Мультикомплексные числа и функции и их применение при расчете электромагнитного поля
Описано применение мультикомплексных чисел в задачах расчета электромагнитного поля в кусочно-однородной среде. Рассмотрен пример бикомплексных чисел при расчете переменного электромагнитного поля, в том числе методом граничных интегральных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.07.2018 |
| Размер файла | 259,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
№48-3, 05.07.2016
Физико-математические науки
Мультикомплексные числа и функции и их применение при расчете электромагнитного поля
Лютова Мария Эдуардовна, магистр, студент
Некрасов Сергей Александрович, доктор наук, доцент, профессор
Южно-Российский государственный политехнический университет
В статье описано применение мультикомплексных чисел в задачах расчета электромагнитного поля в кусочно-однородной среде. Рассмотрен конкретный пример бикомплексных чисел при расчете переменного электромагнитного поля, в том числе методом граничных интегральных уравнений с использованием векторов, аналогичных векторам Фарадея.
Похожие материалы
Двусторонние методы для решения начальных и краевых задач с учетом неустранимой погрешности
Программы и методы для решения задач с учетом неустранимой погрешности и синтеза оптимальных характеристик материалов и параметров конструкций
Оптимизация процесса бурения на основе полного факторного эксперимента
Инструментальная реализация прикладной математической подготовки бакалавра экономики и менеджмента
Средства стохастической подготовки обучающихся на основе информационных технологий
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, РАСЧЕТ, КВАТЕРНИОНЫ, ВЕКТОР ФАРАДЕЯ, КУСОЧНО-ОДНОРОДНАЯ СРЕДА, БИКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
мультикомплексный электромагнитный поле интегральный
Комплексные числа находят широкое применение в математике, физике, механике, естествознании. Это обстоятельство послужило причиной поиска новых систем чисел, обобщений действительных и комплексных чисел: двойных и дуальных чисел, кватернионов, октав, чисел Клиффорда, Грассмана и др. [1-3]. Cистему гиперкомплексных чисел ("кватернионов")
,
где , построил в 1843 У. Гамильтон. Одним из основных методов построения таких чисел является процедура удвоения.
В данной статье рассматривается практическое применение мультикомплексных, в частности бикомплексных чисел [2]. Их основное преимущество над гиперкомплексными числами являются свойство коммутативности, значительное сходство с алгеброй обычных комплексных чисел и теорией функций комплексного переменного.
В качестве примера рассматривается применение бикомплексных чисел для симметризации, редукции и решения системы Максвелла для случая кусочно-однородных сред.
Постановка задачи и описание метода
Систему дифференциальных уравнений Максвелла с постоянными коэффициентами для случая неподвижной среды в отсутствие объемных зарядов можно записать в виде:
(1)
где E и H - векторы электрической и магнитной напряженностей, - электропроводность, - магнитная, а - диэлектрическая проницаемость среды, rot - дифференциальный оператор ротора, поле сторонних токов соленоидальное:
После преобразования Лапласа по времени эту систему можно записать в терминах образов:
, (2)
p - параметр преобразования Лапласа, вообще говоря, комплексная величина с мнимой единицей i, E* и H*- комплекснозначные образы E и H при преобразовании Лапласа, - преобразование Лапласа вектора плотности сторонних токов в среде, E0 (x) и H0 (x) - начальные значения E и H, .
Симметризация системы уравнений переменного ЭМП
Для удобства аналитических вычислений и сокращения размерности задачи осуществим симметризацию системы Максвелла. Пусть j - мнимая единица: j2=-1 Введем в рассмотрение комплексный вектор (аналогичный вектору Фарадея [4]), как линейную комбинацию напряженностей магнитного и электрического полей:
. (3)
Вектор F позволяет в два раза уменьшить размерность системы уравнений и удовлетворяет векторному уравнению:
. (4)
Для случая переменных полей - циклическая частота ЭМП, i - также мнимая единица: i2=-1.
Благодаря симметризации размерность матрицы системы Максвелла уменьшилась с 6 до 3.
F является бикомплекснозначной вектор-функцией бикомплексного аргумента: а + bi+ cj + dk со следующей таблицей умножения:
. (5)
Система (4) может решаться методом конечных разностей (МКР) прямым методом. Подобные методы известны для системы Максвелла, но для редуцированного и симметризованного вида (4) размерность системы уменьшилась в 2 раза.
Системы, подобные (4), изучались в механике, они описывают винтовые течения, а соответствующее однородное уравнение называется условием Бельтрами [4-5].
Редукция к граничным интегральным уравнениям. Связь с формулами Гюйгенса
Даже если среда анизотропна и ее характеристики имеют тензорный характер в ряде случаев удается точно вычислить значение матрицы Грина аналитически: например, если среда неподвижна, тензоры проводимостей диагональные, а две их компоненты одинаковы. При ряде упрощающих предположений (изотропность среды и т.д.) примерами соответствующих выражений являются известные формулы Гюйгенса. Сформулируем их для системы переменного ЭМП:
(6)
Интегральное представление для напряженностей ЭМП имеет вид соотношений Гюйгенса. Для точек области с границей :
,
,
Вне точек области V:
,
,
.
Ядро интегральных операторов имеет вид:
(7)
Векторные произведения нормали на образы векторов электрической и магнитной напряженностей равны соответствующим касательным к границе векторам: . Откуда с учетом введенных обозначений:
,
.
Вектор F равен: , следовательно
так как , то
. (8)
Если на границе заданы значения касательных векторов E и H, то (8) представляет собой интегральное уравнение типа Фредгольма относительно вектора с двумя неизвестными бикомплексными координатами.
