является уравнением окружности плоскости Oxy с радиусом 3 и центром в точке (;), где Поскольку , центр окружности лежит на окружности с центром в начале координат и радиусом 5.

Следовательно, множеством всех точек (x; y) плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют первому уравнению данной системы, является кольцо, которое заключено между двумя концентрическими окружностями (включая сами эти окружности) с центром в начале координат и радиусами 2 и 8 (см. рис.8)

Рис.8

Если , данная система решений не имеет.

Если , множеством всех точек (x;y) плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют второму уравнению данной системы, является квадрат с диагональю и стороной , который ограничен прямыми:



Данная система имеет хотя бы одно решение только в тех случаях, когда квадрат или вписан в меньшую окружность, которая ограничивает кольцо, тогда , или описан около большей окружности, которая ограничивает кольцо, тогда , откуда

,

либо занимает промежуточное положение между двумя этими положениями, тогда .

Ответ:.

Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых хотя бы одно решение неравенства принадлежит отрезку [1;2].

Решение. Перепишем неравенство в виде и раскроем модуль , как систему .

Тогда получаем систему неравенств

Решим уравнение .

Отсюда получаем, что и .

Тогда и. Получаем, что множеством всех точек (x;a) плоскости Oxa, координаты которых удовлетворяют неравенству является полоса, заключённая между прямыми и , включая эти прямые.

Множеством всех точек (x;a) плоскости Oxa, координаты которых удовлетворяют неравенству , является парабола и часть плоскости, которая расположена выше этой параболы (см. рис.9).

Рис.9



Система неравенств

имеет хотя бы одно решение на отрезке [1;2] только тогда, когда

Ответ:.

Пример. Найдите все значения параметра , при которых неравенство

не имеет решений на отрезке [-3;0].

Решение. Раскроем модуль по формуле как совокупность

и выразим через :

Построим графики функций и .

Для графика , ,

для графика , .

Построим области, удовлетворяющие каждому неравенству системы.



Рис.10

Ответ: .

В заключение рассмотрим пример, который решим как аналитическим, так и графическим методом.

Пример. Решить неравенство .

Решение аналитическим методом. Будем решать неравенство по правилу:



Получаем:

Рассмотрим первую систему:

1)

2)

и

Рис.11

3) Найдём при каком

.

Рис.12

решением системы является

5) Найдём при каком выполняется система неравенств:

6)

Решением является .

7)

.

Подведём итог, что:

если , то ;

если , то .

Рассмотрим вторую систему:

1)

2)

Поведём итог, что:

если , т.е. , то система не имеет решений;

если , т.е. , то .

Заметим, что равен .

Ответ: если , то ; если , то

Решение графическим методом. Построим прямую ,и рассмотрим три случая расположения графика относительно этой прямой.

1) Если график расположен ниже , то решений нет. (см. рис.13 положение 1)

2) Составим систему

которая должна иметь одно решение, что равносильно для уравнения

иметь один корень.

, тогда

и, а также

.

Отсюда получаем, что при решений нет. (см. рис.13 положение 2)

3) и имеют две общие точки.

Такое положение достигается при . (см. рис. 13 положение 3)

Теперь мы можем сделать вывод, что:

если , то - решение, где и - абсциссы точек пересечения графиков;

если ,то - решение, где - больший из корней и . (см. рис. 13 положение 4)

Рис.13

Ответ: если , то ; если , то



Заключение

задача аналитический математика графический

Цель данной работы состояла в изучении задач с параметрами в материалах государственной итоговой аттестации и методов их решения.

Изучив и проанализировав задачи с параметрами в материалах ЕГЭ по математике за последние пять лет, было выявлено, что в большинстве случаев встречаются задачи первого типа рассмотренной нами классификации. Для решения этих задач в основном используются аналитический и графический методы.

Данные методы были рассмотрены на разных типах задач. Аналитический метод - это решение задачи, позволяющее с помощью математических преобразований упростить выражение и найти ответ. Графический метод - нахождение решения и ответа задачи с параметром с помощью координатной плоскости.

Необходимо уметь решать данные задачи различными методами, чтобы выбрать наиболее эффективный для решения конкретной задачи.

Для закрепления навыков решения задач с параметром была подобрана серия задач с параметром, среди которой преобладают задачи первого типа, и решение которых выполняется аналитическим и графическим методами.



Список литературы

1. Беляева Э. С. Математика. Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч.1: учебное пособие/ Э.С. Беляева, А.С. Потапов, С.А. Титаренко. ? М.: Дрофа, 2009. ? 480 с.

2. Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. - М.: Научный мир, 2011. - 316с.: 262 ил.

3. Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. - М.: ИЛЕКСА, 2007. - 252 с.

4. Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. ? 3-е изд., доп. и перераб. ? М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005. ? 328 с.

5. Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт»: - 2016. - №8 (август). - 0,4 п.л.

6. Крамор В. С. Задачи с параметром и методы их решения / В. С. Крамор. - М.: ООО Из-во Оникс: ООО Из-во Мир и Образование, 2007. - 416с.: ил.

7. Локоть В. В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы: Учебное пособие. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: АРКТИ, 2005. - 96 с.

8. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Математика ЕГЭ 2011. Типовые задания С5. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений

9. Мантуров О. В., Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителя. - М.: Из-во Просвещение, 1965. - 542 с.

10. Мирошин В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика / В.В. Мирошин. ? М.: Издательство «Экзамен», 2009. ? 286 с.

11. Прокофьев А. А. Задачи с параметрами. ? М.: МИЭТ, 2004. ? 258 с.

12. Фалилеева М. В. Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром: Учебное пособие / М.В. Фалилеева. - Казань: Казан. ун-т, 2014. - 111 с.

13. Шестаков С. А. ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень) / Под ред. И.В. Ященко. - М.: МЦНМО, 2016. - 240 с.

14. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. ? М.: Просвещение, 1986. ? 127 с.

Размещено на Allbest.ru

...