Вывод
Получены редуцированная и симметризованная формы системы Максвелла на основе метода бикомплексных чисел. Данная система имеет в 2 раза меньшую размерность и может успешно решаться при помощи МКР и МГИУ.
Список литературы
1. Andre Waser. On the Notation of MAXWELL's Field Equations.
2. Issued: 28.06.2000. http://rexresearch.com/maxwell1/20equations.pdf
3. Bicomplex number. https://en.wikipedia.org/wiki/Bicomplex_number
4. G. Baley Price (1991) An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker. ISBN 0-8247-8345-X
5. Б. Л. Коган. Применение векторов Фарадея в теории антенн / Журнал радиоэлектроники. № 7. 2008. http://jre.cplire.ru/koi/jul08/1/text.pdf
6. Зуйков А.Л., Орехов Г.В., Волшаник В.В. Модель течения Громеки - Бельтрами / Вестник МГСУ. №4. 2013. С. 150-159.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изложение теории поля с помощью векторного анализа и составление пособия. Циркуляция векторного поля. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка. Простейшие векторные поля. Применение теории поля в инженерных задачах.
дипломная работа [190,2 K], добавлен 09.10.2011Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
курсовая работа [104,1 K], добавлен 03.01.2008Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006Делимость в кольце чисел гаусса. Обратимые и союзные элементы. Деление с остатком. Алгоритм евклида. Основная теорема арифметики. Простые числа гаусса. Применение чисел гаусса.
дипломная работа [209,2 K], добавлен 08.08.2007Сущность и методика определения алгебраического числа, оценка существующего поля. Рациональные приближения алгебраических чисел. Задача построения уравнения с заданными корнями. Приводимые и неприводимые многочлены. Трансцендентные числа Лиувилля.
курсовая работа [219,6 K], добавлен 23.03.2015Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Учебно-методическое пособие дает возможность изучить необходимые теоретические сведения и получить практические навыки по решению задач, связанных с функциями комплексного переменного. Применение комплексных чисел при решении алгебраических уравнений.
методичка [2,7 M], добавлен 23.12.2009Исследование однопараметрической системы дифференциальных уравнений: нахождение линеаризации поля в особых точках, собственных чисел и векторов, периодов циклов. Изменение фазового портрета при значениях параметра вблизи его бифуркационного значения.
курсовая работа [6,8 M], добавлен 18.07.2014Конструкции и свойства конечных полей. Понятие степени расширения, определенность поля разложения, примитивного элемента, строение конечной мультипликативной подгруппы поля. Составление программы, которая позволяет проверить функцию на примитивность.
курсовая работа [19,2 K], добавлен 18.12.2011Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 10.12.2008Абелевы группы по сложению. Кольца, образованные аддитивной группой ZxZ. Кольца, образованные аддитивной группой ZxZxZ. Подкольца поля комплексных чисел и кольца классов вычетов целых чисел. Теория ассоциативных колец.
дипломная работа [28,4 K], добавлен 08.08.2007Збагачення запасу чисел, введення ірраціональних чисел. Зведення комплексних чисел у ступінь і знаходження кореня. Окремий випадок формули Муавра. Труднощі при витягу кореня з комплексних чисел. Витяг квадратного кореня із негативного дійсного числа.
курсовая работа [130,8 K], добавлен 26.03.2009Определение числа e, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность. Анализ формул числа е с помощью рядов и пределов функции. Проявление числа e в реальной жизни и его практическое применение. Применение числа e в математических задачах.
курсовая работа [352,9 K], добавлен 17.05.2021Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Основы геометрии чисел. Решетки, подрешетки и их базисы. Основные теоремы геометрии чисел. Связь квадратичных форм с решетками. Методы геометрии чисел для решения диофантовых уравнений. Теорема Минковского о выпуклом теле. Квадратичная форма решетки.
дипломная работа [884,6 K], добавлен 24.06.2015Появление отрицательных чисел. Понятие мнимых и комплексных чисел. Формула Эйлера, связывающая показательную функцию с тригонометрической. Изображение комплексного числа на координатной плоскости. "Гиперкомплексные" числа Гамильтона ("кватернионы").
презентация [435,9 K], добавлен 16.12.2011Изучение теории поля с помощью векторного анализа. Векторные поля на плоскости и векторные линии. Вращение, вычисление и свойства дивергенции. Свойство аддитивности циркуляции полей. Ротор и его основные свойства. Рассмотрение формул Грина и Стокса.
курсовая работа [649,8 K], добавлен 18.12.2011Применение способа решета Эратосфена для поиска из заданного ряда простых чисел до некоторого целого значения. Рассмотрение проблемы простых чисел-близнецов. Доказательство бесконечности простых чисел-близнецов в исходном многочлене первой степени.
контрольная работа [66,0 K], добавлен 05.10.2010Примеры скалярных полей. Производная в точке в направлении орта. Операторы дифференцирования или Гамильтона. Напряженность электрического поля, поле скоростей в движущейся среде. Дивергенция и ротор. Символ Кронекера. Некоторые свойства оператора набла.
контрольная работа [229,2 K], добавлен 21.03.2014Сумма n первых чисел натурального ряда. Вычисление площади параболического сегмента. Доказательство формулы Штерна. Выражение суммы k-х степеней натуральных чисел через детерминант и с помощью бернуллиевых чисел. Сумма степеней и нечетных чисел.
курсовая работа [8,2 M], добавлен 14.09.2015
